12.3 第1课时 角的平分线的性质（课件PPT）-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

勤为径图书 数 学 八年级上册 第十二章 全等三角形 12.3角的平分线的性质 第1课时　角的平分线的性质 勤为径图书 A 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 D 勤为径图书 5 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 BD平分∠ABC交AC于点D, B′D′平分 ∠A′B′C′交A′C′于点D′ BD＝B′D′ 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 B 勤为径图书 B 勤为径图书 C 勤为径图书 2∶3∶4 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 勤为径图书 角的平分线的作法　　 1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( ) A．SSS B．ASA C．AAS D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等 1题图 2．(赤峰中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC＝AD. (1)作∠BAC的平分线，交BC于点E；(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接DE.求证：DE⊥AB. 2题图 (1)解：如答图，AE即为所求． (2)证明：∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝∠DAE， 在△ACE和△ADE中， 2题答图 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝AD，,∠CAE＝∠DAE，,AE＝AE，)) ∴△ACE≌△ADE(SAS)， ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴DE⊥AB. 角的平分线的性质　　 3．(梧州中考)如图，已知BG是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，DE＝6，则DF的长度是( ) 3题图 A．2 B．3 C．4 D．6 4．(双鸭山宝山区期末)如图，已知OC平分∠AOB，P是OC上一点，PH⊥OB于点H，Q是射线OA上的一个动点．若PH＝5，则PQ的长度的最小值为__． 4题图 5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE＝FC.求证：BD＝DF. 5题图 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE. 在△DCF和△DEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DC＝DE，,∠C＝∠BED，,CF＝EB，)) ∴△DCF≌△DEB(SAS)， ∴BD＝DF. 6．如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，S△ABC＝ 96 cm2，AB＝20 cm，AC＝12 cm，求DE的长． 6题图 解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF. ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝ eq \f(1,2)AB×DE＋ eq \f(1,2)AC×DF，∴S△ABC＝ eq \f(1,2)(AB＋AC)×DE， 即 eq \f(1,2)×(20＋12)×DE＝96，解得DE＝6 cm. 文字命题的证明　　 7．命题“两个全等三角形对应角平分线相等”．根据几何命题的证明步骤，证明该命题． 已知：如图，△ABC≌△A′B′C′，______________________________________ ___________________________________________________． 求证：____________． 7题图 证明：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A′B′， ∠A＝∠A′， ∠ABC＝∠A′B′C′. ∵BD, B′D′分别是△ABC和△A′B′C′的角平分线， ∴∠ABD＝ eq \f(1,2)∠ABC， ∠A′B′D′＝ eq \f(1,2)∠A′B′C′， ∴∠ABD＝∠A′B′D′. 在△ABD和△A′B′D′中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A＝∠A′，,AB＝A′B′，,∠ABD＝∠A′B′D′，)) ∴△ABD≌△A′B′D′(ASA)，∴BD＝B′D′. 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 eq \f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为( ) A．15 B．30 C．45 D．60 8题图 9．(大庆大同区期中)如图，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，S△ABC＝8，DE＝2，AC＝4，则AB的长是( ) 9题图 A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4.若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为( ) 10题图 A．8.5 B．15 C．17 D．34 11．已知△ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________． 12．如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M，N.求证：PM＝PN. 12题图 证明：∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝CB，,∠ABD＝∠CBD，,BD＝BD，)) ∴△ABD≌△CBD(SAS)， ∴∠ADB＝∠CDB. ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN. 13．(伊春丰林县期中)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AD平分∠CAB，点F在AC上，BD＝DF.求证：BE＝FC. 13题图 证明：∵AD平分∠CAB，∠C＝90°， DE⊥AB， ∴DE＝DC，∠C＝∠DEB＝90°， ∴在Rt△DEB和Rt△DCF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝FD，,DE＝DC，)) ∴Rt△DEB≌Rt△DCF(HL)，∴BE＝FC. 14．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E. (1)若∠ADC＋∠B＝180°，求证：AD＋AB＝2AE； (2)若AD＋AB＝2AE，求证：CD＝CB. 14题图 证明：(1)如答图①，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F. ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E， ∴CE＝CF. 又∵AC＝AC， ∴Rt△ACF≌Rt△ACE，∴AE＝AF. ∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠CDF＝180°， ∴∠CDF＝∠B. 在△CFD和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠CDF＝∠B，,∠F＝∠CEB，,CF＝CE，)) ∴△CFD≌△CEB(AAS)，∴DF＝BE， ∴AD＋AB＝AF－DF＋AE＋BE＝AF＋AE＝2AE. 14题答图①　　　　　　14题答图② (2)如答图②，延长AD至点G，使DG＝BE. ∵AD＋AB＝2AE， ∴AG－DG＋AE＋BE＝2AE，即AG＝AE. ∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠GAC. 又∵AC＝AC，∴△EAC≌△GAC， ∴∠G＝∠CEA＝∠CEB＝90°，CG＝CE. 在△CGD和△CEB中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(CG＝CE，,∠G＝∠CEB＝90°，,DG＝BE，)) ∴△CGD≌△CEB(SAS)，∴CD＝CB. 15．【感知】如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知DB＝DC. 【探究】如图②，如果把“∠B＝90°”改为“∠B<90°”，那么DB＝DC还成立吗？请说明理由． 15题图①　　　　　　15题图②　 (详细答案见《参考答案及解析》P13) $$