第12章 专题4 构造全等三角形的常用方法（Word练习教用）-【中考123】2024-2025学年八年级上册数学全程导练（人教版）黑龙江专版

[答案 P14] 利用“截长补短法”构造全等三角形　　 方法指导：截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用全等三角形的性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等关系． 1．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD. 1题图 证明：如答图，在AC上截取AE＝AB，连接DE. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠EAD＝∠BAD. 在△AED和△ABD中， ∴△AED≌△ABD(SAS)， ∴ED＝BD，∠AED＝∠B. 1题答图 ∵∠B＝2∠C， ∴∠AED＝2∠C. 又∵∠AED为△CED的外角， ∴∠AED＝∠C＋∠EDC， ∴∠C＝∠EDC， ∴EC＝ED，∴EC＝BD， ∴AC＝AE＋EC＝AB＋BD. 2．如图，AB∥CD，CE，BE分别是∠BCD和∠CBA的平分线，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD. 2题图 证明：如答图，在BC上取点F， 使BF＝BA，连接EF. ∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 在△ABE和△FBE中， ∴△ABE≌△FBE(SAS)，∴∠A＝∠5. ∵AB∥CD，∴∠A＋∠D＝180°，∴∠5＋∠D＝180°. 2题答图 又∵∠5＋∠6＝180°，∴∠6＝∠D. 在△CDE和△CFE中， ∴△CDE≌△CFE(AAS)， ∴CF＝CD， ∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD. 利用“角平分线”构造全等三角形　　 方法指导：因为角平分线本身已经具备全等三角形的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上的一点作角两边的垂线段． 3．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1＋∠C. 3题图 证明：如答图，延长AD交BC于点F. ∵AD⊥BE， ∴∠ADB＝∠FDB＝90°. ∵BE是角平分线， ∴∠ABD＝∠FBD. 在△ABD和△FBD中， 3题答图 ∴△ABD≌△FBD(ASA)， ∴∠2＝∠AFB. 又∵∠AFB＝∠1＋∠C， ∴∠2＝∠1＋∠C. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论. 4题图 解：CD＝2BE.理由如下： 如答图，延长BE交CA的延长线于点F. ∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE. ∵BE⊥CD，∴∠CEB＝∠CEF＝90°. 在△CEF和△CEB中， 4题答图 ∴△CEF≌△CEB(ASA)， ∴FE＝BE. ∵∠DAC＝∠CEF＝90°， ∴∠ACD＋∠F＝∠ABF＋∠F＝90°， ∴∠ACD＝∠ABF. 在△ACD和△ABF中， ∴△ACD≌△ABF(ASA)， ∴CD＝BF，∴CD＝2BE. 5．如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA，OB相交于M，N两点，求证：PM＝PN. 5题图 证明：过点P作PE⊥OA于点E， PF⊥OB于点F，如答图． ∴∠PEO＝∠PFO＝90°， ∴∠EPF＋∠AOB＝180°. ∵∠MPN＋∠AOB＝180°， ∴∠EPF＝∠MPN， ∴∠EPM＝∠FPN. ∵OP平分∠AOB， 5题答图 PE⊥OA，PF⊥OB， ∴PE＝PF. 在△PEM和△PFN中， ∴△PEM≌△PFN(ASA)， ∴PM＝PN. 利用“倍长中线法”构造全等三角形　　 方法指导：将中线延长一倍，然后利用“SAS”判定三角形全等． 6．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 6题图 证明：如答图，延长AM至点N，使MN＝AM，连接BN. ∵点M为BC的中点， ∴CM＝BM. 在△AMC和△NMB中， ∴△AMC≌△NMB(SAS)， 6题答图 ∴AC＝BN，∠C＝∠NBM. ∵AB⊥AE，AD⊥AC， ∴∠EAB＝∠DAC＝90°， ∴∠EAD＋∠BAC＝180°， ∴∠ABN＝∠ABC＋∠NBM ＝∠ABC＋∠C ＝180°－∠BAC＝∠EAD. 在△EAD和△ABN中， ∴△EAD≌△ABN(SAS)， ∴DE＝AN＝2AM. 7．如图，已知CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE. 7题图 证明：延长AE至点F，使EF＝AE， 连接BF，如答图． ∵AE是△ABD的中线， ∴BE＝DE. 在△ADE和△FBE中， 7题答图 ∴△ADE≌△FBE(SAS)， ∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠ABD＋∠FBE， ∴∠ABF＝∠ABD＋∠ADB＝∠ABD＋∠BAD＝∠ADC. 在△ABF和△CDA中， ∴△ABF≌△CDA(SAS)， ∴AC＝AF. ∵AF＝2AE， ∴AC＝2AE. 8．如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 8题图 (1)证明：如答图，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE. ∵D为BC的中点，∴DB＝CD. 在△ADC和△EDB中， ∴△ADC≌△EDB(SAS)， ∴AC＝BE. 在△ABE中，AB＋BE>AE， 8题答图 ∵AE＝2AD， ∴AB＋AC>2AD. (2)解：∵AB＝5，AC＝3， ∴5－3<2AD<5＋3， ∴1<AD<4. 学科网（北京）股份有限公司 $$