精品解析：四川省成都市邛崃市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试题

2023～2024学年度下期八年级期末质量检测 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色的签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中国是全球可再生能源领域的领跑者．截至目前，全国风电和光伏发电装机容量已经超过11亿千瓦，稳居世界第一．我们可以把“风电和光伏发电的装机容量（单位：亿千瓦）超过11亿千瓦”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 2. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 公园城市，美好人居，2024年世界园艺博览会在四川成都举行．如图，某美工设计师为博览会展出的四种花卉设计了图标，其中，是中心对称图形的是（ ） A. 莲花 B. 三角梅 C 报春花 D. 芙蓉花 4. 已知，则下列不等式一定成立是（ ） A. B. C. D. 5. 下列定理中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形对应角相等 C. 直角三角形的两锐角互余 D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 6. 如图，根据下列条件，能够判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 且 7. 在下列结论中，不正确的是（ ） A. 用正三角形能够进行平面镶嵌 B. 用正四边形能够进行平面镶嵌 C. 用正五边形能够进行平面镶嵌 D. 用正六边形能够进行平面镶嵌 8. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 10. 要使分式的值为0，则x的值为____________． 11. 填写表格： 正多边形边数 3 4 5 6 正多边形内角的度数 __ 12. 如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 13. 把两个同样大小的含角的直角三角板按照如图所示的位置放置，其中斜边完全重合，边与交于点，若的长度为6，则的长度为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组： 15. 如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点和的顶点均在格点上． （1）和关于点中心对称，请画出； （2）将点向左平移个单位长度后得到点，当的值为______时，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为______； （3）将向左平移3个单位长度，交于点，交于点，则线段的长度为______． 16. 解方程：． 17. 《中国居民膳食指南》建议，青少年儿童要控制糖的摄入量，不喝或少喝含糖饮料．已知某种含糖饮料是以果汁和汽水为原料配制而成的，果汁和汽水的含糖量以及购买这两种原料的价格如下表所示． 原料 含糖量（克/千克） 原料价格（元/千克） 果汁 50 6 汽水 10 3 现配制这种含糖饮料20千克，其中果汁原料占千克． （1）当时，含糖饮料中总含糖量为______克，购买两种原料共需______元； （2）如果要求所配制的饮料中含糖量不超过400克，列出应满足的不等式； （3）如果购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，列出应满足的不等式，并求出的取值范围． 18. 在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为______． 20. 若关于分式方程有增根，则的值为______． 21. 如图，将平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和份，如果阴影部分面积是面积的，则的值为______． 22. 在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 23. 如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 规定：如果分式A和分式B满足（n为正整数），则称n为分式A与分式B“差值”．例如：，则与的“差值”为5． （1）求与的“差值”； （2）若与的“差值”为2， ①代数式______（用含x的代数式表示）； ②当分式的值为正整数，且x为正整数时，求分式的值； （3）若与的“差值”为4，且（其中x、y为正数），求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，现将点按下列步骤完成两次运动： 第一次：将点先向右平移个单位长度，得到点，再将点绕原点逆时针旋转得到点； 第二次：将点先绕原点逆时针旋转得到点，再将点向右平移个单位长度，得到点． （1）当时，请直接写出点和点的坐标； （2）用含的代数式表示点和点的坐标，并求出当时的值； （3）当点在的内部时，请直接写出的取值范围． 26. 在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； （3）如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度下期八年级期末质量检测 数学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色的签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 中国是全球可再生能源领域的领跑者．截至目前，全国风电和光伏发电装机容量已经超过11亿千瓦，稳居世界第一．我们可以把“风电和光伏发电的装机容量（单位：亿千瓦）超过11亿千瓦”用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，正确地列出不等式是解题的关键． 根据装机容量(单位：亿千瓦）超过11亿千瓦列不等式即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故选：A． 2. 分式有意义的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：根据题意得， ， 故选：B． 3. 公园城市，美好人居，2024年世界园艺博览会在四川成都举行．如图，某美工设计师为博览会展出的四种花卉设计了图标，其中，是中心对称图形的是（ ） A. 莲花 B. 三角梅 C. 报春花 D. 芙蓉花 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 在平面内，把一个图形绕某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：莲华，三角梅，芙容花不是中心对称图形；报春花是中心对称图形； 故选：C． 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式性质，不等式两边加上或减去同一个数或式子，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个正数，不等号方向不变．不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、， ，故不等式不成立，不符合题意； B、， ，故不等式不成立，不符合题意； C、， ，故不等式不一定成立，不符合题意； D、， ，故不等式一定成立，符合题意； 故选：D． 5. 下列定理中，其逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两底角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 直角三角形的两锐角互余 D. 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．首先写出各个命题的逆命题，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题，故此选项不符合题意； B、逆命题是：如果两个三角形对应角相等，那么它们全等三角形，是假命题，故此选项符合题意； C、逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意； D、逆命题是：如果一个三角形有两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，根据下列条件，能够判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、且， 四边形是平行四边形， 故能够判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 7. 在下列结论中，不正确的是（ ） A. 用正三角形能够进行平面镶嵌 B. 用正四边形能够进行平面镶嵌 C. 用正五边形能够进行平面镶嵌 D. 用正六边形能够进行平面镶嵌 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），注意几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 根据镶嵌的条件，判断一种正多边形能否镶嵌，要看周角能否被一个内角度数整除：若能整除，则能进行平面镶嵌；若不能整除，则不能进行平面镶嵌． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； B、正四边形每个内角都是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； C、正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故符合题意； D、正六边形每个内角是，能整除，能够进行平面镶嵌，故不符合题意； 故选：C． 8. 科技创新是发展新质生产力的核心要素．某新能源汽车制造厂通过技术创新，对车辆装配生产线进行智能化技术升级后，提高了生产效率，现在平均每天比技术升级前多装配30辆汽车，现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同，设技术升级前每天装配辆汽车，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设技术升级前每天装配辆汽车，根据工作时间工作总量工作效率结合“现在装配500辆汽车所需的时间与技术升级前装配400辆汽车所需的时间相同”，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设技术升级前每天装配辆汽车，则现在平均每天装配辆汽车， 依题意，得． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 要使分式的值为0，则x的值为____________． 【答案】-2. 【解析】 【分析】分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0， 【详解】因为分式的值为0， 所以x+2=0且x-1≠0， 则x=-2， 故答案为-2. 11. 填写表格： 正多边形边数 3 4 5 6 正多边形内角的度数 __ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质以及五边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正五边形的性质以及内角和的计算方法进行计算即可． 【详解】解：正五边形的内角的度数为， 故答案为：． 12. 如图，在中，已知边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，连接，则图中有______个等腰三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的判定可解答． 【详解】解：∵边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点， ， ， ∴都是等腰三角形； 故答案为：3． 13. 把两个同样大小的含角的直角三角板按照如图所示的位置放置，其中斜边完全重合，边与交于点，若的长度为6，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形性质，对顶角性质，全等三角形性质和判定，连接，证明，得到，利用直角三角形性质得到，进而得到的长度． 【详解】解：连接， 由题知，，，，， ， 的长度为6， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）先化简，再求值：，其中． （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键． （1）先通分括号内的式子，再将除法转化为乘法，然后约分，最后将的值代入化简后的式子计算即可； （2）先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴原不等式组的解集是． 15. 如图，在边长为1个单位长度的小等边三角形构成的网格中，每个小等边三角形的顶点称为格点，已知点和的顶点均在格点上． （1）和关于点中心对称，请画出； （2）将点向左平移个单位长度后得到点，当值为______时，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为______； （3）将向左平移3个单位长度，交于点，交于点，则线段的长度为______． 【答案】（1）见解析 （2）：2，6 （3） 【解析】 【分析】本题考查了中心对称作图，平移性质，平行四边形性质和判定，三角形中位线性质，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合的思想解决问题． （1）将A、B、C按中心对称性质找出它的对应点、、，再顺次连接、、，即得到． （2）根据平行四边形的判定，得到点向左平移的单位长度，再利用图形和平行四边形公式得到平行四边形的周长即可； （3）根据题意画出线段，证明四边形是平行四边形，得到，利用三角形中位线性质进而得到，即可解题． 【小问1详解】 解：所作如图所示： 【小问2详解】 解：如图，将点向左平移个单位长度后得到点，四边形是平行四边形，且平行四边形的周长为：， 故答案为：2，6． 【小问3详解】 解：根据题意画出线段， 由题易知，，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，根据解分式方程的一般步骤求解即可． 【详解】解：， 化成整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 把代入得，， ∴是原方程的解． 17. 《中国居民膳食指南》建议，青少年儿童要控制糖的摄入量，不喝或少喝含糖饮料．已知某种含糖饮料是以果汁和汽水为原料配制而成的，果汁和汽水的含糖量以及购买这两种原料的价格如下表所示． 原料 含糖量（克/千克） 原料价格（元/千克） 果汁 50 6 汽水 10 3 现配制这种含糖饮料20千克，其中果汁原料占千克． （1）当时，含糖饮料中总含糖量为______克，购买两种原料共需______元； （2）如果要求所配制的饮料中含糖量不超过400克，列出应满足的不等式； （3）如果购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，列出应满足的不等式，并求出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题干条件正确列出不等式求解是解题的关键． （1）根据题干所给数据计算出果汁含糖量和汽水含糖量，即可得到含糖饮料中总含糖量，同理可算出购买两种原料共需费用； （2）根据“所配制的饮料中含糖量不超过400克，”列出不等式即可； （3）根据“购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元，” 列出不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：当时，则汽水原料占（千克）， 果汁含糖量为：（克）， 汽水含糖量为：（克）， （克）， 含糖饮料中总含糖量为克； 购买两种原料共需：（元）， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：所配制的饮料中含糖量不超过400克， ， 【小问3详解】 解：购买果汁和汽水两种原料的费用超过了90元， ， 整理得， 解得； ，解得； 的取值范围为：． 18. 在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的大小（用含的代数式表示）； （3）用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）图见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据角的和差关系即可解答； （3）过点D作，交于点F，交的延长线于点M，先证明，可得，再证明，可得，进而证明，则，于是可得，然后由勾股定理可得，再根据线段的和差关系及等量代换即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意补全图形如下： 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 将线段顺时针旋转得到线段， ， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 如图，过点D作，交于点F，交的延长线于点M，则， ∴， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知可以被21和30之间的某两个数整除，则这两个数为______． 【答案】28和26 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解，将利用幂的乘方的逆运算，以及利用平方差公式进行因式分解得到，即可解题． 【详解】解： ， 可以被28和26两个数整除， 故答案为：28和26． 20. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的解、利用增根求字母的值，解题关键是熟练掌握增根问题的解法． 增根就是使最简公分母为零的未知数的值；解决此类问题的步骤：①化分式方程为整式方程；②让最简公分母等于零求出增根的值；③把增根代入到整式方程中即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母转化为整式方程，然后由分式方程有增根求出的值，代入到转化以后的整式方程中计算即可求出的值． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 移项可得，， 又该分式方程有增根，即，， ． 故答案：． 21. 如图，将平均分成三个小平行四边形，再将三个小平行四边形分别平均分成2份、3份和份，如果阴影部分面积是面积的，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，平行四边形的性质，记的面积为，根据“阴影部分面积是面积的”建立等式求解，即可解题． 【详解】解：记的面积为， 则阴影部分面积为：， 整理得：， 解得， 经检验是方程的解． 故答案为：． 22. 在直角坐标系中，函数的图象如图所示，当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值，则的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据题意可得出，当时函数的函数值不小于函数的函数值，据此可解决问题． 【详解】解：因为当时，对于的每一个值，函数的值总大于函数的值， 所以， 解得． 故答案为：． 23. 如图，在中，，，且的面积为，点是边上的一点（不与点、重合），把沿着直线翻折，点的落点为点，当点在一条边的延长线上时，的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形性质，根据点在一条边的延长线上时，分以下情况画图讨论，当点在的边的延长线上时，当点在的边的延长线上时，根据以上情况结合折叠的性质和勾股定理求解，即可解题． 【详解】解：在中，，， ，， 如图，当点在边的延长线上时， 由折叠的性质可知，，，， 的面积为，， ， 解得， ， ， 如图，当点在的边的延长线上时， 作于点， 的面积为，， ，解得， ，， ，， ， 综上所述，的长度为或； 故答案为：或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 规定：如果分式A和分式B满足（n为正整数），则称n为分式A与分式B的“差值”．例如：，则与的“差值”为5． （1）求与的“差值”； （2）若与的“差值”为2， ①代数式______（用含x的代数式表示）； ②当分式的值为正整数，且x为正整数时，求分式的值； （3）若与的“差值”为4，且（其中x、y为正数），求的值． 【答案】（1）3 （2）①；②6或3或2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作差求解即可； （2）①根据题意作差得，再利用分式的性质化简得，即，再进行移项、合并同类项即可求解； ②由分式的值是正整数及分式有意义的条件确定x的值，再分别代入求值即可； （3）根据“差值的定义”得出，由求得x、y的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：①， ∴与的“差值”为3； 【小问2详解】 解：∵与的“差值”为2， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； ②当时，分式， ∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵，即， ∴或或， 当时，分式， 当时，， 当时，， ∴分式的值为6或3或2； 【小问3详解】 解：∵与的“差值”为4， ∴， ∴， ∴， ∵（其中x、y为正数）， ∴， ∴． 【点睛】本题考查分式的加减运算、分式有意义的条件、代数式求值及新定义，熟练掌握“差值的定义”和分式的加减运算方法是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，现将点按下列步骤完成两次运动： 第一次：将点先向右平移个单位长度，得到点，再将点绕原点逆时针旋转得到点； 第二次：将点先绕原点逆时针旋转得到点，再将点向右平移个单位长度，得到点． （1）当时，请直接写出点和点的坐标； （2）用含的代数式表示点和点的坐标，并求出当时的值； （3）当点在的内部时，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为； （2）点的坐标为，点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用平移的性质得到点的坐标，作轴于点，轴于点，证明，得到，，即可得到点的坐标，同理可得到点的坐标． （2）由（1）同理可得出点的坐标为，点的坐标为，再根据，利用勾股定理建立等式求解，即可解题； （3）根据点在的内部，建立不等式求解，即可解题． 【小问1详解】 解：当时，则点的坐标为， 点绕原点逆时针旋转得到点， ，， 作轴于点，轴于点， ， ，， ， ， ，， 的坐标为， 由上面同理可得点的坐标为，再将点向右平移个单位长度，得到点的坐标为； 【小问2详解】 解：由题知，点的坐标为， 由（1）同理可得，点绕原点逆时针旋转得到点的坐标为， 由（1）同理可得，点先绕原点逆时针旋转得到点的坐标为，再将点向右平移个单位长度，得到点的坐标为； ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：点在的内部， ，， 解得，， 的取值范围为． 26. 在中，已知点在边上，，点是边上一点，于点，连接． （1）如图1，若，，求的面积； （2）如图2，若点，点重合，求证：是等腰三角形； （3）如图3，若，，，请直接写出的面积（用含的代数式表示）． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，从而证得，然后利用平行四边形面积公式得，最后利用三角形面积公式得． （2）取的中点H，连接，，先证明，再利用直角三角形的性质证得，残存后由等腰三角形“三线合一”性质得到垂直平分，即可由垂直平分线性质得出结论． （3）过点E作交延长线于H，过点A作于M，利用直角三角形的性质先求出，再求出，，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ∵ ∴，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【小问2详解】 证明：取的中点H，连接，， 由（1）可知：四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形． 小问3详解】 解：过点E作交延长线于H，过点A作于M，如图， ∵， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，勾股定理，梯形面积公式和三角形面积公式．熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$