18高考命题中正态分布的考查热点-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

高考命题中正态分布的考查热点 ■江苏省张家港中等专业学校 张 娴 韩文美 正态分布在自然界中是最常见的一种分 布,也是生产、科研和日常生活中经常遇到的 一类随机现象。正态分布在理论研究和实际 应用中有着非常重要的价值,也成为高考数 学命题的一个重要方向,备受各方关注。 1.参数的确定 例 1 (2023年江西省重点中学协作 体高考数学第二次联考数学试卷)某地市在 2023年全市一模测试中,全市高三学生数学 成绩 X 服 从 正 态 分 布 N (90,σ2),已 知 P(88<X<92)=0.32,P(X<85)=m,则下 列结论正确的是( )。 A.0<m<0.34 B.m=0.34 C.0.34<m<0.68 D.m=0.68 分析:根据正态分布所对应的正态函数 密度曲线的对称性,利用正态分布中对应的 数据信息,并利用数形结合思想及数学运算 来分析与求解。 解:依题意知,X 服从正态分布 N(90, σ2),则μ=90。 而P(88<X<92)=0.32,且x=88与 x=92关于x=90对称,所以P(X<85)= m<P(X<88)= 1 2 [1-P(88<X<92)]= 0.34,即0<m<0.34。故选A。 点评:抓住随机变量的取值所对应的概 率,并结合正态函数密度曲线的对称性,合理 构建对应的不等式,是解决问题的关键所在。 涉及此类参数问题,往往就是回归正态分布 的性质与正态函数密度曲线的几何特征,从 而加以合理逻辑推理与数学运算,使问题得 到解决。 2.概率的求解 例 2 我们将服从二项分布的随机变 量称为二项随机变量,将服从正态分布的随 机变量称为正态随机变量。概率论中有一个 重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理, 它表明,若随机变量Y~B(n,p),当n 足够 大时,二项随机变量Y 可以由正态随机变量 X 来替代,且正态随机变量X 的期望和方差 与二项随机变量Y 的期望和方差相同。棣莫 弗在1733年证明了p= 1 2 的特殊情形,1812 年,拉普拉斯对一般的p 进行了证明。现抛 掷一枚质地均匀的硬币100次,则利用正态 分布近似估算硬币正面向上次数超过60次 的概率为( )。 附:若随机变量 X 服从正态分布N(μ, σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ- 3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 A.0.158 7 B.0.022 8 C.0.002 7 D.0.001 4 分析:根据已知条件,结合二项分布的期 望与方差公式,先求出对应正态分布的期望 和方差值,再结合正态分布的对称性来分析 与求解。 解:依题意知,设抛掷一枚质地均匀的硬 币100次硬币正面向上的次数为 X,则 X~ B 100, 1 2 。 故E(X)=np=50,D(X)=np(1-p) =25。 由题意可得X~N(μ,σ2),且μ=E(X) =50,σ2=D(X)=25,而 P(μ-2σ≤X≤ μ+2σ)≈0.954 5。 所以利用正态分布近似估算硬币正面向 上次 数 超 过 60 次 的 概 率 P(X >60)= P(X>50+2×5)= 1 2 (1-0.954 5)≈ 0.022 8。 故选B。 点评:在解决利用正态分布近似估算概率 问题时,确定正态分布X~N(μ,σ2)及其对应 变量的值,是解决问题的重点。这里巧妙地将 36 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 二项分布与正态分布加以联系,实现两者之间 的合理转化,为问题的创设提供更加丰富的情 境,也给问题的解决提供了方向。 3.命题的判断 例 3 (2024届甘肃省白银市部分高 中高三上学期阶段检测数学试卷)(多选题) 山东东阿盛产阿胶,阿胶与人参、鹿茸并称 “中药三宝”。阿胶的主要原料是驴皮,配以 冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料,是由东阿特 有的含多种矿物质的井水,采取传统的制作 工艺熬制而成。已知某阿胶产品每盒的质量 M(单位:g)服从正态分布 N(250,σ2),且 P(M<251)=0.75,P(249<M <253)= 0.7,以下说法正确的是( )。 A.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则 这盒阿胶产品的质量大于249 g的概率为0.75 B.若从该阿胶产品中随机选取1盒,则 这盒阿胶产品的质量在251 g~253 g内的概 率为0.15 C.若从该阿胶产品中随机选取1 000 盒,则质量大于253 g的盒数的方差为47.5 D.若从该阿胶产品中随机选取1 000 盒,则质量在251 g~253 g内的盒数的数学 期望为200 分析:根据正态分布的性质可判断出相 应区间的概率,根据二项分布的方差和期望 公式,即可得出正确答案。 解:对于选项 A,因为 M~N(250,σ2), 所以P(M>249)=P(M<251)=0.75,故 选项A正确。 对于选项B,因为P(M<251)=0.75, 所以P(249<M<250)=P(250<M<251) =0.75-0.5=0.25。 因为 P(249<M <253)=0.7,所 以 P(251<M<253)=0.7-0.25×2=0.2,故 选项B错误。 对于选项C,因为P(249<M<253)= 0.7,所以P(M>253)=0.75-0.7=0.05。 若从该阿胶产品中随机选取1 000盒,则质 量大于253 g的盒数X~B(1 000,0.05)。 所以D(X)=1 000×0.05×(1-0.05) =47.5,选项C正确。 对于选项D,由上面计算可知P(251< M<253)=0.2。 若从该阿胶产品中随机选取1 000盒, 则质 量 在 251 g~253 g 内 的 盒 数 Y~ B(1 000,0.2)。 E(Y)=1 000×0.2=200,选项D正确。 故答案为ACD。 点评:以多选题的场景创设,往往可以将 概率与统计中的更多知识加以合理融合与渗 透,实现多知识点的交汇与应用。该题通过 创设情境,以二项分布与正态分布的综合应 用,判断命题的真假,开创了一个更加丰富多 彩的问题场景。 4.图像的直观 图1 例 4 (2023年 浙 江 省 宁波市高考数学 二模 试 卷)设 随 机变量ξ 服从正 态分布,ξ的分布 密度曲线如图1所示,若 P(ξ<0)=p,则 P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为( )。 A. 1 2-p ,1 2 B.p ,1 2 C. 1 2-p ,1 4 D.p ,1 4 分析:根据题设条件,由随机变量ξ的正 态分布密度曲线加以直观分析,利用对称性 先求得P(0<ξ<1)的值,再根据正态曲线的 几何性质得到ξ~N 1, 1 2 2 ,进而得以确 定D(ξ)的值。 解:依题意知,由于P(ξ<0)=p,结合随 机变量ξ的正态分布密度曲线,其图像关于 x=1对称。 可得P(0<ξ<1)= 1 2 [1-2P(ξ<0)] = 1 2-p 。 由正 态 曲 线 的 几 何 性 质 得 到 ξ~ N 1,12 2 ,所以D(ξ)= 12 2 = 1 4 。 故选C。 46 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 点评:基于随机变量ξ 的正态分布密度 曲线的直观图形,从中合理抽象对应参数μ 与σ2 的值,进而确定对应的正态分布 X~ N(μ,σ2),为问题的进一步分析与求解提供 条件。图形的直观性与数形结合思想的应 用,对于同学们的综合能力有一定的要求。 5.统计的交汇 图2 例 5 (2024届四川省 成都 市 第 七 中 学高 三 上 学 期 期中 考 试 数 学 试卷)体育强国 是新 时 期 我 国 体育工作改革和发展的目标和任务,我国要 力争实现体育大国向体育强国的转变。2019 年9月2日,国务院办公厅印发《体育强国建 设纲要》,纲要提出,到2035年国民体质测定 标准合格率超过92%。2023年9月23日至 10月8日,第19届亚运会在我国杭州成功举 办,中国代表队以201枚金牌,383枚奖牌夺 得金牌榜和奖牌榜第一。这是新时期中国体 育工作改革和发展过程中取得的优异成绩。 某校将学生的立定跳远作为体育健康监测项 目,若该校初三年级上学期开始时要掌握全 年级学生立定跳远情况,随机抽取了100名 学生进行测试,得到频率分布直方图如图2 所示,且规定计分规则如表1所示。 表1 距离(cm)[155,165)[165,175)[175,185)[185,+∞) 得分 17 18 19 20 (1)现从样本的100名学生中,任意选取 2人,求2人得分之和不大于35分的概率。 (2)若该校初三年级所有学生的跳远距 离X(单位:cm)服从正态分布 N(μ,σ2),用 样本数据的平均值和方差估计总体的期望和 方差,已知样本方差s2=153(各组数据用中 点值代替)。根据往年经验,该校初三年级学 生经过一年训练后,每人跳远距离都有明显 进步。假设初三结束进行跳远测试时每人跳 远比初三上学期开始时距离增加10 cm,现 利用所得正态分布模型: ①若全年级恰好有2 000名学生,预估初 三结束进行测试时,跳远距离在182.63 cm以 上的人数;(结果四舍五入到整数) ②若在全年级所有学生中任意选取3 人,记 初 三 结 束 进 行 测 试 时,跳 远 距 离 在 195 cm以上的人数为ξ,求随机变量ξ的分 布列和期望。 附:若随机变量 X 服从正态分布N(μ, σ2),则 P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ- 3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 参考数据:12.372≈153,2.372≈5.62。 分析:(1)先根据频率分布直方图求出得 分17分和18分的人数,利用组合可得。(2) ①先求出μ 与σ的值,根据正态分布概率的 性质可得;②根据正态分布可知学生中任选 1人,跳远距离在195 cm以上的概率为0.5, ξ服从二项分布,根据二项分布的概率公式 和期望公式可得。 解:(1)两人得分之和不大于35分,即2 人得分均为17分,或2人中1人17分,1人 18分。 由频率分布直方图知,得分为17分的人 数为100×10×0.006=6,得分为18分的人 数为100×10×0.012=12。 故两人得分之和不大于35分的概率 P= C26+C16C112 C2100 = 29 1 650 。 (2)易知x=160×0.06+170×0.12+ 180×0.34+190×0.30+200×0.10+210× 0.08=185。 又σ2=s2=153,解得σ=12.37。 所以初三结束进行测试时,μ=195,σ= 12.37,μ-σ=182.63。 ①因为P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7, 所以P(ξ>182.63)=P(ξ>μ-σ)=1- 1-0.682 7 2 =0.841 35。 所以跳远距离在182.63 cm以上的人数 为2 000×0.841 35≈1 683。 ②由正态分布模型,全年级所有学生中 56 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 任取1人,跳远距离在195 cm以上的概率为 0.5,故ξ~B(3,0.5)。 所以 P(ξ=0)=C03×(1-0.5)3= 0.125,P(ξ=1)=C13×0.5×(1-0.5)2= 0.375,P(ξ=2)=C23×0.52×(1-0.5)= 0.375,P(ξ=3)=C33×0.53=0.125。 ξ的分布列如表2所示。 表2 ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 E(ξ)=3×0.5=1.5。 点评:以应用场景加以创设,通过统计中 的频率分布直方图给出对应的数据信息,通 过正态分布与统计的交汇,实现问题的综合 与应用。 6.综合的应用 例 6 (2024届山东临沂市高三上学 期数学试卷)在“飞彩镌流年”文艺汇演中,诸 位参赛者一展风采,奉上了一场舞与乐的盛 宴。现从2 000位参赛者中随机抽取40位 幸运嘉宾,统计他们的年龄数据,得样本平均 数μ=45.75。 (1)若所有参赛者年龄 X 服从正态分布 N(μ,15.752),请估计参赛者年龄在30岁以 上的人数。 (2)若该文艺汇演对所有参赛者的表演 作品进行评级,每位参赛者只有一个表演作 品,每位参赛者作品有a%(0<a<100)的概 率被评为A 类,有(1-a% )的概率被评为B 类,每位参赛者作品的评级结果相互独立。 记40位幸运嘉宾的作品中恰有2份A 类作 品的概率为p(a),求p(a)的极大值点a0。 (3)以(2)中确定的a0 作为a的值,记上 述幸运嘉宾的作品中的A 类作品数为Y,若对 这些幸运嘉宾进行颁奖,现有两种颁奖方式: 甲:A 类作品参赛者获得1 000元现金, B 类作品参赛者获得100元现金; 乙:A 类作品参赛者获得3 000元现金, B 类作品参赛者不获得现金奖励。 根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖 方式,成本可能更低。 附:若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|<σ) ≈0.682 7。 分析:(1)由题意知,根据正态分布的三 段区间法求得概率,进而可估计参赛者年龄 在30岁以上的人数;(2)记x=a%,0<x< 1,p(a)=f(x),根据二项分布的概率公式求 得f(x)的表达式,求导后判断函数的单调性 进而可求得极大值点;(3)由题意 知 Y~ B 40, 1 20 ,求得 E(Y)的值,记Z1、Z2 分别 为甲、乙两种颁奖方式各自所发奖金总额,利 用均值的性质求解E(Z1)与E(Z2)的值,进 而加以比较与判断。 解:(1)因为 X~N(45.75,15.752),所 以P(X> 30)=0.5+ 1 2P (|X-μ|<σ)= 0.841 35。 则参赛者年龄在30岁以上的人数约为 2 000×0.841 35≈1 683。 (2)记x=a%,0<x<1,p(a)=f(x), 不妨设a0=100x0,其中x0 为f(x)的极大 值点。 易知f(x)=C240x2(1-x)38,求导可得 f'(x)=C240[2x(1-x)38-38x2(1-x)37]= 2C240x(1-x)37(1-20x)。 令f'(x)=0,结合0<x<1,可得x0= 1 20 。 当0<x< 1 20 时,f'(x)>0; 当 1 20<x<1 时,f'(x)<0。 所以函数f(x)在 0, 1 20 上单调递增, 在 1 20 ,1 上单调递减。 此时p(a)在(0,5)上单调递增,在(5, 100)上单调递减。 则p(a)的极大值点a0=5。 (3)由 题 意 知 Y ~ B 40, 1 20 ,则 E(Y)=40× 1 20=2 。 (下转第78页) 66 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月