17超几何分布与二项分布的判断与辨析-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■四川省绵阳实验高级中学 余 强 超几何分布与二项分布是离散型随机变 量的两种重要分布,也是离散型随机变量及 其分布的重点和难点。同学们在初学时由于 对超几何分布与二项分布的概念和模型把握 不准确,容易相互混淆。下面我们举例分析 超几何分布与二项分布的区别与联系。 一、超几何分布模型 例 1 (2024年江苏省苏州大学附中 月考)某市移动公司为了提高服务质量,决定 对使用A,B 两种套餐的集团用户进行调查, 准备从本市n(n∈N*)个人数超过1 000的 大集团和3个人数低于200的小集团中随机 抽取若干个集团进行调查,若一次抽取2个 集团,全是大集团的概率为5 14 。 (1)在取出的2个集团是同一类集团的 情况下,求全为小集团的概率; (2)若一次抽取3个集团,假设取出大集 团的个数为X,求X 的分布列和数学期望。 解析:(1)由题意知,共有n+3个集团, 取出2个集团的方法总数是C2n+3,其中全是 大集团的情况有C2n,故全是大集团的概率是 C2n C2n+3 = n(n-1) (n+3)(n+2)= 5 14 。 整理得到9n2-39n-30=0,解得n=5。 若2个全是大集团,共有C25=10(种)情况; 若2个全是小集团,共有 C23=3(种)情况。 故全为小集团的概率为 3 3+10= 3 13 。 (2)由题意知,随机变量 X 的可能取值 为0,1,2,3。 则P(X=0)= C05C33 C38 = 1 56 ; P(X=1)= C15C23 C38 = 15 56 ; P(X=2)= C25C13 C38 = 15 28 ; P(X=3)= C35C03 C38 = 10 56 。 X 的分布列如表1所示。 表1 X 0 1 2 3 P 1 56 15 56 15 28 10 56 数学期望E(X)=0× 1 56+1× 15 56+2× 15 28+3× 10 56= 15 8 。 评注:判断一个随机变量是否服从超几 何分布,关键是要看随机变量是否满足超几 何分布的特征:一个总体(共有 N 个)内含有 两种不同的事物 A ( M 个)、B (N-M 个), 从中任取n 个,其中恰有X 个A。符合该特 征的即可判定是超几何分布。 二、二项分布模型 例 2 (2024年江苏南通高三期中考 试)2023年9月25日,在富阳银湖体育中心 举行的杭州亚运会射击项目男子25米手枪 06 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 速射团体决赛中,中国队以1 765环的总成 绩击败韩国队夺得冠军,并打破世界纪录。 现已知男子25米手枪速射决赛规则如下:取 资格赛前6名选手进入决赛,5发子弹为一 组,每发子弹9.7环以上得1分,否则得0 分。进入决赛的每位选手每组能得5分与4 分的概率分别为0.6,0.4。 (1)求某位进入决赛的选手三组射击后 得14分的概率; (2)设某位进入决赛的选手三组射击后 得分为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列与 期望。 解析:(1)记“某位进入决赛的选手三组 射击后得分为14分”为事件A。 所以P(A)=C23 3 5 2 × 2 5= 54 125 。 (2)随机变量ξ的可能取值为12,13,14, 15。 则P(ξ=12)= 2 5 3 = 8 125 ; P(ξ=13)=C13 2 5 2 × 3 5= 36 125 ; P(ξ=14)=C23 3 5 2 × 2 5= 54 125 ; P(ξ=15)= 3 5 3 = 27 125 。 随机变量ξ的分布列如表2所示。 表2 ξ 12 13 14 15 P 8125 36 125 54 125 27 125 E(ξ)=12× 8 125+13× 36 125+14× 54 125+ 15× 27 125= 69 5 。 评注:判断一个随机变量是否服从二项 分布,关键是要看随机变量是否满足以下两 个特征:(1)在一次试验中,试验结果只有 A 与A 这两个事件,且事件 A 发生的概率为 p,事件A 发生的概率为1-p;(2)试验可以 独立重复地进行,即每重复做一次试验,事件 A 发生的概率都是同一常数p,事件 A 发生 的概率都为1-p。 三、两个模型的辨别 例 3 (2024年安徽芜湖高二月考卷) 2024年5月,某高中开展了“最美寝室”文化 布置评比活动,学生会成员随机抽取了12间 寝室进行量化评估,其中有4间寝室被评为 优秀寝室。 (1)现从这12间寝室中随机抽取3间, 求有1间优秀的概率; (2)以这12间寝室的评估情况来估计全 校寝室的文化布置情况,若从全校所有寝室 中任选3间,记 X 表示抽到优秀的寝室间 数,求X 的分布列和期望。 解析:(1)设Ai 表示“所抽取的3间寝室 中有i间寝室优秀”,则“抽取的3间寝室中 有1间优秀”为事件A1。 故P(A1)= C14C28 C312 = 28 55 。 (2)由题干数据可知,从12间寝室中任 选1间是优秀的概率为 4 12= 1 3 。 由题可知,X 的所有可能取值为0,1,2, 3,则X~B 3, 1 3 。 P(X=0)= 23 3 = 8 27 ; P(X=1)=C13 1 3 1 2 3 2 = 4 9 ; P(X=2)=C23 1 3 2 2 3 1 = 2 9 ; P(X=3)= 13 3 = 1 27 。 X 的分布列如表3所示。 表3 X 0 1 2 3 P 827 4 9 2 9 1 27 E(X)=3× 1 3=1 。 评注:二项分布模型和超几何分布模型 最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回 抽样。每次抽取时的总体没有改变,因而每 次抽到某物的概率都是相同的,可以看成是 独立重复试验,此种有放回抽样是二项分布 16 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 模型。总体中取出一个就少一个,因此每次 取到某物的概率是不同的,此种不放回抽样 为超几何分布模型。因此,在解有关二项分 布和超几何分布问题时,仔细阅读、辨析题目 条件是非常重要的。 四、两个模型的综合应用 例 4 (2023年北京怀柔一模)某食品 厂为了检查一条自动包装流水线的生产情 况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样, 获得数据如表4所示。 表4 分组区间 (单位:g) (490,495](495,500](500,505](505,510](510,515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量数在区间(495,510]内的产品 为一等品,其余为二等品。 (1)估计从该流水线上任取一件产品为 一等品的概率。 (2)从上述抽取的样本产品中任取2件, 设X 为一等品的产品数量,求X 的分布列。 (3)从该流水线上任取2件产品,设Y 为 一等品的产品数量,求Y 的分布列;试比较期 望E(X)与期望E(Y)的大小。(结论不要求 证明) 解析:(1)样本中一共有3+4+7+5+1= 20(件)产品,包装质量数在区间(495,510]内 的产品有4+7+5=16(件),故从该流水线上 任取一件产品为一等品的概率P= 16 20= 4 5 。 (2)依题意知,X 的可能取值为0,1,2。 则P(X=2)= C216 C220 = 12 19 ; P(X=1)= C116C14 C220 = 32 95 ; P(X=0)= C24 C220 = 3 95 。 X 的分布列如表5所示。 表5 X 0 1 2 P 395 32 95 12 19 (3)由(2)可得,E(X)=2× 12 19+1× 32 95+ 0× 3 95= 8 5 。 依题意知,Y~B 2, 4 5 ,则Y 的可能取 值为0,1,2。 P(Y=2)= 45 2 = 16 25 ; P(Y=1)=C12× 1- 4 5 ×45=825; P(Y=0)= 1- 4 5 2 = 1 25 。 Y 的分布列如表6所示。 表6 Y 0 1 2 P 125 8 25 16 25 所以 E(Y)=2× 4 5= 8 5 ,故 E(Y)= E(X)。 评注:超几何分布的应用中,常见的模型 有较明显的两部分,如“正品”与“次品”,“男 生”与“女生”,“优”与“劣”等。二项分布的应 用中,常见的模型涉及试验次数,如“射击次 数”“摸球次数”“几次试验”等。在实际问题 中,“从流水线上抽取”,“从大批产品中抽取 少量样品的不放回检验”“频率视为概率”等 也可以认为每次试验事件 A 发生的概率相 同,这类问题通常也是二项分布问题。 由上述例题可见,概率统计题目通常 文字较多,部分题目中的条件还可能会以 图表的形式给出,同学们需要从繁冗的已 知条件 中 找 准 关 键 字 句,提 取 重 要 信 息。 仅凭借不完善的经验选取概率模型解题, 极易发生误判。要避免发生两种分布的误 判,同学们除了需要培养良好的审题习惯, 找准题目中的关键字句进行分析,跳出题 目设置的“陷阱”,走出认识误区,更需要在 知识方面强化对两种分布概念的理解与辨 析,厘清两种概念的本质区别,提高对两种 分布的认知,这样在解决两种分布问题时 才能得心应手、事半功倍。 (责任编辑 徐利杰) 26 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月