精品解析：天津市部分区2023-2024学年高一下学期期末练习数学试题

天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习 高一数学 第I卷（非选择题共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 对于两个事件，则事件表示含义是（ ） A. 与同时发生 B. 与不能同时发生 C. 与有且仅有一个发生 D. 与至少有一个发生 3. 如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确是（ ） A. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B. 直四棱柱是长方体 C. 将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 6. 某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知m，n表示两条不同的直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 9. 在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，E，F，H分别是，，的中点，给出下列结论： ①平面； ②平面； ③直线EF与直线所成的角为； ④平面与底面所成二面角的大小为. 其中正确结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 第II卷（非选择题 共80分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 11. 甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________. 12. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________. 注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为. 13. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 14. 已知正方体外接球的表面积为，点为棱BC的中点，则三棱锥的体积为__________.注：球的表面积，其中为球的半径 15. 在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________. 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若z是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 17. 抽取某车床生产的8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. （1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （2）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角大小； （2）若，，求的面积. 19. 高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）求a的值和众数； （2）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？ （3）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，且，，，为AD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求直线PA与平面所成的角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习 高一数学 第I卷（非选择题共40分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 故选：A． 2. 对于两个事件，则事件表示的含义是（ ） A. 与同时发生 B. 与不能同时发生 C. 与有且仅有一个发生 D. 与至少有一个发生 【答案】D 【解析】 【分析】理解和事件的是至少有一个发生即可判断． 【详解】解：两个事件， 则事件表示的含义是事件至少有一个发生， 故选：D． 3. 如图，是水平放置的的直观图，若，，则的面积是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题结合直观图知识可得的底和对应的高，即可得答案. 【详解】由题可得底边BC长度为，其对应高为. 则的面积为：. 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断. 【详解】因为，， 所以，，故A错误，B正确； 又因为，所以与不共线，故C错误； 又，，所以，故D错误， 故选：B 5. 下列说法正确的是（ ） A. 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是该圆柱的母线 B. 直四棱柱是长方体 C. 将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 D. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】要理解旋转体，棱柱、圆锥、正棱锥的概念，正棱锥是底面是多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥． 【详解】解：A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线与轴线平行是该圆柱的母线，故选项错误，不符合题意； B．直四棱柱的上下底面不一定是矩形，故不一定是长方体，故选项错误，不符合题意； C．将一个等腰梯形绕着较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个简单组合体，由两个圆锥和一个圆柱组成，故选项错误，不符合题意； D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，正确，符合题意， 故选：D． 6. 某校要从高一某班5名班干部（其中2名男生，3名女生）中抽调2人，主持国旗下讲话活动，则被抽调的班干部都是女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】列举所有基本事件，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】设3名女生为，2名男生为， 则抽调2人的所有基本事件构成的样本空间为， 都是女生的基本事件有， 故概率为， 故选：B 7. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可． 【详解】由正弦定理得， 所以， 又， 所以， 故选：A. 8. 已知m，n表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项，可以适当举反例来证明不成立，从而得答案． 【详解】解：A．若，，则m，n表可能平行或相交或异面，故错误，不符合题意； B．若，，则存在，故错误，不符合题意； C．若，，则存在，故错误，不符合题意； D．若，，根据面面垂直的判定定理推出，正确，符合题意； 故选：D． 9. 在四边形中，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可以得到四边形为平行四边形，平方后可以得到，所以四边形为矩形，再根据，即可求出与的夹角. 【详解】因为，所以，所以四边形为平行四边形， 又，两边平方得： ， 所以，即，所以平行四边形为矩形， 为与的夹角，所以与的夹角为， 又 所以在中，， 所以， 所以与的夹角为， 故选：C. 10. 在正方体中，E，F，H分别是，，中点，给出下列结论： ①平面； ②平面； ③直线EF与直线所成的角为； ④平面与底面所成二面角的大小为. 其中正确的结论有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，由题意可得共面，从而进行判断，对于②，根据正方体的性质结合线面垂直的判定定理判断，对于③，取的中点，连接，可得为直线EF与直线所成的角，然后求解判断，对于④,由正方体的性质可得为平面与底面所成二面角，然后求解判断. 【详解】对于①，因为∥，所以共面， 因为平面，所以平面，所以①错误， 对于②，因为平面，平面，所以，即， 因，平面，所以平面，所以②正确， 对于③，取的中点，连接，因为为的中点，所以∥，， 因为∥，所以∥，所以为直线EF与直线所成的角， 设正方体的棱长为2，则，， 所以，因为，所以，所以③错误， 对于④，因为平面， 平面， 所以，所以为平面与底面所成二面角， 因为，所以平面与底面所成二面角的大小为，所以④正确， 故选：B 第II卷（非选择题 共80分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 11. 甲、乙两人破译同一个密码，已知他们能破译出该密码的概率分别为和，若甲、乙两人是否译出该密码相互独立，则甲、乙都译出该密码的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由独立性事件同时发生的概率公式即可得出答案. 【详解】因为甲、乙两人是否译出该密码相互独立， 所以甲、乙都译出该密码的概率为：. 故答案为：. 12. 一个射击运动员打靶6次的环数为：9，5，7，6，8，7，则这组数据的方差为__________. 注：一组数据，，…，的平均数为，它的方差为. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出平均数，然后根据方差公式求解即可. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 13. 已知，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的共线定理即可求解. 【详解】因为向量与共线， 所以存在唯一的实数k,使得成立, 即，所以，解得， 故答案为：. 14. 已知正方体的外接球的表面积为，点为棱BC的中点，则三棱锥的体积为__________.注：球的表面积，其中为球的半径 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的特征及球的表面积公式可计算正方体棱长，再根据三棱锥的体积公式计算即可. 【详解】由题意可知正方体的外接球直径为正方体的体对角线， 所以，,解得：， 故答案为： 15. 在中，，，为CD上一点，且满足，则的值为__________；若，，则的值为__________. 【答案】 ①. ##0.1 ②. 【解析】 【分析】根据得到，设存在，使得，变形后得到，对照系数得到方程组，求出；再计算出，从而得到，代入计算即可. 【详解】因为，所以， ， 因为三点共线，所以设存在，使得， 故，即， 故，解得； ， 则 因为，，， 所以. 故答案为：， 三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若z是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解； （2）根据复数是纯虚数求参即可； （3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，. 所以，. 【小问2详解】 若复数是纯虚数，则， 解得，所以. 【小问3详解】 复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则即， 解得. 所以，实数的取值范围是. 17. 抽取某车床生产8个零件，编号为，，...，，测得其直径（单位：cm）分别为：1.51，1.49，1.49，1.51，1.49，1.48，1.47，1.53，其中直径在区间内的零件为一等品. （1）求从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （2）从上述一等品零件中，不放回地依次随机抽取2个，用零件的编号列出所有可能的抽取结果，并求这2个零件直径相等的概率. 【答案】（1） （2）结果见解析， 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果； （2）根据条件，列出样本空间点和事件的样本点，利用古典概率公式，即可求出结果. 【小问1详解】 由所给数据可知，一等品零件共有5个. 设“从8个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件，则. 所以，从8个零件中，随机抽取一个为一等品的概率为. 【小问2详解】 一等品零件的编号为，，，，.从这5个一等品零件中依次不放回随机抽取2个，所有可能的结果有：，，分共20种. 设“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”为事件，所有可能结果有：，共有8种. 所以，. 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化即可得解； （2）根据余弦定理求出边长，然后利用面积公式求面积即可得解. 【小问1详解】 由正弦定理得. 因为，所以，，. 因为在中，，所以，. 【小问2详解】 由，及余弦定理. 得，解得或（舍） 所以，. 19. 高一年级进行消防知识竞赛，从所有答卷中随机抽取样本，将样本数据（成绩/分）按，，，，分成5组，并整理得到如下频率分布直方图. （1）求a的值和众数； （2）若成绩在内有30人，现从成绩在和两组中，采取分层随机抽样的方法抽取12人，则这两组分别抽取多少人？ （3）年级决定表彰成绩排名前25%的学生，已知某学生的成绩是86，请以此样本数据来估计该生能否得到表彰，并说明理由. 【答案】（1），众数是75 （2）9人，3人 （3）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值，根据众数的概念求得结果； （2）先根据频率分布直方图计算出成绩在的频率，求出样本容量，进而求得和样本人数，再根据比例抽样即可； （3）根据频率分布直方图计算样本的第75 百分位数，与86比较，即可得结论. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：. 解得，众数是75. 【小问2详解】 因为，成绩在一组人数为30人，其频率， 所以，样本容量为. 成绩在和的频数为90，30. 设在和按照分层随机抽样分别抽取人，人，按照分层随机抽样. 得，. 所以，在和按照分层随机抽样分别抽取9人，3人. 【小问3详解】 成绩低于80分的频率为0.6，成绩低于90分的频率为0.9. 由题，表彰成绩排名前的学生，即被表彰的最低成绩为第75百分位数. 设第75百分位数为，则在中，，解得. 即第75百分位数为. 所以，估计该生能得到表彰. 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，且，，，为AD的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，，求直线PA与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）因为且，所以为平行四边形，则，利用线面平行的判定定理即可得证； （2）由已知可得，由面面垂直的性质定理可得面，进而即可证得结论； （3）作于，可知面，所以为直线与平面所成角，在直角中求解即可． 【小问1详解】 由题设，易知且， 所以，四边形为平行四边形，所以，. 因为，平面，平面， 所以，平面. 【小问2详解】 因为，，，， 所以，，. 所以，，即. 又因为，平面平面，平面， 平面平面，所以，平面. 又因为，平面，所以，平面平面. 【小问3详解】 作，垂足为. 由（2）知，平面平面， 又平面平面平面， 所以，平面. 所以，PM为直线PA在平面上射影， 所以，为直线AP与平面所成的角. 在中，，，， 所以，，即. 在中，. 所以，直线AP与平面所成的角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$