19成对数据的统计分析的研究和延展-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■湖北省麻城市第一中学 刘志军 在必修课程中,我们已经学了对于单变 量数据的直观表示和统计特征的刻画等,例 如用直方图描述样本数据的分布规律,用均 值刻画样本数据的集中趋势,用方差刻画样 本数据的离散程度等。这些方法主要适用于 通过样本认识单个变量的统计规律。在现实 生活中,我们还经常需要了解两个或两个以 上变量之间的关系。例如,教育部门为掌握 学生身体健康状况,需要了解身高变量和体 重变量之间的关系;卫生部门要统计吸烟与 患肺癌的关系;商家要根据顾客的意见改进 服务水平,希望了解哪些因素影响服务水平 等。为此,我们需要进一步学习通过样本推 断变量之间关系的知识和方法。成对数据的 统计分析(相关性研究是解决生活中两个变 量之间有关系,但是密切程度又达不到函数 关系的程度),主要介绍成对数据的统计相关 性,旨在培养同学们进行简单相关性的判断、 运算和预测,对分类变量进行独立性检验,并 有一定的认识、理解和掌握。 一、本章知识结构框图 二、在近几年高考中,成对数据的统计分 析考情分析 1.考查特点:(1)统计知识主要考查抽样方 法、样本数字特征、统计图表等,常以选择题、填 空题的形式出现,难度较小;(2)回归分析与独 立性检验常独立命题,有时也与概率知识交汇 考查,是近年考查的热点,常出现在第19或20 题的位置,以中档题为主;(3)对同学们计算的 专注度、准确率要求较高,复杂的公式往往不需 要记忆,只需识别和会代入数值计算。 2.关键能力:逻辑思维能力,运算求解能 力,数学建模能力,创新能力。 3.核心素养:数学抽象,逻辑推理,数学 建模,数学运算,数据分析。 三、常见的考查点及方法 考查点1 成对数据的相关性的判断与 比较 判定两个变量相关性的方法如下。 (1)画散点图:点的分布从左下角到右上 角,两个变量正相关;点的分布从左上角到右 下角,两个变量负相关。 (2)样本相关系数r:当r>0时,正相 关;当r<0时,负相关;|r|越接近于1,相关 性越强。 (3)经验回归方程 ŷ=̂bx+̂a:当b̂>0 时,正相关;当b̂<0时,负相关。 76 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 例 1 已知变量x 和y 满足关系y= -0.1x+1,变量y 与z 正相关。下列结论 中正确的是( )。 A.x 与y 正相关,x 与z负相关 B.x 与y 正相关,x 与z正相关 C.x 与y 负相关,x 与z负相关 D.x 与y 负相关,x 与z正相关 解析:因y=-0.1x+1的斜率小于0, 故x 与y 负相关。已知y 与z 正相关,可设 z=̂by+̂a,̂b>0,则z=̂by+̂a=-0.1̂bx+ b̂+̂a,故x 与z负相关。选C。 考查点2 相关系数的求解 例 2 某网络电视剧已开播一段时间, 其每日播放量如表1所示。 表1 开播天数x(单位:天) 1 2 3 4 5 当天播放量y(单位:百万次) 3 3 5 9 10 (1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关 系,并用相关系数加以说明。 (2)假设开播后的两周内(除前5天外), 当天播放量y 与开播天数x 服从(1)中的线 性关系。若每百万播放量可为制作方带来 0.7万元的收益,且每开播一天需支出1万 元的广告费,估计制作方在该剧开播两周内 获得的利润。 参考公式: r= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 ,̂b= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x。 参考 数 据:∑ 5 i=1 xiyi =110,∑ 5 i=1 x2i =55, ∑ 5 i=1 y2i=224,110≈10.5。 注:一般地,相关系数r的绝对值在0.75 以上(含0.75)认为线性相关性较强;否则,线性 相关性较弱。 解析:(1)由题意得x= 1 5 (1+2+3+ 4+5)=3,y= 1 5 (3+3+5+9+10)=6。 因 此,b̂ = ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 = 6+3+3+8 (1-3)2+(2-3)2+(4-3)2+(5-3)2 =2, â=􀭵y-̂b􀭺x=6-2×3=0。 所以线性回归方程为y=2x。 代 入 相 关 数 据,可 得 相 关 系 数 r= ∑ n i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭺x)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 = 20 10× 44 = 10 110 ≈ 10 10.5≈0.952>0.95 ,所以每日的播 放量和开播天数线性相关性较强。 (2)设利润为p,则p=[30+2(6+7+ 8+9+10+11+12+13+14)]×0.7-14= 133。 所以估计制作方在该剧开播两周内获得 的利润为133万元。 考查点3 线性回归方程 求经验回归方程的方法与步骤: 例 3 对某位同学5次体育测试的成 绩(单位:分)进行统计,得到的数据如表2所 示。 表2 第x 次 1 2 3 4 5 测试成绩y 39 40 48 48 50 根据表2,可得y关于x的线性回归方程 为ŷ=3x+̂a,下列结论不正确的是( )。 A.̂a=36 B.这5次测试成绩的方差为20.8 C.y 与x 的线性相关系数r<0 D.预测第6次体育测试的成绩约为54 解析:由题意知,􀭺x= 1 5 (1+2+3+4+5) =3,􀭵y= 1 5 (39+40+48+48+50)=45。 86 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 所以这5次测试成绩的方差为 1 5 [(39- 45)2+(40-45)2+(48-45)2+(48-45)2+ (50-45)2]=20.8,B选项正确。 因为y 关于x 的线性回归方程为ŷ= 3x+̂a,点(x,y)在直线ŷ=3x+̂a 上,所以 45=3×3+̂a。解得â=36,̂y=3x+36。当 x=6时,可得ŷ=54,故 A选项、D选项正 确。 因为ŷ=3x+36,所以y 与x 成正相关 关系,相关系数r>0,C选项错误。 故选C。 例 4 某中医药企业根据市场调研与 模拟,得到研发投入x(亿元)与产品收益y (亿元)的数据统计,如表3所示。 表3 研发投入x(亿元) 1 2 3 4 5 产品收益y(亿元) 3 7 9 10 11 (1)计算x,y 的相关系数r,并判断是否 可以认为研发投入与产品收益具有较高的线 性相关程度。(注:若0.3<|r|<0.75,则线 性相关程度一般;若|r|>0.75,则线性相关 程度较高。) (2)求出y 关于x 的线性回归方程,并预 测研发投入20亿元时产品的收益。 参考数据:∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2=10,∑ 5 i=1 (yi-􀭵y)2 =40,∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y)=19。 附: 相 关 系 数 r = ∑ n i=1 (xi-􀭵x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭵x)2 ∑ n i=1 (yi-􀭵y)2 ,回归直线方程的 斜率b̂= ∑ n i=1 (xi-􀭵x)(yi-􀭵y) ∑ n i=1 (xi-􀭵x)2 ,截距â=􀭵y-̂b􀭵x。 解析:(1)因为∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2=10,∑ 5 i=1 (yi- 􀭵y)2=40,∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y)=19,所以r= ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2 ∑ 5 i=1 (yi-􀭵y)2 = 19 10× 40 = 19 20=0.95>0.75 。 因此,该中医药企业的研发投入x 与产 品收益y 具有较高的线性相关程度。 (2)̂b= ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)(yi-􀭵y) ∑ 5 i=1 (xi-􀭺x)2 = 19 10=1.9 , 􀭺x= 1 5 (1+2+3+4+5)=3,􀭵y= 1 5 (3+7+ 9+10+11)=8,̂a=8-1.9×3=2.3。 故y 关 于x 的 线 性 回 归 方 程 为 ŷ= 1.9x+2.3。 将x=20代入线性回归方程可得,̂y= 1.9×20+2.3=40.3。 故预测研发投入20亿元时产品的收益 为40.3亿元。 考查点4 非线性回归方程 常见的几个非线性回归模型: 模型1 y=c1e c2x,其中c1,c2 为常数 将y=c1e c2x 两 边 取 对 数,得ln y= ln(c1e c2x)=ln c1+c2x。令z=ln y,a= ln c1,b=c2,从而得到z 与x 的线性经验回 归方程z=bx+a,用公式求即可,这样就建 立了y 与x 的非线性经验回归方程。 模型2 y=c1x2+c2,其中c1,c2 为常数 令t=x2,c1=b,c2=a,则变换后得到y 与t的线性经验回归方程y=bt+a,用公式 求即可,这样就建立了y 与x 的非线性经验 回归方程。 模型3 y=c1 x+c2, 其中c1,c2 为常 数 令t= x,c1=b,c2=a,则变换后得到 y 与t的线性经验回归方程y=bt+a,用公 式求即可,这样就建立了y 与x 的非线性经 验回归方程。 模型4 反比例函数模型y=a+b· 1 x 令t= 1 x ,则变换后得到y 与t的线性经 验回归方程y=bt+a,用公式求即可,这样 就建立了y 与x 的非线性经验回归方程。 模型5 三角函数模型y=a+bsin x 令t=sin x,则变换后得到y 与t的线性 经验回归方程y=bt+a,用公式求即可,这 96 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 样就建立了y 与x 的非线性经验回归方程。 例 5 当前,新一轮科技革命和产业变 革蓬勃兴起,以区块链为代表的新一代信息 技术发展迅猛,现收集某地近5年区块链企 业总数量相关数据,如表4所示。 表4 年份 2019 2020 2021 2022 2023 编号x 1 2 3 4 5 企业总数量y(单位:千个)2.1563.7278.30524.27936.224 (1)根据表中数据判断,y=a+bx 与 y=cedx(其中e=2.718 28…为自然对数的底 数),哪一个回归方程类型适宜预测未来几年 我国区块链企业总数量(给出结果即可,不必 说明理由),并根据你的判断结果求y 关于x 的回归方程。 (2)为了促进公司间的合作与发展,区块 链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀 请甲、乙、丙三家区块链公司参赛。比赛规则 如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜 负;②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛 的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有 一个公司首先获胜两场,则本次比赛结束,该 公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”。已 知在每场比赛中,甲胜乙的概率为1 2 ,甲胜丙 的概率为 1 3 ,乙胜丙的概率为3 5 ,若首场由甲 乙比赛,求甲公司获得“优胜公司”的概率。 参考 数 据:∑ 5 i=1 yi =74.691,∑ 5 i=1 xiyi = 312.761,∑ 5 i=1 zi=10.980,∑ 5 i=1 xizi=40.457,其 中z=ln y。 附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的最小二 乘估计公式为b̂= ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 x2i-nx2 ,a=􀭵y-̂b􀭵x。 解析:(1)根据表中数据,判断y=cedx 适宜预测未来几年我国区块链企业总数量。 因为y=cedx,所以ln y=dx+ln c。 令z=ln y,则z=dx+ln c。 􀭵z= ∑ 5 i=1 zi 5 = 10.980 5 =2.196 ,􀭺x= ∑ 5 i=1 xi 5 = 1+2+3+4+5 5 =3 。由公式计算可知 d̂= ∑ n i=1 xizi-nxz ∑ n i=1 x2i-nx2 = 40.457-3×10.98 55-45 = 0.751 7,ln c=􀭵z-̂d􀭺x=2.196-0.751 7× 3=-0.059 1。 则ln y=0.751 7x-0.059 1,即y= e0.751 7x-0.059 1。 (2)记事件 M 为“甲公司获得‘优胜公 司’”,事件A 为“在一场比赛中,甲胜乙”,事 件B 为“在一场比赛中,甲胜丙”,事件C 为 “在一场比赛中,乙胜丙”。 则P(A)= 1 2 ,P(B)= 1 3 ,P(C)= 3 5 , M=AB∪A􀭺BCA∪􀭿A􀭺CBA。 因为 A,B,C,􀭿A,􀭺B,􀭺C 两两独立,AB, A􀭺BCA,􀭿A􀭺CBA 两两互斥,所以由概率的加法 公式与乘法公式得: P(M)=P(AB∪A􀭺BCA∪􀭿A􀭺CBA) =P(AB)+P(A􀭺BCA)+P(􀭿A􀭺CBA) =P(A)P(B)+P(A)P(􀭺B)P(C)· P(A)+P(􀭿A)P(􀭺C)P(B)P(A) = 1 2× 1 3+ 1 2× 2 3× 3 5× 1 2+ 1 2× 2 5× 1 3× 1 2 = 3 10 。 甲公司获得“优胜公司”的概率为3 10 。 图1 例 6 某 企 业为 加 强 科 研 创 新,加大研发资金 的 投 入。该 企 业 新研 发 了 一 种 产 品,其生产成本由 直接生产成本(如 原料、工 人 工 资、 机器设备折旧等)和间接生产成本(如物料消 耗、管理人员工资、车间房屋折旧等)组成。 该产品的间接生产成本y(万元)与该产品的 生产数量x(千件)有关,经统计并对数据作 07 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 初步处理,得到散点图(图1)及一些统计量 的值(如表5所示)。 表5 􀭺x 􀭵y 􀭵ω ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x) 2 ∑ 6 i=1 (ωi-􀭵ω) 2 ∑ 6 i=1 (xi-􀭺x)· (yi-􀭵y) ∑ 6 i=1 (ωi-􀭵ω)· (yi-􀭵y) 3.513.241.81 17.5 1.46 19.9 5.84 其中:ωi= xi,􀭵ω= 1 6∑ 6 i=1 ωi。 (1)根据散点图判断y=bx+a 与y= d x+c哪一个更适合作为间接生产成本y 与该产品的生产数量x 的回归方程类型。 (给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建 立y 关于x 的回归方程,并预测生产9千件 产品时,间接生产成本是多少万元。 (3)为确保产品质量,该企业在生产过程 中对生产的每件产品均进行五个环节的质量 检测,若检测出不合格产品,则需在未进入下 一环节前立即修复(修复后再进入下一环 节),已知每个环节是相互独立的,且每个环 节产品检测的合格率均为98%,各环节中不 合格的一件产品所需的修复费用均为100 元,求一件产品需修复的平均费用。 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…, (un,vn),其回归直线v=α+βu 的斜率和截 距 的 最 小 二 乘 估 计 分 别 为 β = ∑ n i=1 (ui-􀭵u)(vi-􀭵v) ∑ n i=1 (ui-􀭵u)2 ,α=􀭵v-β􀭵u。 解析:(1)由散点图判断y=d x+c更 适合作为间接生产成本y 与该产品的生产数 量x 的回归方程类型。 (2)令ω= x,先建立y 关于ω 的线性 回归方程y=dw+c。 d= ∑ 6 i=1 (ωi-􀭵ω)(yi-􀭵y) ∑ 6 i=1 (ωi-􀭵ω)2 = 5.84 1.46=4 ,c= 􀭵y-d􀭵ω=13.24-4×1.81=6,所以y 关于ω 的线性回归方程为y=6+4ω。 故y 关于x 的回归方程为y=6+4 x。 当x=9时,y=6+4×3=18,即生产9千件 产品,间接生产成本是18万元。 (3)设每件产品需修复的环节为ξ个,则 ξ~B(5,0.02),E(ξ)=0.1。 设一件产品需修复的费用为η 元,则 η=100ξ,E(η)=100E(ξ)=10(元)。 考查点5 独立性检验 例 7 (多选题)某学校高三年级初进行 一次高三数学考试,分数大于或等于120的同 学被评价为“优秀生”,其他分数的同学被评价 为“潜力生”。现进行整体水平评价,得到如表 6所示的列联表。已知在这105人中随机抽取 1人,成绩优秀的概率为 2 7 ,根据表6的数据可 断定下列说法正确的是( )。 表6(列联表) 班级 成绩 优秀生 潜力生 合计 甲班 10 b 乙班 c 30 合计 105 表7 α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 A.列联表中c的值为30,b的值为35 B.列联表中c的值为20,b的值为45 C.根据列联表中的数据,有95%的把握 认为成绩与班级有关 D.根据列联表中的数据,没有95%的把 握认为成绩与班级有关 解析:因为在这105人中随机抽取1人, 成绩优秀的概率为 2 7 ,所以“优秀生”的人数 为105× 2 7=30 ,“潜力生”的人数为105-30 =75。 则c=30-10=20,b=75-30=45,故 A选项错误,B选项正确。 因为 χ2= 105×(10×30-20×45)2 30×75×50×55 ≈ 6.109>3.841,所以有95%的把握认为成绩 与班级有关,故C选项正确,D选项错误。 故选BC。 (责任编辑 徐利杰) 17 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月