专题01 集合中的四种参数问题-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

专题01 集合中的四种参数问题 题型一：集合中元素个数的参数问题 题型二：包含关系中的参数问题 题型三：元素的互异性中的参数问题 题型四：“运算”关系中的参数问题 题型一：集合中元素个数的参数问题 此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中的元素个数求参数,常利用根的判别式求解，但要注意两点,一是解集是否可能为空集,一是二次项系数是不是 0. 【例1】已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值并求出集合； （3）若中只有三个元素是整数，求的取值范围． 【分析】由已知结合集合元素的特征及集合元素的个数分别求解（1）（2）（3）． 【解答】解：，． （1）若是空集，则， 解得， 故的取值范围； （2）若中只有一个元素，则，即， 所以的取值集合； （3）若中只有三个元素是整数， 则， 解得， 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合元素的特征，属于基础题． 【变式1】（2023秋•南安市校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 【分析】（1）是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）讨论、，分别求出值和集合中的元素； （3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围． 【解答】解：（1）是空集，且△，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，△，，解得，此时集合， 综上所求，的值为0或，当时，元素为，当时，元素为； （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于的方程有实数根，则△，得． 综上，若集合中至少有一个元素，则实数的取值范围为． 【点评】本题考查集合的应用，属于基础题． 【变式2】（2022秋•和平区校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【分析】根据元素与集合的关系可解． 【解答】解：若，则或， 当时，方程为，其解为：，所以是单元素集， 当时，方程无实数解，所以为空集， （1）若是空集， 则或， 即，所以的取值范围为，， （2）若中只有一个元素，则或，即，元素为， （3）若中至多只有一个元素，即为空集或单元素集， 所以或，所以的取值范围为，． 【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题． 【变式3】已知集合，，． （1）若中只有一个元素，求的值，并求出这个元素； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【分析】（1）若中只有一个元素，则方程为一次方程或△； （2）若中至多只有一个元素，则方程为一次方程或△； 【解答】解：（1）当时，方程可化为：， 解得，满足条件； 当时，方程的△， 解得：，满足条件； 综上可得：，，或， （2）当时，方程可化为：， 解得，满足条件； 当时，方程由△得：， 综上可得：或． 【点评】本题考查的知识点是集合元素的个数，一元二次方程根的个数判断，难度中档． 题型二：包含关系中的参数问题 已知两个集合的包含关系,这类问题的求解可以借助于数轴来看出两者之间的关系,把包含关系转化为不等 式问题解决,注意端点处的值是否能取到. 【例2】（2023秋•绍兴期末）已知集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）由已知结合集合的补集运算即可求解； （2）由已知结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）因为， 所以或； （2）因为，， 所以， 故的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合的补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题． 【变式1】（2023秋•玉溪期末）设集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）直接计算即可； （2）关键在于，然后计算就可以得出答案． 【解答】解：（1）（1）； 当时，， （2）（2），故，， ，所以的取值范围是． 【点评】本题考查集合的运算，集合之间的关系，属于基础题． 【变式2】（2024春•铜梁区校级月考）已知函数的值域为集合，集合，全集． （1）若，求． （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）利用正弦函数的性质，以及集合交集的定义求解； （2）根据集合的包含关系列不等式，解出的取值范围． 【解答】解：（1），函数，，即，， 若，，，， 则，； （2），， 或，解得或． 故的取值范围是，． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 【变式3】（2023秋•金平区期末）设全集，集合，或． （1）求； （2）集合，且，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用交集定义直接求解； （2）求出，当时，，当时，，由此能求出实数的取值范围． 【解答】解：（1），或， 或； （2）， 当时：，即，成立； 当时：． 综上：实数的取值范围是． 【点评】本题考查交集、实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 题型三：元素的互异性中的参数问题 涉及一个集合是另一个集合的子集,一个集合与另一个集合相等或某个元素属于集合时,求一些参数的值,注意遇到有重复元素时应舍去对应值.两个或多个集合运算后求元素的个数时重复元素按一个计算 【例3】已知集合中含有三个元素1，，，集合中含有三个元素0，，，且两集合中元素相同，求的值． 【分析】根据题意，有的意义，可得，而可得，，中必有，进而可得：①或②；分别解①②可得、的值，进而计算可得答案． 【解答】解：由题意可知，则只能， 则有以下对应关系：①或②； 由①得，，符合题意； ②无解； 则． 【点评】本题考查集合相等的意义，注意从元素的特点进行分析，即在本题中，根据的意义，可得，而可得在，，中必有． 【变式1】．若集合中有三个元素，，1，集合中也有三个元素，，，且，求实数的值． 【分析】根据已知条件，结合集合的互异性，即可求解． 【解答】解：集合中有三个元素，，1，集合中也有三个元素，，，且， ，解得，不符合集合的互异性，舍去，，解得， 经检验，当时，不符合集合中元素的互异性，而符合题意， 故实数的值为． 【点评】本题主要考查集合的互异性，属于基础题． 【变式2】已知，，，集合，，集合，，． （1）求取值的集合； （2）若，求的值． 【分析】（1）结合集合元素的互异性，即可求解； （2）分类讨论，求出集合，再结合集合相等的条件，即可求解． 【解答】解：（1）由集合中元素的互异性，得，即，解得，且， 所以的取值组成的集合为，且； （2）当，时，； 当，，或，时，； 当，时，， 故，． 因为， 所以，解得． 【点评】本题主要考查集合相等，属于基础题． 【变式3】．（2022秋•南岗区校级月考）已知集合，，，若，求实数的取值集合． 【分析】利用元素和集合的关系，因为，所以分别讨论三个式子，然后求解． 【解答】解：因为，所以 ①若，解得，此时集合为，0，，元素重复，所以不成立，即． ②若，解得或，当时，集合为，1，，满足条件，即成立． 当时，集合为，1，，元素重复，所以不成立，即． ③若，解得或，由①②知都不成立． 所以满足条件的实数的取值集合为． 【点评】本题主要考查元素和集合的关系的应用，要注意利用元素的互异性对所求集合进行检验． 题型四：“运算”关系中的参数问题 如果题目中出现A∩B=B或AUB=B,可转化为集合的包含关系,即可推出B⊆A或A⊆B,求参数的取值范围要注意B(或A)可能是空集的情况,故此类题要分为两种情况求解,即是空集时和不是空集时.求解时可将问题转化为不等式组)问题再解决 在集合运算(如补集运算)以及集合的包含关系等问题中,需要注意端点值能否取到,否则容易出现错误 【例4】．（2023秋•吉林期末）已知集合，集合． （1）若集合的真子集有且只有1个，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用根的判别式能求出； （2）由，得，当△时，即时；当△时，即；当△时，要满足条件，必有，，由根与系数的关系有：．由此能求出实数的取值范围． 【解答】解：（1）集合，集合， 集合元素个数为1．△， 即，解得：． （2），， 对集合讨论： 当△时，即时，，满足条件； 当△时，即，此时，满足条件； 当△时，要满足条件，必有，， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去， 综上所述，实数的取值范围是． 【点评】本题考查根的判别式、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 【变式1】．（2023秋•肇东市校级期末）已知，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）时，，，由此能求出，． （2）当时，；当时，，则，由，得或．由此能求出的取值范围． 【解答】解：（1）时，，， 故，． （2），．， 当时，，则； 当时，，则，由， 得或解得或， 综上可知，的取值范围是． 【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用． 【变式2】．（2023秋•孝感期中）已知集合，，集合，． （1）若集合，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用集合交集的定义得到，代入方程求解即可； （2）利用子集的定义，分，，，，，由根与系数的关系，列式求解即可． 【解答】解：（1）因为集合，， 又集合， 所以， 将代入方程，可得，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意． 综上所述，或； （2）若， 则， 当时，方程无解，则△，解得； 当时，则无解； 当时，则无解； 当，时，则无解． 综上所述，实数的取值范围为． 【点评】本题考查了集合的运用，集合交集与并集的理解与应用，集合子集定义的运用，属于中档题． 【变式3】．（2023秋•谯城区校级期中）已知集合或，， （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【分析】（Ⅰ）由条件和交集的运算求出，由补集的运算求出，由并集的运算求出； （Ⅱ）由并集的运算将转化为，根据条件和子集的定义分类讨论，分别列出不等式（组，求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）集合或，， ，且， ； （6分） （Ⅱ），， 即， ①当时，有，解得， ②当时，有，解得， 综上所述：的取值范围是，，即，．（12分） 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，以及集合之间的关系的应用，考查分类讨论思想、转化思想，注意空集是任何集合的子集． 【强化训练】 1．（2023秋•宣城期末）已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出集合，然后结合集合的交集运算即可求解； （2）结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）因为， 当时，． 集合． （2）若， 当时，，即， 当时，，解得， 故实数的取值范围为． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 2．（2023秋•大理州期末）已知集合． （Ⅰ）当时，求集合； （Ⅱ）若集合只有2个子集，求实数的值． 【分析】（Ⅰ）代入求出方程的解，进而可得集合； （Ⅱ）分和两种情况，结合△求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）当时，集合； （Ⅱ）若集合只有2个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，符合题意， 当时，则△， 解得， 综上所述，的值为0或． 【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题． 3．（2024春•朝阳区校级期中）设为全集，集合，，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出集合，，然后结合集合的交集及补集运算即可求解； （2）由已知结合集合的包含关系对是否为空集进行分类讨论可求． 【解答】解：（1）由题意可知， 当时，，所以， 因为，或， 所以； （2）由（1）知，， 若，即，解得，此时满足； 若，欲使，需， 解得， 综上，所求实数的取值范围是． 【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于中档题． 4．（2023秋•和平区校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【分析】（1）分和讨论，时不满足题意，时由一元二次方程的判别式小于0求解； （2）时满足题意，时求出方程有两个不等根的的范围，然后由补集思想求得的范围． 【解答】解：（1）当时，方程化为，解集非空； 当时，要使是空集，则△，解得． 使是空集的的取值范围是； （2）当，集合中有一个元素； 当时，若中有两个元素，则△，解得． 综上，使中至多只有一个元素的的取值范围是． 【点评】本题考查了空集的定义、性质及运算，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是对为0和不为0的讨论，是中档题，也是易错题． 5．（2021秋•惠来县校级月考）已知集合，． （1）当时，写出所有满足条件的集合； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）由于集合，1，，当时，集合，再由可得，是的非空子集，从而得到． （2）当，△时，有．当，方程有实数根，且实数根是，1，中的数，把，1，代入检验，由此得到实数的取值范围． 【解答】解：（1）集合，1，， 当时，集合，再由可得，是的真子集，是的非空子集． 共有 个，分别为、、、，、，、，、，1，． （2），对于方程，当，△时，有． △时，，方程有实数根，且实数根是，1，中的数． 若是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去． 若1是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去． 若是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去． 综上可得，实数的取值范围为，． 【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想．注意检验，这是解题的易错点，属于中档题． 6．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 【分析】（1）根据集合的描述，令判断是否满足集合描述即可证； （2）根据题设定义写出的前6项，进而确定，，坐标，即可求三角形面积； （3）根据题意、一定属于，一定不属于，并求，结合即可求参数范围． 【解答】解：（1）证明：由题设， 则，且，， 所以若，则，得证； （2）如下表取，，1，2，，行为，列为， 0 1 2 3 由表格知：最小的6个数为分别为， 所以， 所以，，，则，以，，为顶点的三角形面积为； （3）同（2），将中元素按下标小到大，从小到大排序， 由题设，又至少有2个元素，即、一定属于，故； 由最多有5个元素，即一定不属于，故； 综上，的取值范围为，． 【点评】本题考查了集合的综合运用，是难题． 7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）已知，非空集合， （1）证明：的充要条件是； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）首先证明充分性：当时可求得集合，对参数是否为零进行分类讨论，可得集合中至少含有中的所有元素；再证明必要性：若可得方程的所有实数根都是方程的实根，即得出证明； （2）根据（1）的结论可知，然后对于参数是否为零进行分类讨论，易知当时符合题意，当时，对于方程的根的个数结合判别式进行讨论，并利用集合间的包含关系求得的取值范围． 【解答】解：（1）证明：充分性：若，则； 当时，可得； 若，可得或； 当时，，所以． 所以集合中至少含有两个元素，所以， 当时，可得；此时当时，，所以； 此时，满足；综上，充分性成立； 必要性：因为为非空集合，所以可知当时， 可知方程的所有实数根都是方程的实根， 所以，即， 所以，所以必要性成立； 综上，的充要条件是； （2）若时，满足，由（1）中的结论，可得， 此时； 当时，可得，此时，符合题意； 当时，可得，此时； 为使可知，集合； 对于方程，令△， 当△时，即时，，符合题意； 当△时，即时，此时，但且，不合题意； 当△时，即或时，， 为使，需满足或，即，解得； 这与大前提矛盾，不合题意，所以符合题意， 综上，满足题意的的取值范围为． 【点评】本题考查了集合包含关系的应用，充分条件和必要条件的证明，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合中的四种参数问题 题型一：集合中元素个数的参数问题 题型二：包含关系中的参数问题 题型三：元素的互异性中的参数问题 题型四：“运算”关系中的参数问题 题型一：集合中元素个数的参数问题 此类题型一般为已知一元一次或二次方程解集中的元素个数求参数,常利用根的判别式求解，但要注意两点,一是解集是否可能为空集,一是二次项系数是不是 0. 【例1】已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值并求出集合； （3）若中只有三个元素是整数，求的取值范围． 【变式1】（2023秋•南安市校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至少有一个元素，求的取值范围． 【变式2】（2022秋•和平区校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中只有一个元素，求的值，并把这个元素写出来； （3）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 【变式3】已知集合，，． （1）若中只有一个元素，求的值，并求出这个元素； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 题型二：包含关系中的参数问题 已知两个集合的包含关系,这类问题的求解可以借助于数轴来看出两者之间的关系,把包含关系转化为不等 式问题解决,注意端点处的值是否能取到. 【例2】（2023秋•绍兴期末）已知集合，． （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围． 【变式1】（2023秋•玉溪期末）设集合，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【变式2】（2024春•铜梁区校级月考）已知函数的值域为集合，集合，全集． （1）若，求． （2）若，求的取值范围． 【变式3】（2023秋•金平区期末）设全集，集合，或． （1）求； （2）集合，且，求实数的取值范围． 题型三：元素的互异性中的参数问题 涉及一个集合是另一个集合的子集,一个集合与另一个集合相等或某个元素属于集合时,求一些参数的值,注意遇到有重复元素时应舍去对应值.两个或多个集合运算后求元素的个数时重复元素按一个计算 【例3】已知集合中含有三个元素1，，，集合中含有三个元素0，，，且两集合中元素相同，求的值． 【变式1】．若集合中有三个元素，，1，集合中也有三个元素，，，且，求实数的值． 【变式2】已知，，，集合，，集合，，． （1）求取值的集合； （2）若，求的值． 【变式3】．（2022秋•南岗区校级月考）已知集合，，，若，求实数的取值集合． 题型四：“运算”关系中的参数问题 如果题目中出现A∩B=B或AUB=B,可转化为集合的包含关系,即可推出B⊆A或A⊆B,求参数的取值范围要注意B(或A)可能是空集的情况,故此类题要分为两种情况求解,即是空集时和不是空集时.求解时可将问题转化为不等式组)问题再解决 在集合运算(如补集运算)以及集合的包含关系等问题中,需要注意端点值能否取到,否则容易出现错误 【例4】．（2023秋•吉林期末）已知集合，集合． （1）若集合的真子集有且只有1个，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【变式1】．（2023秋•肇东市校级期末）已知，． （1）当时，求和； （2）若，求实数的取值范围． 【变式2】（2023秋•孝感期中）已知集合，，集合，． （1）若集合，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【变式3】．（2023秋•谯城区校级期中）已知集合或，， （Ⅰ）求，； （Ⅱ）若，求实数的取值范围． 【强化训练】 1．（2023秋•宣城期末）已知集合，． （1）当时，求集合； （2）若，求实数的取值范围． 2．（2023秋•大理州期末）已知集合． （Ⅰ）当时，求集合； （Ⅱ）若集合只有2个子集，求实数的值． 3．（2024春•朝阳区校级期中）设为全集，集合，，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 4．（2023秋•和平区校级月考）已知集合，． （1）若是空集，求的取值范围； （2）若中至多只有一个元素，求的取值范围． 5．（2021秋•惠来县校级月考）已知集合，． （1）当时，写出所有满足条件的集合； （2）若，求实数的取值范围． 6．（2023秋•嘉定区校级期中）设集合，称坐标在平面直角坐标系中对应的点为中元素的格点． （1）证明：若，则； （2）中的元素所对应的格点记作，现将中所有元素进行排序，使得，在平面直角坐标系中，求以，，为顶点的三角形面积； （3）已知集合，若至少有2个元素，最多有5个元素，求的取值范围． 7．（2023秋•沙坪坝区校级月考）已知，非空集合， （1）证明：的充要条件是； （2）若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$