20联想导数运算法则巧设可导函数解题-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■安徽省六安中学 朱华成 函数作为整个数学学科知识体系中的重 要组成部分,反映了客观世界两个集合之间 的对应关联。导数作为研究函数性质的有力 工具,能够应用于函数单调性、最值、极值、切 线等知识中。使用导数巧妙解答函数题目已 成为考查同学们对函数与导数不等式相关知 识点的常见题型,能够多层次全面地考查同 学们对所学知识点的综合应用能力,锻炼同 学们的数学逻辑推理思维,并培养大家的数 学学科核心素养。 一、联想和、差函数的导数运算法则 例 1 函数f(x),g(x)连续,且在区 间(a,b)内可导,在f'(x)<g'(x)的情况下, 当x∈(a,b)时,则( )。 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 解析:题中给出的已知条件 f'(x)< g'(x),能够让我们在解题时自然地联想到差 函数 的 导 数 运 算 法 则[f(x)-g(x)]'= f'(x)-g'(x)。 所以可以根据题目构造函数h(x)= f(x)-g(x),则h'(x)=[f(x)-g(x)]'= f'(x)-g'(x)。 已知 f'(x)<g'(x),因 此 h'(x)= [f(x)-g(x)]'=f'(x)-g'(x)<0,函数 h(x)在区间[a,b]内单调递减。因此,当 x∈(a,b)时,h(b)<h(x)<h(a),转换可得 f(b)-g(b)<f(x)-g(x)<f(a)-g(a), 通过移项整理可得f(x)+g(a)<g(x)+ f(a),C 选 项 正 确,而 f(x)+g(b)> g(x)+f(b),说明D选项错误。 例 2 已知函数f(x)的定义域为 R, f(-1)=2,假设任意x∈R,f'(x)>2恒成 立,则f(x)>2x+4的解集为( )。 A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析:导数f'(x)的正负值,将与f(x) 函数 的 单 调 性 密 切 关 联,那 么 题 目 中 的 f'(x)>2到底代表什么? 结合题目给出的 结论f(x)>2x+4,可以构造函数g(x)= f(x)-2x-4。 故不等式f(x)>2x+4⇔g(x)>0。由 于题目已知条件f'(x)>2,可得g'(x)= f'(x)-2>0,g(x)函数在R上单调递增。 再加 上 f(-1)=2,可 得 g(-1)= f(-1)+2-4=0。因此,f(x)>2x+4⇔ g(x)>g(-1)⇔x>-1,B选项正确。 题干中给出条件f'(x)>2,和最终结论 f(x)>2x+4之间呈结构特征密切关联,同 学们求解时容易联想函数g(x)=f(x)- 2x-4的单调性。 二、巧设“y=f(x)±g(x)”型可导函数 在数学题目所给出的条件内存在或经过 变形呈现f'(x)±g'(x)的情况,可以逆用 f'(x)±g'(x)=[f(x)±g(x)]',构造可导 函数h(x)=f(x)±g(x),并利用此函数性 质解决函数问题。 例 3 假设奇函数f(x)是定义域为R 的可导函数,当x>0时,f'(x)+cos x<0, 那么当x≤0时,( )。 A.f(x)+sin x≥f(0) B.f(x)+sin x≤f(0) C.f(x)-sin x≥f(0) D.f(x)-sin x≤f(0) 27 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 解析:假设 F(x)=f(x)+sin x,则 F'(x)=f'(x)+cos x。当 x>0 时, F'(x)<0,F(x)单调递减。因为F(x)是定 义域为R上的奇函数,所以F(x)在(-∞, 0)内也单调递减。 当x≤0时,F(x)≥F(0)=0。 所以正确答案为A。 例 4 在 已 知 定 义 域 为 R 的 函 数 f(x)的图像经过点(1,1),满足任意x∈R, 都有f'(x)+2>0,则不等式f(log2|3x- 1|)<3-log2|3 x-1|的解集为( )。 A.(-∞,0)∪(0,1) B.(0,+∞) C.(-1,0)∪(0,3) D.(-∞,1) 解析:假设F(x)=f(x)+2x,那么函数 F(x)单调递增。易得f(log2|3x-1|)<3- log2|3 x-1|⇔f(log2|3x-1|)+2log2|3x- 1|<3。不妨令t=log2|3x-1|,可得f(t)+ 2t<3。易得F(1)=3,那么F(t)<F(1),因此 t<1,也就是log2|3x-1|<1,所以0<|3x- 1|<2,解得x<1且满足x≠0。A选项正确。 例 5 定义为R的函数f(x)满足条件 f(0)=-1,并且导函数f'(x)满足f'(x)> k>1,则下列结论错误的项为( )。 A.f 1 k >0 B.f 1 k <f 1k-1 - 1k-1 C.f 1 k-1 < 1k-1 D.f 1 k-1 > 1k-1 解析:由题意假设F(x)=f(x)-kx,那 么F'(x)=f'(x)-k>0,函数F(x)在R上 单 调 递 增,F 1k-1 >F (0),也 就 是 f 1 k-1 > 1k-1,C选项结论是错误的。同 理,可以判断选项A、B、D是正确的。 三、联想商函数的导数运算法则 例 6 已知函数f(x)是定义域为 R 的奇 函 数,f(3)=0,并 且 当 x<0 时, xf'(x)<f(x),求解不等式f(x)≥0的解集。 解析:由题设条件知xf'(x)<f(x), 可以想到xf'(x)-f(x)<0,从而联想商函 数F(x)=f (x) x 的导数。已知当x<0时, xf'(x)<f(x)⇔xf'(x)-f(x)<0⇒ F'(x)= xf'(x)-f(x) x2 <0,函数 F(x)= f(x) x 在(-∞,0)上单调递减。已知f(x)为 奇函数,且F(x)=f (x) x 为偶函数,故函数 F(x)=f (x) x 在(0,+∞)上单调递增。与 f(3)=0相结合,可以画出函数 F(x)= f(x) x 的大致图像,进而可得不等式f(x)≥0 的解集是[-3,0)∪[3,+∞)。 例 7 f(x)是定义域为 R 的可导函 数,∀x∈R,f(x)>f'(x)恒成立,下列不等 式成立的是( )。 A.f(2 024)>e2 024f(0),f(2 024)> ef(2 023) B.f(2 024)>e2 024f(0),f(2 024)< ef(2 023) C.f(2 024)<e2 024f(0),f(2 024)> ef(2 023) D.f(2 024)<e2 024f(0),f(2 024)< ef(2 023) 解析:根 据 题 干 中 给 出 的 已 知 条 件 f(x)>f'(x),我们可以明白此道题目容易 构造函数。联系结论的结构特征,需要比较 f(2 024) e2 024 与 f(0) e0 、f (2 024) e2 024 与 f(2 023) e2 023 的大 小,所以构造函数g(x)= f(x) ex 。由于f(x) >f'(x),那么可得f'(x)-f(x)<0,所以 g'(x)= exf'(x)-exf(x) e2x =f '(x)-f(x) ex <0,函数g(x)= f(x) ex 在R上单调递减。正 确答案为D。 (责任编辑 徐利杰) 37 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月