专题1.6 三角形的初步知识（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.6 三角形的初步知识（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在同一条直线上，，添加下列哪一个条件可以使（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 8．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 12．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 14．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（6分）（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，求作： （1）尺规作图：的角平分线； （2）尺规作图：边的垂直平分线，与交于D点，与射线交于E点； （3）用三角板过点E画于G点，过点E画的延长线于点．求证：． 17．（6分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．    （1）若，求的度数； （2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 19．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点E是BC边上一点，作，使且，边DE交边AB于点F． （1）判断线段CE与BD的数量关系与位置关系； （2）如图2，记的面积为S，的面积为，的面积为，的面积为，设， ①当时，求的值； ②试用含k的式子表示的值（直接写出结果即可）． 20．（10分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 21．（12分）（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 23．（13分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 三角形的初步知识（满分120） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在同一条直线上，，添加下列哪一个条件可以使（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据题意可求出，再结合三角形全等的判定定理判断即可． 【解题过程】 解：∵， ∴，即． A．，结合题意，可利用“”证明，； B．，结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“”或“”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意； C．∵， ∴． 结合题意，有两条边对应相等，且一个角对应相等，但没有“”或“”证明三角形全等，故该选项不能证明，不符合题意； D．，不能证明，不符合题意； 故选：A． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知点在上，点在上，，且，若．则等于（   ）    A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质，，，又，，在中根据内角和定理求解． 【解题过程】 解：， ，， ， ， 又， ，，， ， 故选：C． 3．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，中，，中，，，边上的高相等，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。 【解题过程】 解：分别过、两点作，于点、， ∵在和中， ∴ ∴ ∵， ∴ 故选：． 4．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【思路点拨】 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长、交于点，先证明，得到，再证明，得到，即可求出长． 【解题过程】 解：如图，延长、交于点， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 5．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是直线外一点，点、是直线上的两动点，且，连接、，点、分别为、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为10，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【思路点拨】 本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积．连接，如图，利用三角形中线的性质依次求出，，与的面积间的关系，然后根据四边形的面积为5求出的面积，进而可求出边上的高，即为的最小值． 【解题过程】 解：连接，如图， 点为的中点， ， 为的中线， ，， 点为中点， ， 四边形的面积为10， ， 即， 解得， 作于点，如图， ， ， ， ， 的最小值是8； 故选：C． 6．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，，点P为外一点（点P不在直线、、上），连接、．若，，，对于①；②；③；④，则的度数可能是（    ） A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【思路点拨】 根据点P有6种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解． 【解题过程】 解：如图一，， ∵， ∴， ∴； 如图二，在四边形中，， ∴； 如图三，， ∵， ∴， ∴； 如图四，延长交于点D， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 如图五，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； 如图六，延长， ∵是的外角， ∴， 同理，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 综上判断①、②、③、④都正确， 故选：D． 7．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，中，，分别以为边长在同侧作三个正方形，点落在边上，若要求图中阴影部分的面积之和，则只需知道下列哪个图形的面积？该图形是（    ） A． B． C． D．正方形 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定和性质，关键是明，，．延长交于，根据证明，得到，的面积的面积，得到，因此和H重合，由推出，得到，的面积的面积，又，得到，由推出，得到的面积的面积，于是得到阴影面积的和的面积的2倍． 【解题过程】 解：延长交于， ∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∴和H重合， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，的面积的面积， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积的面积， ∴阴影面积的和的面积的2倍， ∴要求图中阴影部分的面积之和，只需知道的面积． 故选：B． 8．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则． 正确的结论序号是（    ）    A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【思路点拨】 根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ，， ，故②不正确； ， ，故③正确； ， ， ， 为的中点， ， 为线段的垂直平分线， ，故④正确， 所以，正确结论的序号是：①③④， 故选：D． 9．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【解题过程】 解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 10．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的为（　　）    A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【思路点拨】 由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解题过程】 解：∵ ∴，， ∵平分 ∴ ∵平分，， ∴． ∵， ∴ ∴，故①错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵ ∴ ∴，故②正确； ∵BD平分， ∴ ∵， ∴，故③正确； 过点D作于N，于 G ，于H，如图，    ∵平分，， ， ∴ ∵平分， ，， ∴ ∴ ∴为外角的平分线， ∴ ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 即，故④正确． 故选：C． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，中，，分别是，边上的高线．若，，则的度数是 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数，在中根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【解题过程】 解：，分别是，边上的高线， ，， 在中，， ，， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 故答案为：134． 12．（23-24八年级上·四川德阳·期末）如图，在的边，上取点，，连接，平分，平分，若，的面积是，的面积是，则的周长是 ． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质，过作与， 于，于，连接，利用角平分线的性质和三角形的面积可得，根据的面积的面积的面积的面积，进行计算即可求出，进而得到的周长，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：过作与， 于，于，连接， ∵平分， 平分， ∴，， ∴， ∵，的面积， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【思路点拨】 本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【解题过程】 解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 14．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为 ．    【思路点拨】 连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果． 【解题过程】 解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图， ∵，， ∴； ∵D为中点，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． ∴ 故答案为：． 15．（22-23七年级下·江苏盐城·期末）已知：中，，，为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于，若，则的值为 ．    【思路点拨】 添加辅助线，构造全等三角形，根据全等三角形的性质求出线段间的数量关系，最后进行分类讨论即可求解． 【解题过程】 解：如图，过作于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 如图，过作交延长线于点，      ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴，， 则， 故答案为：或． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16．（6分）（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知，求作： （1）尺规作图：的角平分线； （2）尺规作图：边的垂直平分线，与交于D点，与射线交于E点； （3）用三角板过点E画于G点，过点E画的延长线于点．求证：． 【思路点拨】 （1）根据尺规作图-作已知角的平分线等知识作图即可求解； （2）根据尺规作图-作线段的垂直平分线等知识作图即可求解； （3）根据角平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据“斜边，直角边”证明，即可得到． 【解题过程】 （1）解：如图，射线即为的角平分线； （2）解：如图，直线即为边的垂直平分线； （3）证明：如图，连接， ∵为的角平分线，，， ∴，， ∵时线段的垂直平分线，E在上， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 17．（6分）（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，垂直平分平分．    （1）若，求的度数； （2）若，与的周长之差为，且的面积为，求的面积． 【思路点拨】 （1）由线段垂直平分线的性质结合三角形外角的性质易求出，再根据角平分线的定义即得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质结合与的周长之差为，即可求出．过点D作于H．由的面积为，，可求出，结合角平分线的性质定理可得出，即可计算． 【解题过程】 （1）解：∵垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即． 过点D作于H．    ∵的面积为，且，， ∴， ∴． ∵平分， ∴． ∴． 18．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．    （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 【思路点拨】 （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【解题过程】 （1）解：， ， ， ， ，， ， （2）证明：过点E作交于点G，交于点H， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （3）解：， ，，， ， ． 19．（8分）（22-23八年级上·浙江台州·期末）如图1，中，，点E是BC边上一点，作，使且，边DE交边AB于点F． （1）判断线段CE与BD的数量关系与位置关系； （2）如图2，记的面积为S，的面积为，的面积为，的面积为，设， ①当时，求的值； ②试用含k的式子表示的值（直接写出结果即可）． 【思路点拨】 本题考查全等三角形的判定与性质，等高三角形的面积关系．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由等腰直角 三我性质求得，再证明，得，，继而证明，即可得出结论． （2）①由，，得出，再根据，得到，代入计算即可； ②由，，得出，再根据，得到，代入计算即可． 【解题过程】 （1）解：，． 理由：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴． （2）解：①， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（10分）（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）如图①，在中，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒．      （1）如图①，当的面积等于面积的一半时，求的值： （2）如图②，点在边上，点在边上，在的边上，若另外有一个动点与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，以为顶点的三角形恰好与全等，求点的运动速度． 【思路点拨】 （1）根据三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时和点P为中点时，的面积等于面积的一半，据此根据时间路程速度进行求解即可； （2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可． 【解题过程】 （1）解：当点P在上时，由三角形中线平分三角形面积可知，当点P为的中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时， 同理当点P为中点时，的面积等于面积的一半， ∴此时； 综上所述，t的值为10或19； （2）解：设点的运动速度为 ， 由题意得，， ①当点在上，点在上，时，        ， ∴， 解得 ； ②当点在上，点在上，时，      ， ∴， 解得 ； ③当点在上，点在上，时，    ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得： ； ④当点在上，点在上，时，      ， ∴点P的路程为，点Q的路程为 ∴， 解得： ； 综上所述，点的运动速度为 或 或 或 ． 21．（12分）（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，已知，、两点同时从点出发，点沿射线运动，点沿射线运动．点为三条内角平分线交点，连接、． （1）如图2，当，求的大小． （2）在点、的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由： （3）如图3，连接并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的倍，直接写出的度数． 【思路点拨】 （1）根据题意，则，；再根据，，求出的角度，最后根据，即可； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可． 【解题过程】 （1）∵点为三条内角平分线交点 ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）不变，理由如下： ∵点为三条内角平分线交点， ∴，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵点为三条内角平分线交点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的倍， ∴ ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：， ∴； ， ∴， 解得：（舍去）； ∴在中有一个角是另一个角的倍时，为或． 22．（12分）（23-24七年级下·江西吉安·阶段练习）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． （2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，求证：I是的中点． 【思路点拨】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等得到、是解题的关键． （1）由条件可证明，可得，，可得； （2）由条件可知，且，可得，结合条件可证明，可得出结论； （3）由条件可知，可得，结合条件可证明，可得出结论I是的中点． 【解题过程】 解：（1）如图1， 直线l，直线l， ∴， ， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）成立，理由如下： 如图， 证明如下： ， ∴， ∴， 在和中． ． ∴，， ∴； （3）如图3， 过E作于M，的延长线于N． ∴， ， ， 是边上的高， ， ， ， ， ， ， 同理， ， ， 在△EMI和△GNI中， ， ， ， I是的中点． 23．（13分）（22-23八年级上·浙江台州·阶段练习）（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到），把、，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是　　； （2）问题解决：如图②，在中，D是边上的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作一个角，角的两边分别交，于E、F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．    【思路点拨】 （1）根据判定，选择即可．根据，运用三角形三边关系定理计算即可． （2）延长到点G使，再连接, 证明，运用三角形三边关系定理计算即可． （3）延长到点M使，连接，证明，构造半角模型证明即可． 【解题过程】 （1）∵边上的中线， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． （2）如图，延长到点G使，连接 ∵边上的中线， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， 连接，则， 在中，， ∴， 故． （3）线段，，之间的数量关系是．证明如下： 如图，延长到点M使，连接 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$