精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2023-2024学年高一下学期期中素质测试数学试题

马鞍山市第二中学2023—2024学年度第二学期期中素质测试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行的判定、面面平行的性质以及充分不必要条件的定义即可求解. 【详解】因为，则存在使得且， 若且，则， 又且，所以，充分性成立； 设，，则有，但不平行，即必要性不成立. 故选：A. 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用斜二测画法得到原图，再用梯形面积公式计算即可. 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且，    过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 3. 长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据球的直径是长方体的体对角线，由，求得半径即可. 【详解】设球的半径为R，由题意，球的直径是长方体的体对角线， 所以， 解得， 所以球的表面积为：， 故选：C 4. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，结合平面向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系， 由题意得，则，，，，，，． 因为，所以 解得所以． 故选：B． 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而得解. 【详解】因为，则， 因为，则，所以，则， 又因为，，则， 则，即， 即，又因为，则， 所以，即. 即一定是等边三角形，故D正确. 故选：D. 6. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲池的表面积为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 曲池的体积为 【答案】C 【解析】 【分析】由图形结合几何知识底面扇环面积，后可得表面积及体积，即可判断选项正误. 【详解】如图，设弧BC对应圆半径为，则弧AD对应圆半径为. 因弧的长度是弧长度的3倍，则. 则，得底面扇环面积为：. 则曲池的体积为，故BD错误； 曲面面积为，曲面面积为， 底面面积为，平面与平面面积之和为. 则曲池的表面积为.故A错误，C正确. 故选：C 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算化简可证明，再利用直角三角形的性质可推出，最后利用向量的数量积运算即可得到投影向量. 【详解】由， ， 即，所以，作图如下： 由上可知：的外接圆圆心为在的中点， 又因为，所以，即，则 所以向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 8. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+ C. +4 D. 3+2 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理角化边，求出边a，c的关系，再借助三角形面积定理计算即得. 【详解】在△ABC中，由正弦定理及(sinA-sinC)=sinB得：(a-c)=b， 由余弦定理及a2=5c2+2accosB得：a2=5c2+，解得b=c， 因此有a=2c，从而得cosB==-，则有sinB＝， 于是得S△ABC，解得c=2，则a=4，b=2， 所以△ABC的周长为a+b+c=6+2. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数与的积是纯虚数，则需满足下列哪些条件（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出复数与的积，然后根据纯虚数的定义判断即可. 【详解】因为是纯虚数， 所以且，即且 故选：AD 10. 在中，是边上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据是边上靠近的三等分点，结合平面向量的线性运算可判断A；由求解可判断B；将两边平方计算可判断C；利用余弦定理求出可判断D. 【详解】对于A，因为是边上靠近的三等分点，所以， 所以，即，A正确； 对于B，由可得，B正确； 对于C，因为， 所以， 所以，C正确； 对于D，由余弦定理可得， 所以，D错误. 故选：ABC 11. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为6 C. D. 满足的点只有一个 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据数量积的定义计算即可判断；对于B，由投影向量可找出最大值点的位置，计算即可判断；对于C，作图得到，再由可确定最值点的位置，计算判断即可；对于D，当重合或者时都可以得到，从而可判断. 【详解】对于A选项，圆半径为2，弦，故为等边三角形， 取的中点，连接，则，所以，A正确； 对于选项，过点作平行于，交圆与点， 过点作，交延长线于点，连接， 则四边形为菱形， 由投影向量可知，当点与点重合时，取得最大值， 此时， 故的最大值为，B正确； 对于C选项，， 因为四边形为菱形，所以，且， 因为为定值， 故当与平行且方向相同时，取得最大值，最大值为， 当与平行且方向相反时，取得最小值，最小值为， 故，C错误； 对于D选项，因为点为圆上任意一点，故当重合时，， 又当时，满足，故满足的点有2个，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，的夹角为60°，则________． 【答案】 【解析】 【分析】向量的模长先平方，再利用数量积的定义计算. 【详解】依题意，. 故答案为： 13. 设复数，满足，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意设，，，根据复数代数形式的运算法则及复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：依题意设，，， 所以， 因为，所以， 所以，所以，所以 所以 所以； 故答案为： 14. 已知，，，是表面积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥的体积为，则线段长度的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别作出图形，根据题中几何关系分别求出外接圆的半径为及面积，设出点到平面的距离，从而求出点所在截面圆的半径，从而再利用几何知识从而可求解. 【详解】由球的表面积为，可得球的半径.，，， ，，， 则外接圆的半径为. 设到平面的距离为，则， 解得，则点与平面在球心的异侧. 设球心到平面的距离为，则， 设在球的截面圆所在的平面为，故球心到平面的距离为2， 则截面圆的半径为. 设在平面上的投影为，当最长时最长， 则，故长度的最大值为. 故答案为：. . 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明：∵直三棱柱中，为的中点， 所以，且， 因为，分别，的中点， ∴，， ，， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， 故平面. （2） 【解析】 【分析】（1）通过构造平行四边形，找到线线平行，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）转换顶点并结合椎体的体积公式即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直三棱柱，则平面平面， 因为平面，则点到底面的距离即为点到底面的距离， 又因为底面，则点到底面的距离即为长， 又因为N，P分别为AC，BC的中点，且， 则. 16. 已知复数，并且. （1）若为虚数，求的取值范围； （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据复数相等和纯虚数条件，结合余弦函数性质可得； （2）根据复数相等列方程，消去，利用同角三角函数的平方关系，结合二次函数性质求解可得 【小问1详解】 因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. 【小问2详解】 ，， 消去可得， . 17. 已知分别是三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角，根据和差公式化简可得； （2）根据已知求出所需角，分别在，中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理可得. 【小问1详解】 由正弦定理边化角得， 因为， 所以 即， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以， 因此. 【小问2详解】 由（1）可知，由题意可知， 而，所以， ， 在中，由正弦定理可知： 在中，由正弦定理可知： 在中，由余弦定理可知： 18. 如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点. （1），求的值； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) ,表达出，求出的值，求出； (2)由(1)表达出，求出,,,求出. 【小问1详解】 设， 则， 且， 则，解得，故. 【小问2详解】 易知， 则， ， ， 所以. 19. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； （1）求证：； （2）设，求； （3）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【小问1详解】 证明： . 【小问2详解】 依题意，， 所以 . 【小问3详解】 设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2023—2024学年度第二学期期中素质测试 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线和平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 3. 长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是（ ） A. B. C. D. 4. 古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角形来构造无理数．已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等边三角形 6. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（ ） A. 曲池的表面积为 B. 曲池的体积为 C. 曲池的表面积为 D. 曲池的体积为 7. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(sinA-sinC)=sinB，a2=5c2+2accosB，且△ABC的面积为，则△ABC的周长为（　　） A. 6+2 B. 4+ C. +4 D. 3+2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数与的积是纯虚数，则需满足下列哪些条件（ ） A. B. C. D. 10. 在中，是边上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆半径为2，弦，点为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的最大值为6 C. D. 满足的点只有一个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量满足，的夹角为60°，则________． 13. 设复数，满足，，则___________. 14. 已知，，，是表面积为的球体表面上四点，若，，，且三棱锥的体积为，则线段长度的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，M，N，P分别为，AC，BC的中点． （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知复数，并且. （1）若为虚数，求的取值范围； （2）求的取值范围. 17. 已知分别是三个内角的对边，且. （1）求； （2）若，将射线和分别绕点顺时针旋转，旋转后相交于点（如图所示），且，求. 18. 如图，在中，已知，是中点，是上靠近的三等分点，相交于点. （1），求的值； （2）求的余弦值. 19. 已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； （1）求证：； （2）设，求； （3）试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $