16直线与圆锥曲线综合的常考题型-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■山东省潍坊市高密三中 孙洪杰 直线与圆锥曲线的位置关系是高中数学 的难点,也是重点,是新高考必考内容,经常 以选择题、填空题和解答题的形式出现。该 问题涉及的知识点比较多,内容比较抽象,综 合性较强,且对同学们的数学运算能力、理解 能力要求很高,因此需要大家在日常学习中 注重对常考题型的解题方法进行总结,探究 出解决这类问题的规律和技巧,同时加强对 数学运算能力和数据处理能力等方面的培 养。下面就该部分内容常见题型及求解策略 加以剖析。 题型一、直线与圆锥曲线位置关系的判 断 直线与圆锥曲线位置关系的判断是一类 常见题型,对于直线与圆、直线与椭圆的位置 关系,可以直接根据代数的方法,将直线与圆 或椭圆的方程联立后,通过解方程,判断解的 个数从而确定位置关系。而对于直线与抛物 线、直线与双曲线的位置关系,在上面的基础 之上,还需要特别注意联立后,所得方程的二 次项系数是否为零。 例 1 (多选)已知直线l 的方程为 ax-y+1=0,a∈R,则下列说法正确的是 ( )。 A.l与直线x+ay+1=0有唯一的交点 B.l与椭圆 x2 2+y 2=1一定有两个交点 C.l与圆(x-1)2+y2=4一定有两个交 点 D.满足与双曲线 x2 2-y 2=1有且只有一 个公共点的直线l有2条 解析:直线l过定点M(0,1)。 对于选项A,ax-y+1=0,a∈R,直线 的法向量n1=(a,-1),直线x+ay+1=0 的法向量n2=(1,a)。因为n1·n2=a-a= 0,所以n1⊥n2,两条直线垂直,有唯一交点, A正确。 对于选项B,M 为椭圆的上顶点,则直线 l与椭圆相交或相切,有一个或两个交点,B 错误。 对于选项C,因为(0-1)2+12=2<4,所 以 M 在圆内,l与圆一定有两个交点,C正 确。 对于选项D,如图1,满足题意的直线l 有4条,两条与双曲线相切,两条与渐近线平 行,故D错误。 图1 75 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 故选AC。 点评:直线与圆锥曲线位置关系的判断, 一般要通过消去x 或y 得到一元二次方程的 形式,然后根据方程根的个数来判断直线与 圆锥曲线交点的个数。当然有时候我们也可 以采用几何法,根据数形结合思想,画出图 像,根据图像可以非常直观地判断出交点的 个数。 题型二、弦长问题 关于直线与圆锥曲线的弦长问题,主要 考查的方向有:焦点弦、中点弦、经过坐标原 点的弦长。这些问题经常要结合题目中的已 知条件,以及给出的圆锥曲线的几何特征,进 行列式求解。解决这类问题有时也要注意与 韦达定理结合,以及直线与曲线交点的对称 性,利用这些特殊性质有时会简化运算,甚至 会巧妙解决问题。 例 2 已知O 为坐标原点,A(1,0), B(-1,0),直线 AM,BM 的斜率之积为4, 记动点 M 的轨迹为E。 (1)求E 的方程; (2)直线l经过点(0,-2),与E 交于P, Q 两点,线段PQ 的中点D 在第一象限,且 其纵坐标为4,求|PQ|。 解析:(1)设点 M 的坐标为(x,y),x≠ ±1。因 为 kAM = y x-1 ,kBM = y x+1 ,所 以 kAM·kBM = y2 x2-1 =4,化简得 x2-y 2 4=1 (x≠±1)。 所以E 的方程为x2-y 2 4=1 (x≠±1)。 (2)当直线PQ 的斜率不存在时,显然不 符合题意。 设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线PQ 的方 程为y=kx-2。y=kx-2与x2- y2 4=1 联 立得(4-k2)x2+4kx-8=0。 由Δ=16k2+32(4-k2)>0且4-k2≠ 0,解得k2<8且k2≠4。 由韦达定理得 x1+x2= 4k k2-4 , x1x2= 8 k2-4 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 因为线段PQ 的中点D 在第一象限,且 纵 坐 标 为 4, 所 以: x1+x2= 4k k2-4 >0, y1+y2=k(x1+x2)-4= 16 k2-4 =8。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 解得k= 6或k=- 6(舍去)。直线 PQ 的方程为y= 6x-2, x1+x2=26, x1x2=4。 所以|PQ|= 1+k2 ·|x1-x2|= 7· (x1+x2)2-4x1x2=2 14。 点评:圆锥曲线与直线相交后,所得到的 弦长如何求解? 如果是涉及焦点弦问题,一 般我们可以考虑用对应曲线的焦点弦长公式 求解。对于不过焦点的弦长问题,一般我们 利用弦长公式求解,将消元后得到的一元二 次方程,根据韦达定理得到两根和与积的等 式,然后代入弦长公式求解即可。 题型三、中点弦问题 圆锥曲线中的中点弦问题是圆锥曲线的 重点,也是难点,涉及的几何性质和解题技巧 较多,中点弦问题体现了数学中的“设而不 求”的重要数学思想,能够简化运算过程,达 到事半功倍的效果。 例 3 已知抛物线C:y=ax2(a≠0) 的准线方程为y=- 1 8 。 (1)求抛物线C 的方程。 (2)若斜率为1的直线l交抛物线C 于 A,B 两点,点P,Q 在抛物线C 上且关于直 线l对称,求证:A,B,P,Q 四点共圆。 解析:(1)由y=ax2 得x2= 1 ay ,抛物线 C 的准线方程为y=- 1 4a=- 1 8 ,解得a= 2,所以抛物线C 的方程为y=2x2。 (2)设直线l的方程为y=x+m,A(x1, y1),B(x2,y2),P(x3,y3),Q(x4,y4)。 将y=x+m 代入y=2x2,得2x2-x- m=0。则Δ=1+8m>0,x1+x2= 1 2 ,x1x2 =- m 2 。 85 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 连接PQ,由点P,Q 关于直线l对称,得 PQ⊥l,所 以 kPQ = y4-y3 x4-x3 = 2x24-2x23 x4-x3 = 2(x3+x4)=-1。 解得x3+x4=- 1 2 ,即x4=- 1 2-x3 。 因为线段 PQ 的中点在直线y=x+m 上,所以y3+y4 2 = x3+x4 2 +m ,即2x 2 3+2x24 2 = x3+x4 2 +m 。 整理得(x3+x4)2-2x3x4= x3+x4 2 + m,故x3x4= 1 4- m 2 。 把 x4 = - 1 2 -x3 代 入 上 式,得 x3 - 1 2-x3 =14-m2,即x23+12x3-m2+ 1 4=0 。 连接PA,PB,所以 PA→·PB→=(x1- x3)(x2-x3)+(y1-y3)(y2-y3)=(x1- x3)(x2-x3)+(2x21-2x23)(2x22-2x23)= (x1-x3)(x2-x3)[1+4(x1+x3)(x2+ x3)]= 4 (x1 - x3 )(x2 - x3 )· x23+(x1+x2)x3+x1x2+ 1 4 =4(x1-x3)· (x2-x3)x23+ 1 2x3- m 2+ 1 4 =0。 故PA⊥PB,点P 在以AB 为直径的圆 上。 同理,点 Q 在以AB 为直径的圆上,故 A,B,P,Q 四点共圆。 点评:求解圆锥曲线的中点弦问题,常用 的方法有两种:(1)点差法,此法是设出弦的 端点坐标后,代入圆锥曲线方程,作差,通过 设而不求法转化为中点和直线的斜率问题, 问题可得到解决;(2)利用根与系数的关系, 将直线与圆锥曲线方程联立,消元后转化为 一元二次方程,然后根据韦达定理,得到根与 系数的等式关系,然后进行求解即可。 题型四、切线问题 圆锥曲线的切线问题主要涉及圆锥曲线 的性质、方程及直线方程这三个方面,在求解 有关切线方程时,主要用到的方法有:向量 法、导数法、几何性质法。相比之下,导数法 和几何性质法比较常规,利用导数法主要是 对函数求导,得到曲线在切点处的切线斜率 或切点坐标,然后求得切线方程;而几何性质 法则需要在解题过程中结合实际图形,根据 几何图形的特点,明确各个量之间的关系,然 后运用集合的性质求解。 例 4 设双曲线C:x2-2y2=1上点 P(3,1),求双曲线C 在点P 处的切线l的 方程。 解析:由C:x2-2y2=1可得y=± x2-1 2 。 根据题目条件可知,要求曲线y= x2-1 2 在 点P(3,1)处的切线l 的方程。由y'= 1 2 x2-1 2 -12 x= x 2(x2-1) ,可得曲线y= x2-1 2 在点 P(3,1)处的切线斜率k= 3 2 。 故曲线y= x2-1 2 在点P(3,1)处的 切线方程为 y= 3 2 (x- 3)+1,化简得 3x-2y-1=0。 因此,双曲线C 在点P 处的切线l的方 程为 3x-2y-1=0。 点评:解圆锥曲线中的切线问题,关键是 设出切点,可以利用求导的方法或者联立消 元后得到的一元二次方程,令判别式为零,求 出切线的斜率,然后可以得到切线方程。 直线与圆锥曲线问题,经常与函数、不等 式等问题相结合,综合性比较强,考查的形式 也多种多样,而且在最近几年的高考试卷中 经常出现。因此,同学们在日常学习中要进 行大量有关该类问题的强化训练,不断进行 总结归纳,积累解决这类问题的经验,抓住解 决问题的本质,不断提高数学运算求解能力 和解题能力。 (责任编辑 徐利杰) 95 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月