精品解析：吉林省吉林市友好学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题

2023—2024学年度友好学校高二年级下学期期末联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 18种 2. 下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ） A. 人的身高与受教育的程度 B. 人的体重与眼睛的近视程度 C. 企业员工的工号与工资 D. 儿子的身高与父亲的身高 3. 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 0 1 2 0.36 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 4. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 掷一个均匀的骰子.记为“掷得点数小于6”，为“掷得点数为偶数”，则为（ ） A. B. C. D. 6. 张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______. 13. “守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8~12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，若该国货品牌2023年8~12月在网络平台的总销售额为225百万元，则的值为________. 14. 某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为，，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率不大于，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 16. 已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. （1）求的值； （2）求展开式中含的项. 17. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，，在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各100株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图（统计数据分组区间为，，，，），记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗. （1）求图中的值，并求综合评分的中位数； （2）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由. 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 50 乙培育法 70 合计 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. （1）若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 19. 设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球. （1）若最后摸出的2个球颜色相同，求这2个球是从乙箱中摸出的概率； （2）若摸出每个红球记1分，每个白球记0分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度友好学校高二年级下学期期末联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 18种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步乘法原理求解. 【详解】∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门， ∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）． 故选:C 2. 下列两个变量中能够具有相关关系的是（ ） A. 人的身高与受教育的程度 B. 人的体重与眼睛的近视程度 C. 企业员工的工号与工资 D. 儿子的身高与父亲的身高 【答案】D 【解析】 【分析】根据相关关系的定义判断即可. 【详解】对于A：人的身高与受教育的程度不具有相关关系，故A错误； 对于B：人的体重与眼睛的近视程度不具有相关关系，故B错误； 对于C：企业员工的工号与工资不具有相关关系，故C错误. 对于D：儿子的身高与父亲的身高具有相关关系，故D正确. 故选：D 3. 下表是离散型随机变量的分布列，则常数的值是（ ） 0 1 2 0.36 A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据分布列的概率和为1列方程计算即可. 【详解】由已知得，解得或（舍去）. 故选：B. 4. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 5. 掷一个均匀的骰子.记为“掷得点数小于6”，为“掷得点数为偶数”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知列出事件和事件的结果，求出，，然后利用条件概率公式求解即可. 【详解】掷一个均匀的骰子，有共种结果， 事件包含点数为，共种结果，所以； 事件包含点数为共种结果，所以， 所以． 故选：B 6. 张老师与甲､乙等5名学生毕业合照，要求照相时师生站成一排，则张老师必须站排头或排尾，且甲与乙站在一起的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出6人的所有排法，再利用捆绑法先将甲、乙看成一个整体后与其他同学进行排列，再将张老师排在排头或排尾计算出排列种数，可得概率. 【详解】根据题意可知共有种排法， 第一步，若甲与乙站在一起，可将甲、乙两人看成一个整体再与其他3名同学进行排列，共有种排法， 第二步，又因为张老师必须站排头或排尾，共有种； 因此所求概率为. 故选：C 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求得单调递减区间，问题等价于单调递减区间与区间的交集为非空区间，从而可以求参. 【详解】由，可得． ①当时，，此时函数单调递减， 所以当时，函数在区间内存在单调递减区间. ②当时，令，可得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以函数的减区间为，增区间为， 若函数在区间内存在单调递减区间， 只需，得. 综上所述，． 故选：C 8. 若函数存在零点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意得，令，求的取值范围可得答案. 【详解】由，则， 令， 则， 当得，单调递增，当得，单调递减， 所以，， 当趋向于正无穷大时，也趋向于正无穷大， 所以函数存在零点，则. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（ ） A. 若任意选择三门课程，选法总数为 B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为 C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为－ D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用组合的概念进行计算即可判断A；分类讨论物理和化学只选一门，物理化学都选然后进行计算判断B；利用间接法进行分析判断即可判断C，将问题分三类讨论：只选物理，只选化学，同时选物理和化学，由此进行计算和判断D. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：若任意选择三门课程，选法总数为，A错误； 对于选项B：若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的五门中选，有种选法； 若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的五门中选，有种选法，所以总数为，故B错误； 对于选项C：若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确； 对于选项D：有3种情况：①选物理，不选化学，有种选法； ②选化学，不选物理，有种选法； ③物理与化学都选，有种选法. 故总数，故D错误. 故选：ABD 10. 若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差. 【详解】对A，因为随机变量服从两点分布，且，所以， 所以，所以，故A正确； 对B，，故B不正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数的最小值为 B. 当时，函数的极大值点为 C. 存在实数使得函数在定义域上单调递增 D. 若恒成立，则实数的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】由函数极值的求解以及极值点的辨析即可判断AB，由在上恒成立即可判断C，分离参数，构造函数求得其最小值，即可判断D. 【详解】因为函数，则，其中， 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，故A正确； 当时，则，令，可得， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，函数有极小值，则为极小值点，故B错误； 假设存在实数使得函数在定义域上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为的值域为， 所以函数无最小值， 故不存在实数使得函数在定义域上单调递增，故C错误； 若恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，令，则， 当时，，则函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 当时，有极小值，即最小值，所以，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解． 【详解】因为， 所以， ， 故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为. 故答案为：. 13. “守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8~12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，若该国货品牌2023年8~12月在网络平台的总销售额为225百万元，则的值为________. 【答案】3 【解析】 【分析】计算样本点中心，再代入回归方程，即可求解. 【详解】由题意可知，，， 回归方程必过样本点中心， 则，解得：. 故答案为：3 14. 某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为，，，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率不大于，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式得到不等式求出的范围，再结合，从而得解. 【详解】若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生， 则这名学生阅读完《三国演义》的概率为，解得， 因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步聚. 15. 已知函数. （1）求这个函数的导数； （2）求曲线在点处的切线方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由导数乘法公式可得答案； （2）由题可得切线斜率，然后利用点斜式可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 由（1），，又， 则切线方程满足. 16. 已知在的展开式中第二项的二项式系数是5. （1）求的值； （2）求展开式中含的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可得解； （2）写出展开式的通项，令，解得，再代入计算可得. 【小问1详解】 二项式展开式的通项为（其中且）， 依题意可得，解得； 【小问2详解】 二项式展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，即展开式中含的项为. 17. 某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，，在实验地分别用甲、乙方法培育该品种花苗，为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各100株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图（统计数据分组区间为，，，，），记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗. （1）求图中的值，并求综合评分的中位数； （2）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析优质花苗与培育方法是否有关，请说明理由. 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 50 乙培育法 70 合计 附：，其中 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），中位数为 （2）列联表： 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 50 50 100 乙培育法 70 30 100 合计 120 80 200 优质花苗与培育方法有关，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为得到方程，求出的值，再根据中位数计算规则计算可得； （2）首先求出优质花苗的频率，即可得到其数量，从而完善列联表，计算出卡方，即可得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得， 因为，， 所以中位数位于，令中位数为，则有， 解得，故综合评分的中位数为； 【小问2详解】 由频率分布直方图可得优质花苗的频率为， 所以优质花苗共有株，则非优质花苗共有株， 所以列联表如下所示： 优质花苗 非优质花苗 合计 甲培育法 50 50 100 乙培育法 70 30 100 合计 120 80 200 零假设：优质花苗与培育方法无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可以认为优质花苗与培育方法有关，该推断犯错误的概率不大于； 18. 面试是求职者进入职场的一个重要关口，也是机构招聘员工的重要环节，某科技企业招聘员工，首先要进行笔试，笔试达标者进入面试，面试环节要求应聘者回答3个问题，第一题考查对公司的了解，答对得2分，答错不得分，第二题和第三题均考查专业知识，每道题答对得2分，答错不得分. （1）若一共有200人应聘，他们的笔试得分服从正态分布，规定为达标，求进入面试环节的人数大约为多少（结果四舍五入保留整数）； （2）某进入面试的应聘者第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，每道题是否答对互不影响，求该应聘者的面试成绩的数学期望. 附：若，则，，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正态分布的性质求出，即可估计人数； （2）依题意可得的可能取值为，，，，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【小问1详解】 因为服从正态分布，所以，，， 所以. 进入面试的人数，. 因此进入面试大约为人. 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，，，， 则； ； ； ； 所以. 19. 设有甲、乙、丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球. （1）若最后摸出的2个球颜色相同，求这2个球是从乙箱中摸出的概率； （2）若摸出每个红球记1分，每个白球记0分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 【解析】 【分析】（1）首先求出从甲箱中摸出的2个球颜色相同与不相同的概率，记事件为“这2个球是从乙箱中摸出的”，为“最后摸出的2个球颜色相同”，根据条件概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意从甲箱中摸出的2个球颜色相同的概率， 从甲箱中摸出的2个球颜色不相同的概率， 记事件为“这2个球是从乙箱中摸出的”，为“最后摸出的2个球颜色相同”，则. 又因为. ， 所以. 【小问2详解】 依题意可得的可能取值为、、， 所以 ， ， 所以的分布列为： 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $