15全概率公式的基本应用-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

全概率公式的基本应用 ■河北省张家口市第一中学 李 倩 全概率公式作为概率论中最基本的公式 之一,是新教材中一个新增的知识点,也是条 件概率与概率乘法公式的深入与综合应用, 为解决各种各样的限制条件或其样本空间较 为复杂的概率问题提供了一个有力的工具。 它使得概率问题的设置与应用更加丰富多 彩、灵活多变、创新不断,已成为新高考中的 一个热点与亮点。 1.概率问题 例 1 设甲盒有3个白球,2个红球, 乙盒有4个白球,1个红球,现从甲盒任取2 个球放入乙盒,再从乙盒任取2个球,则从乙 盒取出2个红球的概率为 。 分析:根据题设条件,分别设出对应的基 本事件,设事件 A1=“从甲盒取出2个红 球”,事件A2=“从甲盒取出2个白球”,事件 A3=“从甲盒取出1个白球1个红球”,事件 B=“从乙盒取出2个红球”。事件 A1,A2, A3 两两互斥,结合全概率公式来分析,求解 相应的概率问题。 解:依题意,设事件A1=“从甲盒取出2 个红球”,事件A2=“从甲盒取出2个白球”, 事件A3=“从甲盒取出1个白球1个红球”, 事件B=“从乙盒取出2个红球”。 则事件 A1,A2,A3 两两互斥,且 A1∪ A2∪A3=Ω,所以B=(A1∪A2∪A3)B= A1B∪A2B∪A3B。 结合全概率公式,可得: P(B)=P(A1B∪A2B∪A3B) =P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) =P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3) = C22 C25 × C23 C27 + C23 C25 × 0 C27 + C13C12 C25 × C22 C27 = 3 70 。 所以从乙盒取出2个红球的概率为 3 70 。 点评:利用全概率公式来求解相应的概率 问题时,关键在于剖析实际应用问题中相应事 件的内涵与实质,构建相应事件之间的关系。 结合解决全概率公式问题的三个基本步骤: (1)“拆分”,确定拆分标准,将较为复杂的复合 事件B 分解成相应的若干个互斥事件Bi(i= 1,2,…,n);(2)“计算”,计算相对应事件的概 率P(Bi)以及相应的条件概率P(A|Bi);(3) “求和”,利用全概率公式进行求和处理。 2.决策问题 例 2 (2022~2023学年河北省沧州市 高二下学期期末数学试卷)端午假日期间,某 商场为促销举办了购物砸金蛋活动,凡是在该 商场购物的顾客都有一次砸金蛋的机会。主 持人从编号为1,2,3,4的4个金蛋中随机选 择1个,放入奖品,只有主持人知道奖品在哪 个金蛋里。游戏规则:顾客有两次选择机会, 第一次任意选1个金蛋先不砸开,随后主持人 随机砸开另外3个金蛋中的1个空金蛋,接下 来顾客从3个完好的金蛋中任意选择1个砸 开,如果砸中有奖的金蛋直接获奖。现有顾客 甲第一次选择了2号金蛋,接着主持人砸开了 另外3个金蛋中的1个空金蛋。 (1)作为旁观者,请你计算主持人砸4号 金蛋的概率。 (2)当主持人砸开4号金蛋后,顾客甲重 新选择,请问他是坚持选2号金蛋,还是改选 1号金蛋或3号金蛋呢。 (以获得奖品的概率 最大为决策依据) 分析:(1)根据题设条件设出事件,根据 已知条件得出事件的概率以及条件概率,然 后根据全概率公式得出答案;(2)根据条件概 率公式,分别求出在主持人砸开4号金蛋的 条件下,1号金蛋、2号金蛋、3号金蛋里有奖 品的概率,再比较概率的大小,即可作出更加 合理的决策与判断。 解:(1)设A1,A2,A3,A4 分别表示1,2, 3,4号金蛋里有奖品,设B1,B2,B3,B4 分别 表示主持人砸开1,2,3,4号金蛋。 则Ω=A1∪A2∪A3∪A4,且 A1,A2, A3,A4 两两互斥。 55 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 由题意可知,事件 A1,A2,A3,A4 的概 率都是 1 4 。 P(B4|A1)= 1 2 ,P(B4|A2)= 1 3 , P(B4|A3)= 1 2 ,P(B4|A4)=0。 利用全概率公式,可得: P(B4)=∑ 4 i=1 P(Ai)P(B4|Ai) = 1 4× 1 2+ 1 3+ 1 2+0 =13。 (2)在主持人砸开4号金蛋的条件下,1号 金蛋、 2号金蛋、3号金蛋里有奖品的概率分别 为P(A1|B4)= P(A1B4) P(B4) = P(A1)P(B4|A1) P(B4) = 1 4× 1 2 1 3 = 3 8 ; P (A2 | B4 ) = P(A2B4) P(B4) = P(A2)P(B4|A2) P(B4) = 1 4× 1 3 1 3 = 1 4 ; P(A3|B4)= P(A3B4) P(B4) = P(A3)P(B4|A3) P(B4) = 1 4× 1 2 1 3 = 3 8 。 以获得奖品的概率最大为决策依据,通 过比较概率大小,甲应该改选1号金蛋或3 号金蛋。 点评:通过比较概率大小来求解,经常是 科学性决策中常用的一种基本方法。借助实 际应用问题的创设,利用概率大小的求解,这 里包括条件概率、全概率公式等的综合应用。 3.综合问题 例 3 (2022~2023学年江苏省盐城市高 二下学期期末数学试卷)某射手射击三次,记事 件Ai=“第i次命中目标”(i=1,2,3),P(A1)= 1 6 ,P(Ai+1|Ai)=3P(Ai),P(Ai+1|Ai)= 1 4 (i =1,2),则P(A3)= 。 分析:本题利用题设场景与已知递推关 系式并结合相应事件的概率值求解,先通过 概率P(A1)的值来确定其对立事件的概率 值,再结合题中相应的递推关系式确定相应 的条件概率,并利用全概率公式计算P(A2) 的值;重复利用以上步骤进一步利用全概率 公式计算P(A3)的值。 解:依题意知 P(A1)= 1 6 ,结合对立事 件的概率公式得P(A1)=1-P(A1)= 5 6 。 结合条件P(Ai+1|Ai)=3P(Ai),可得 P(A2|A1)=3P(A1)= 1 2 。 而P(A2|A1)= 1 4 ,利用全概率公式,可得: P(A2)= P(A1)·P(A2|A1)+P(A1) P(A2|A1)= 1 6× 1 2+ 5 6× 1 4= 7 24 。 又利用对立事件的概率公式可得P(A2)= 1-P(A2)= 17 24 。 P(A3|A2)=3P(A2)= 7 8 。 又P(A3|A2)= 1 4 ,利用全概率公式,可 得P(A3)= P(A2)·P(A3|A2)+P(A2)· P(A3|A2)= 7 24× 7 8+ 17 24× 1 4= 83 192 。 点评:本例以概率为问题背景,通过条件 概率及递推关系式的合理交汇,对立事件的 概率公式及全概率公式等综合与应用,实现 问题的巧妙分析与解决。特别要注意的是, 合理利用事件概率之间的递推关系式,要注 意后续事件的概率往往受前一个事件概率的 影响,需要逐一加以分析与求解。 全概率公式主要适用于所研究的事件试验 前提或前一步骤试验有多种可能,在这多种可 能中均有所研究的事件发生的概率问题。同学 们在实际利用全概率公式来解题时,合理挖掘 问题的内涵与实质,正确设置相关事件之间的 关系,往往将问题进行合理地“拆分、计算、求 和”,综合条件概率、概率乘法公式及相应的全 概率公式等分析与求解对应的概率问题。 (责任编辑 徐利杰) 65 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月