第12章 专题4 构造全等三角形的常用方法（课件PPT）-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

勤为径图书 数 学 八年级上册 第十二章 全等三角形 专题4　构造全等三角形的常用方法 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 利用“截长补短法”构造全等三角形　　 方法指导：截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等关系． 1．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD. 1题图 证明：如答图，在AC上截取AE＝AB，连接DE. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠BAD. 在△AED和△ABD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝AB，,∠EAD＝∠BAD，,AD＝AD，)) ∴△AED≌△ABD(SAS)， ∴ED＝BD，∠AED＝∠B. 1题答图 ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C. 又∵∠AED为△CED的外角， ∴∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴EC＝ED，∴EC＝BD， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD. 2．如图，AB∥CD，CE，BE分别是∠BCD和∠CBA的平分线，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD. 2题图 证明：如答图，在BC上取点F， 使BF＝BA，连接EF. ∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ABE和△FBE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝FB，,∠1＝∠2，,BE＝BE，)) ∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠5. ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠5＋∠D＝180°. 2题答图 又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△CDE和△CFE中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠D＝∠6，,∠4＝∠3，,CE＝CE，)) ∴△CDE≌△CFE(AAS)， ∴CF＝CD， ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD. 利用“角平分线”构造全等三角形　　 方法指导：因为角平分线本身已经具备全等三角形的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上的一点作角两边的垂线段． 3．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1＋∠C. 3题图 证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵AD⊥BE， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°. ∵BE是角平分线， ∴∠ABD＝∠FBD. 在△ABD和△FBD中， 3题答图 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ABD＝∠FBD，,BD＝BD，,∠ADB＝∠FDB，)) ∴△ABD≌△FBD(ASA)， ∴∠2＝∠AFB. 又∵∠AFB＝∠1＋∠C， ∴∠2＝∠1＋∠C. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 4题图 解：CD＝2BE.理由如下： 如答图，延长BE交CA的延长线于点F. ∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE. ∵BE⊥CD，∴∠CEB＝∠CEF＝90°. 在△CEF和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FCE＝∠BCE，,CE＝CE，,∠CEF＝∠CEB＝90°，)) ∴△CEF≌△CEB(ASA)， ∴FE＝BE. 4题答图 ∵∠DAC＝∠CEF＝90°， ∴∠ACD＋∠F＝∠ABF＋∠F＝90°， ∴∠ACD＝∠ABF. 在△ACD和△ABF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACD＝∠ABF，,AC＝AB，,∠CAD＝∠BAF＝90°，)) ∴△ACD≌△ABF(ASA)， ∴CD＝BF，∴CD＝2BE. 5．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN. 5题图 证明：过点P作PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F，如答图． ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF＋∠AOB＝180°. ∵∠MPN＋∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN. ∵OP平分∠AOB， 5题答图 PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF. 在△PEM和△PFN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EPM＝∠FPN，,PE＝PF，,∠PEM＝∠PFN，)) ∴△PEM≌△PFN(ASA)， ∴PM＝PN. 利用“倍长中线法”构造全等三角形　　 方法指导：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等． 6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 6题图 证明：如答图，延长AM至点N，使MN＝AM，连接BN. ∵点M为BC的中点， ∴CM＝BM. 在△AMC和△NMB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AM＝NM，,∠AMC＝∠NMB，,CM＝BM，)) ∴△AMC≌△NMB(SAS)， 6题答图 ∴AC＝BN，∠C＝∠NBM. ∵AB⊥AE，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD＋∠BAC＝180°， ∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM ＝∠ABC＋∠C ＝180°－∠BAC＝∠EAD. 在△EAD和△ABN中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝BA，,∠EAD＝∠ABN，,AD＝BN，)) ∴△EAD≌△ABN(SAS)， ∴DE＝AN＝2AM. 7．如图，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE. 7题图 证明：延长AE至点F，使EF＝AE， 连接BF，如答图． ∵AE是△ABD的中线， ∴BE＝DE. 在△ADE和△FBE中， 7题答图 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝FE，,∠AED＝∠FEB，,DE＝BE，)) ∴△ADE≌△FBE(SAS)， ∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠ABD＋∠FBE， ∴∠ABF＝∠ABD＋∠ADB＝∠ABD＋∠BAD＝∠ADC. 在△ABF和△CDA中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CD，,∠ABF＝∠CDA，,BF＝DA，)) ∴△ABF≌△CDA(SAS)， ∴AC＝AF. ∵AF＝2AE， ∴AC＝2AE. 8．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 8题图 (1)证明：如答图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点，∴DB＝CD. 在△ADC和△EDB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝ED，,∠ADC＝∠EDB，,CD＝BD，)) ∴△ADC≌△EDB(SAS)， ∴AC＝BE. 在△ABE中，AB＋BE>AE， 8题答图 ∵AE＝2AD， ∴AB＋AC>2AD. (2)解：∵AB＝5，AC＝3， ∴5－3<2AD<5＋3， ∴1<AD<4. $$