第09章 整式（一） 章节汇总练习（16个知识点+43题练习）-2024年新七年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09章 整式（一） 章节汇总练习（16个知识点+43题练习） 知识点合集 知识点1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点4．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 知识点5．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 知识点6．去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 知识点7．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点8．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点9．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点10．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点11．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 知识点12．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点13．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点14．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点15．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点16．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 试题练习 一．代数式 1．（2022秋•闵行区期中）下列各式中，是代数式的有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（虹口区校级月考）代数式应该写成　　． 二．列代数式 3．（2022秋•黄浦区期中）“与两数的平方差”可以用代数式表示为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•杨浦区期末）用代数式表示：“的平方的倒数减去的差”是 　　． 5．（2023秋•奉贤区期中）如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，． （1）用含有，的代数式表示正方形的面积． （2）与具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）用含有，的代数式表示多边形的面积． 三．代数式求值 6．（2023秋•静安区校级月考）当时，求的值． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；若，则；若，则．例，； 已知当，时有，则代数式的值为 　　． 8．（2022秋•青浦区期中）在代数式中，与的值各减少，则该代数式的值减少了　　 A． B． C． D． 四．同类项 9．（2021秋•浦东新区校级期中）已知：与是同类项，则代数式的值是　　 A． B． C． D．5 10．（2023秋•浦东新区期末）如果是是同类项，那么　　． 11．（松江区期中）若与是同类项，试求的值． 五．合并同类项 12．（2022秋•浦东新区期中）单项式与的和是，则　　 A． B．3 C．4 D．5 13．（2021秋•青浦区校级月考） 14．（2023秋•静安区校级月考）与的和是，则　　． 六．去括号与添括号 15．（2020秋•浦东新区校级月考）下列各题中，去括号错误的是　　 A． B． C． D． 16．（2021秋•宝山区校级月考）去括号　　． 七．整式 17．（2022秋•宝山区期中）代数式，，，，，0.5中整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．（闸北区校级期中）代数式是单项式还是多项式？答：　 　． 八．单项式 19．（2022秋•思明区校级期中）单项式的系数和次数分别是　　 A．，5 B．，6 C．，6 D．，7 20．（2022秋•长宁区校级期中）单项式的系数是 　　． 九．多项式 21．（2023秋•杨浦区期末）下列叙述中，正确的是　　 A．0是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数为 D．多项式是六次二项式 22．（2023秋•浦东新区校级期末）多项式的一次项的系数是 　　． 23．（2021秋•浦东新区校级期中）已知代数式的值与字母的取值无关，求的值． 一十．整式的加减 24．（2023秋•普陀区期末）用代数式表示：“与的2倍的和”　　． 25．（2022秋•宝山区校级月考） 26．（2022秋•青浦区期中）下列语句中正确的有　　个． （1）次数为10； （2）1是整式； （3）一个关于的四次多项式和一个关于的五次多项式相加，结果是一定是一个五次多项式； （4）两个三次多项式相加的结果可能是一个二次单项式． A．0 B．1 C．2 D．3 一十一．整式的加减—化简求值 27．（2021秋•宝山区校级月考）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 28．（2022秋•宝山区校级期中）先化简再求值：，其中． 29．（2022秋•静安区校级期中）已知，，则　　． 一十二．同底数幂的乘法 30．（2023秋•松江区月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•浦东新区期末）已知，那么　　． 32．（2023春•徐汇区校级期中）阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即． 一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值：　　，　　，　　． （2）写出（1）、、之间满足的关系式 　　． （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：　　且，，． （4）设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 一十三．幂的乘方与积的乘方 33．（2023秋•浦东新区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 34．（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 35．（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 一十四．单项式乘单项式 36．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 37．（2023秋•宝山区期末）计算：　　． 38．（2023秋•松江区月考）计算：． 一十五．单项式乘多项式 39．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 40．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：　　． 一十六．多项式乘多项式 41．（2023秋•金山区期末）计算：　　． 42．（2023秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． 43．（2023秋•浦东新区期末）若，则的值为　　 A． B． C．5 D．1 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09章 整式（一） 章节汇总练习（16个知识点+43题练习） 知识点合集 知识点1．代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点2．列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点3．代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点4．同类项 （1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项． 同类项中所含字母可以看成是数字、单项式、多项式等． （2）注意事项： ①一是所含字母相同，二是相同字母的指数也相同，两者缺一不可； ②同类项与系数的大小无关； ③同类项与它们所含的字母顺序无关； ④所有常数项都是同类项． 知识点5．合并同类项 （1）定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2）合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． （3）合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 知识点6．去括号与添括号 （1）去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． （2）去括号规律：①a+（b+c）＝a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号． 说明：①去括号法则是根据乘法分配律推出的；②去括号时改变了式子的形式，但并没有改变式子的值． （3）添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号． 添括号与去括号可互相检验． 知识点7．整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点8．单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点9．多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点10．整式的加减 （1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项． （2）整式的加减实质上就是合并同类项． （3）整式加减的应用： ①认真审题，弄清已知和未知的关系； ②根据题意列出算式； ③计算结果，根据结果解答实际问题． 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项． 2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号． 知识点11．整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值，求整式的值的问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 知识点12．同底数幂的乘法 （1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝a m+n（m，n是正整数） （2）推广：am•an•ap＝a m+n+p（m，n，p都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂． 知识点13．幂的乘方与积的乘方 （1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果． 知识点14．单项式乘单项式 运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立． 知识点15．单项式乘多项式 （1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题： ①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 知识点16．多项式乘多项式 （1）多项式与多项式相乘的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）运用法则时应注意以下两点： ①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积． 试题练习 一．代数式 1．（2022秋•闵行区期中）下列各式中，是代数式的有　　 ①；②；③；④；⑤；⑥． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据代数式的定义对各选项进行分析即可求出答案． 【解答】解：由代数式的定义可知，是代数式的有：①；②；④；⑥，共4个． 故选：． 【点评】本题考查代数式的定义，对各选项进行判定即可，注意等式，不等式不为代数式． 2．（虹口区校级月考）代数式应该写成　　． 【分析】直接利用代数式书写方法分析得出答案． 【解答】解：应该写成， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了代数式，正确把握代数式的书写方式是解题的关键． 2． 列代数式 3．（2022秋•黄浦区期中）“与两数的平方差”可以用代数式表示为　　 A． B． C． D． 【分析】先算与的平方，再算差即可． 【解答】解：与的平方差，用代数式表示为：． 故选：． 【点评】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键． 4．（2023秋•杨浦区期末）用代数式表示：“的平方的倒数减去的差”是 　　． 【分析】根据题意，可以用含的代数式表示出的平方的倒数减去的差． 【解答】解：“的平方的倒数减去的差”用代数式表示为：， 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 5．（2023秋•奉贤区期中）如图，点是线段的中点，为线段上一点，分别以、、、为一边作正方形，其面积对应地记作，，，，设，． （1）用含有，的代数式表示正方形的面积． （2）与具有怎样的数量关系？并说明理由． （3）用含有，的代数式表示多边形的面积． 【分析】（1）根据正方形面积公式即可用含有，的代数式表示正方形的面积； （2）根据正方形的面积即可得与的数量关系； （3）根据，然后代入计算即可． 【解答】解：（1）点是线段的中点， ， 分别以、、、为一边作正方形， 设，， ， ， 正方形的面积． （2），理由如下： ， ． （3）， ． 【点评】本题考查了列代数式，解决本题的关键是理解题意后根据正方形的面积列代数式． 三．代数式求值 6．（2023秋•静安区校级月考）当时，求的值． 【分析】把代入求值即可． 【解答】解：， ． 【点评】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，准确计算． 7．（2023秋•浦东新区校级期中）定义：对于一个数，我们把称作的相伴数；若，则；若，则．例，； 已知当，时有，则代数式的值为 　　． 【分析】根据定义的新运算可得，从而可得，然后利用整体的思想进行计算即可解答． 【解答】解：当，时，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键． 8．（2022秋•青浦区期中）在代数式中，与的值各减少，则该代数式的值减少了　　 A． B． C． D． 【分析】与的值各减少，则原式可变为从而可作出判断． 【解答】解：与的值各减少，则： ． 故选：． 【点评】本题主要考查的是代数式求值，列出与的值各减少后的代数式是解题的关键． 四．同类项 9．（2021秋•浦东新区校级期中）已知：与是同类项，则代数式的值是　　 A． B． C． D．5 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【解答】解：由题意，得 ，， ， 故选：． 【点评】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：所含字母相同；相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项定义中隐含的两个“无关”：①与字母的顺序无关；②与系数无关． 10．（2023秋•浦东新区期末）如果是是同类项，那么　　． 【分析】根据同类项的定义求出和的值，即可得出答案． 【解答】解：是是同类项， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了同类项的定义，含有相同的字母并且相同字母的指数也相同就做同类项，据此作答即可． 11．（松江区期中）若与是同类项，试求的值． 【分析】根据同类项的定义得到，解方程组得，然后把它们代入中进行计算即可． 【解答】解：由题意得，， 解得， 则． 【点评】本题考查了同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数相等的项叫同类项． 五．合并同类项 12．（2022秋•浦东新区期中）单项式与的和是，则　　 A． B．3 C．4 D．5 【分析】根据单项式的和是单项式，可得两个单项式是同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得、的值，再代入计算可得答案． 【解答】解：单项式与的和是， 单项式与是同类项， ，， 解得，， ， 故选：． 【点评】本题考查了同类项的概念，同类项定义中的两个“相同”：字母相同，相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 13．（2021秋•青浦区校级月考） 【分析】先根据同类项的概念，找出此多项式中的同类项，再根据合并同类项的法则得出结果．注意不是同类项的不能合并． 【解答】解：， ， ． 【点评】本题考查同类项的定义及合并同类项的法则． 同类项的定义：含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的项是同类项． 合并同类项的法则：合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变． 14．（2023秋•静安区校级月考）与的和是，则　6　． 【分析】根据同类项的定义确定与的值，再代入计算即可． 【解答】解：由题意知， 与是同类项， ，， ， ． 故答案为：6． 【点评】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同． 六．去括号与添括号 15．（2020秋•浦东新区校级月考）下列各题中，去括号错误的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【解答】解：．，故本选项不合题意； ．，故本选项不合题意； ，故本选项符合题意； ，故本选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 16．（2021秋•宝山区校级月考）去括号　　． 【分析】根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 七．整式 17．（2022秋•宝山区期中）代数式，，，，，0.5中整式的个数是　　 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】根据整式的定义（根据单项式和多项式统称为整式）解决此题． 【解答】解：不是整式，是多项式，是单项式，是多项式，不是整式，0.5是单项式， 整式有，，，0.5，共有4个． 故选：． 【点评】本题主要考查整式，熟练掌握整式的定义是解决本题的关键． 18．（闸北区校级期中）代数式是单项式还是多项式？答：　多项式　． 【分析】先把代数式化成与和的形式，再根据单项式和多项式的定义求解即可；数或字母的积叫单项式；几个单项式的和叫多项式． 【解答】解：，是与和， 代数式是多项式； 故答案为：多项式． 【点评】此题考查了单项式和多项式的定义，解题的关键是把代数式进行整理，化成与和的形式，再根据多项式的定义即可进行判断． 八．单项式 19．（2022秋•思明区校级期中）单项式的系数和次数分别是　　 A．，5 B．，6 C．，6 D．，7 【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数和次数分别是，6． 故选：． 【点评】确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．注意是数字，应作为系数． 20．（2022秋•长宁区校级期中）单项式的系数是 　　． 【分析】根据单项式系数的概念求解． 【解答】解：单项式的系数为． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式的知识，单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 九．多项式 21．（2023秋•杨浦区期末）下列叙述中，正确的是　　 A．0是单项式 B．单项式的次数是5 C．单项式的系数为 D．多项式是六次二项式 【分析】根据单项式的定义，单项式的系数与次数的定义，多项式的项与次数的定义逐项判断即可． 【解答】解：0是单项式，则符合题意； 单项式的次数是2，则不符合题意； 单项式的系数为，则不符合题意； 多项式是四次二项式，则不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查单项式与多项式，熟练掌握相关定义是解题的关键． 22．（2023秋•浦东新区校级期末）多项式的一次项的系数是 　　． 【分析】根据多项式的概念即可求出答案． 【解答】解：该多项式为：， 故一次项的系数为， 故答案为：． 【点评】本题考查多项式，解题的关键正确理解多项式的概念，本题属于基础题型． 23．（2021秋•浦东新区校级期中）已知代数式的值与字母的取值无关，求的值． 【分析】根据题意可得的二次项和一次项的系数均为0，据此求出、的值，然后代入求解． 【解答】解：由题意得，，， 解得：，， 则． 【点评】本题考查了多项式的知识，解答本题的关键是理解题目中字母的取值无关的意思． 一十．整式的加减 24．（2023秋•普陀区期末）用代数式表示：“与的2倍的和”　 　． 【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出题目中对的语句，本题得以解决． 【解答】解：与的2倍的和是：， 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式． 25．（2022秋•宝山区校级月考） 【分析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项．去括号时，当括号前面是负号，括号内各项都要变号；合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变． 【解答】解：原式 【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．去括号时注意符号的变化． （1）要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序． （2）去括号法则：得，得，得，得． （3）整式中如果有多重括号应按照先去小括号，再去中括号的顺序进行． 26．（2022秋•青浦区期中）下列语句中正确的有　　个． （1）次数为10； （2）1是整式； （3）一个关于的四次多项式和一个关于的五次多项式相加，结果是一定是一个五次多项式； （4）两个三次多项式相加的结果可能是一个二次单项式． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】根据单项式的次数，整式的定义，以及整式的加减逐一判断即可解答． 【解答】解：（1）的次数是5次，不是10次，不符合题意； （2）1是整式，符合题意； （3）一个关于的四次多项式和一个关于的五次多项式相加，结果是一定是一个五次多项式，符合题意； （4）两个三次多项式相加的结果可能是一个二次单项式，符合题意； 故（2）（3）（4）正确，正确的个数为3个， 故选：． 【点评】本题考查了单项式的次数，整式的定义，以及整式的加减，解题关键是熟练掌握整式加减后的次数不大于整式加减前的最高次数． 一十一．整式的加减—化简求值 27．（2021秋•宝山区校级月考）若代数式的值与字母的取值无关，求代数式的值． 【分析】本题式子与字母无关，将原式化简提出，则含的项为0，由此可得与的关系，再将原代数式化简，代入与的关系式即可． 【解答】解： ， ， ． 【点评】本题考查了整式的化简与二元一次方程的解．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点． 28．（2022秋•宝山区校级期中）先化简再求值：，其中． 【分析】先去小括号，然后合并同类项，对进行化简，再把代入化简的式子，即可． 【解答】解： ； 把代入， ． 【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的乘法，整式的加减运算． 29．（2022秋•静安区校级期中）已知，，则　　． 【分析】直接根据已知条件进行整理即可求解． 【解答】解：，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的加减，利用整式的加减运算化简求值． 一十二．同底数幂的乘法 30．（2023秋•松江区月考）下列各题能用同底数幂乘法法则进行计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据同底数幂的乘法的法则进行分析即可． 【解答】解：、与的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故不符合题意； 、，与的底数一样，能用同底数幂的乘法的法则运算，故符合题意； 、只能用合并同类项的法则运算，故不符合题意； 、，与的底数不一样，不能用同底数幂的乘法的法则运算，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 31．（2023秋•浦东新区期末）已知，那么　3　． 【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案． 【解答】解：， ， ， 解得：． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键． 32．（2023春•徐汇区校级期中）阅读下列材料：一般地，个相同的因数相乘，记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即． 一般地，若且，，则叫做以为底的对数，记为（即．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即． （1）计算以下各对数的值：　2　，　　，　　． （2）写出（1）、、之间满足的关系式 　　． （3）由（2）的结果，请你能归纳出一个一般性的结论：　　且，，． （4）设，，请根据幂的运算法则以及对数的定义说明上述结论的正确性． 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，即可找到规律：，； （3）由特殊到一般，得出结论：； （4）设，，根据幂的运算法则：和给出的材料证明结论． 【解答】解：（1），，， 故答案为：2，4，6； （2），，，， ， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）证明：设，， 则，， ， ， ． 【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查同底数幂的乘法，对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质． 一十三．幂的乘方与积的乘方 33．（2023秋•浦东新区期末）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； ．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； 、选项均根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可． 【解答】解：．，此选项符合题意； ．，此选项不符合题意； ．，此选项不符合题意； ．，此选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法，解题关键是熟练掌握幂的乘方、积的乘方和同底数幂的乘法法则． 34．（2022秋•长宁区校级期中）计算：　　． 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方，积的乘方运算法则是解题关键． 35．（2023秋•闵行区校级月考）已知，求的值． 【分析】首先变形把等号左边2 ，然后再利用积的乘方进行计算，从而可得，进而可得，再解即可． 【解答】解：， 2 ， ， ， 则， ． 【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是熟练掌握积的乘方计算公式是正整数）． 一十四．单项式乘单项式 36．（2023秋•浦东新区校级期末）的计算结果是　　 A． B． C． D． 【分析】运用单项式乘单项式和科学记数法知识进行求解、辨别． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】此题考查了科学记数法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识． 37．（2023秋•宝山区期末）计算：　　． 【分析】先把系数相乘，然后利用同底数幂的乘法计算． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式是关键． 38．（2023秋•松江区月考）计算：． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再合并同类项即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，解题关键是熟练掌握幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，即，是正整数）．积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即是正整数）． 一十五．单项式乘多项式 39．（2023秋•宝山区校级月考）计算：． 【分析】先计算积的乘法，再利用单项式乘以多项式的乘法法则计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查单项式的乘法，熟练掌握积的乘方和单项式乘以多项式的乘法法则是解题的关键． 40．（2023秋•浦东新区校级期中）计算：　　． 【分析】先算积的乘方，再算单项式乘多项式即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查单项式乘多项式，积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 一十六．多项式乘多项式 41．（2023秋•金山区期末）计算：　　． 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算得出答案． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 42．（2023秋•松江区月考）若的展开式中不含和项，求、的值． 【分析】求多项式乘多项式的展开式为，根据题意可得，，计算求解即可． 【解答】解： ， 展开式中不含和项， ，， 解得：，． 【点评】本题考查了多项式乘多项式．解题的关键在于正确的运算． 43．（2023秋•浦东新区期末）若，则的值为　　 A． B． C．5 D．1 【分析】先根据多项式乘多项式法则，计算出的结果，然后求出的值即可． 【解答】解： ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$