12圆中最值的热点问题及破解策略-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

圆中最值的热点问题及破解策略 ■山东省枣庄二中 杨金林 与圆相关的最值或范围问题是近几年高 考数学对圆考查的重点内容,主要考查与圆 相关的参数范围问题和与圆相关的长度或面 积的最值问题,一般以选择题或填空题的形 式出现。下面对圆中的最值或范围问题及破 解策略进行归纳总结,供同学们学习时参考。 一、圆上一点到定点的最值 图1 圆上的点到定点距离的 最值问题:一般都是转化为求 定点到圆心的距离,加上半径 为最大值,减去半径为最小 值。如图1,已知圆C 及圆外 一定点P,设圆 C 的半径为 r,则圆上的点到P 点距离的 最小值为|PM|=|PC|-r,最大值为|PN| =|PC|+r,即连接PC 并延长,M 为PC 与 圆的交点,N 为PC 的延长线与圆的交点。 例 1 (2024年济南一中高三开学考 试)已知P 是圆O:x2+y2=9上的动点,点 Q 满足PQ→=(3,-4),点 A(1,1),则|AQ| 的最大值为( )。 A.8 B.9 C.29+3 D.30+3 解析:设Q(x,y),P(x0,y0)。 由PQ→=(x-x0,y-y0)=(3,-4),得 x0=x-3,y0=y+4。 因为点P 在圆O 上,所以x20+y20=9,即 (x-3)2+(y+4)2=9。 点Q 的轨迹是以(3,-4)为圆心,3为半 径的圆。 因为(1-3)2+(1+4)2=29>9,所以点 A 在圆外。 因此,|AQ|的最大值为 (1-3)2+(1+4)2 +3= 29+3。选C。 二、圆上一点到直线距离的最值 圆上的点到直线距离的最值问题:如图 图2 2,已知圆C 和圆外的一 条直线l,则圆上的点到 直线 距 离 的 最 小 值 为 |PM|=d-r,距离的最 大值为|PN|=d+r(过 圆心C 作l的垂线,垂足 为 P,CP 与 圆 C 交 于 M,其反向延长线交圆C 于N)。 例 2 (2024年广东茂名高三统考一 模)动点P 与两个定点O(0,0),A(0,3)满足 |PA|=2|PO|,则点P 到直线l:mx-y+ 4-3m=0距离的最大值为 。 解析:令 P(x,y),则 x2+(y-3)2 = 2 x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4。 所以P 的轨迹是圆心为(0,-1),半径 为2的圆。 又直线l:mx-y+4-3m=0可化为 m(x-3)-(y-4)=0,易知过定点(3,4)。 因32+(4+1)2>4,故点(3,4)在圆 x2+(y+1)2=4外。 当圆心与定点(3,4)所在直线与直线l 垂直时,圆心与直线l的距离最大。 所以点 P 到 直 线l 距 离 的 最 大 值 为 32+(4+1)2+2=2+ 34。 三、过圆内定点的弦长的取值范围 图3 过圆内定点的弦长问 题:如图3,已知圆C 及圆 内一定点P,则过点P 的所 有弦中最长为直径,最短为 与该直径垂直的弦AB。 例 3 (2024年福州 第一中学高三期末卷)设直线(a+1)x- ay-1=0(a∈R)与圆x2+y2=4交于A,B 两点,则|AB|的取值范围为( )。 A.[2,2] B.[2,4] C.[2,4] D.[22,4] 34 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 解析:设直线l:(a+1)x-ay-1= 0(a∈R),变形为a(x-y)+x-1=0,所以 直线l恒过定点D(1,1)。 因为圆的方程为x2+y2=4,所以圆心 为C(0,0),半径r=2。 因为 12+12<2,所以点D 在圆的内部。 当直线CD⊥l时,弦|AB|最短。 因为|CD|= 12+12= 2,所以|AB| =2 r2-|CD|2 =2 2。当直线l 过圆心 时,弦|AB|的最大值为2r=4。 故|AB|的取值范围为[22,4],选D。 四、圆的切线长的最值 切线长度的最值求法: 1.代数法,利用勾股定理求出切线长,把 切线长中的变量统一成一个,转化成函数求 最值问题; 2.几何法,把切线长的最值问题转化成 圆心到直线的距离问题。 图4 如图4,已知圆C 和 圆外的一条直线l,则过 直线l 上的点作圆的切 线,切 线 长 的 最 小 值 为 |PM|。 例 4 (2024年湖 北省名校联考模拟预测 图5 卷)如图5,已知点P 为 直线l:3x-4y+12=0 上的一点,过点 P 作圆 C:(x-3)2+(y-2)2= 1的 切 线 PM,切 点 为 M,则切线|PM|的最小 值为( )。 A. 12 5 B. 13 5 C. 170 5 D. 194 5 解析:由题意可知,圆C 的圆心为C(3, 2),半径|CM|=1。 由圆的几何性质可知,CM⊥PM。 由勾股定理可得,|PM|= |PC|2-|CM|2 = |PC|2-1。 要使切线长|PM|取最小值,只需|PC| 取最小值即可。 当直线PC 与直线l:3x-4y+12=0垂 直时,|PC|取最小值 d= |9-8+12| 32+(-4)2 = 13 5 。 则|PM|的最小值是 135 2 -1= 12 5 , 选A。 五、距离和差的最值 圆中的距离和差问题可借助圆的几何特 性进行转化,有时需结合对称性及三点共线 距离最短的性质求最值。 例 5 (2024年江西省高三名校联考 期末卷)已知A 为圆C:x2+(y-1)2= 1 4 上 的动点,B 为圆E:(x-3)2+y2= 1 4 上的动 点,P 为直线y= 1 2x 上的动点,则|PB|- |PA|的最大值为 。 解析:设E(3,0)关于直线y= 1 2x 的对 称点为E'(m,n)。 则 n m-3 ·1 2=-1 , n 2= 1 2 ·m+3 2 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m= 9 5 , n= 12 5 。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 故E' 95 ,12 5 。 则圆E 关于y= 1 2x 对称的圆E'的方程 为 x- 9 5 2 + y- 12 5 2 = 1 4 。 图6 要使|PB|- |PA|的值最大, 则P,A,B'(其中 B'为B 关于直线 y= 1 2x 的对称圆 E'上的点)三点共 线,且该直线过C,E'两点,如图6。 其最 大 值 为|AB'|=|CE'|+1= 44 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 9 5 2 + 125-1 2 +1= 130 5 +1 。 六、与角度有关的最值 与角度有关的最值问题的处理方法:利 用三角函数定义,将三角函数值转化为边的 比值,观察线段之间的关系再进行处理。 图7 例 6 (2024年云南 师大附中高三阶段考试) 如 图 7,已 知 圆 C:x2+ y2-4x+2y+4=0与直 线l:mx-y+m+1= 0(m≠0),过l上任意一点 M 向圆C 引切线,切点为 A,B,若∠ACB 的最小值为 2π 3 ,则实数m 的 值为( )。 A. 12 5 B.- 7 5 C. 7 5 D.- 12 5 解析:圆C:(x-2)2+(y+1)2=1,圆心 为C(2,-1),半径r=1。 由题意知∠ACB 的最小值为 2π 3 ,可得 π 3≤∠ACM< π 2 。 又|CM|= 1 cos∠ACM ,0<cos∠ACM≤ 1 2 ,故|CM|的最小值为2。 而圆心C(2,-1)到直线l:mx-y+ m+1=0(m≠0)的距离等于2,即 |3m+2| m2+1 =2,解得m=- 12 5 ,故选D。 七、代数式几何意义的最值 利用代数法的几何意义求最值: 1.形如k=y -b x-a 的最值问题,可以转化 为过点(x,y)和点(a,b)的动直线斜率的最 值问题; 2.形如z=(x-a)2+(y-b)2 的最值 问题,可以转化为点(x,y)和点(a,b)距离的 平方的最值问题; 3.形如z=ax+by 的最值问题,可以转 化为动直线纵截距的最值问题。 例 7 (2023年高考全国乙卷文科)已 知实数x,y 满足x2+y2-4x-2y-4=0, 则x-y 的最大值是( )。 A.1+ 32 2 B.4 C.1+32 D.7 解析:整理出圆的标准方程,设x-y= k,利用圆心到直线的距离小于等于半径即 可。 由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x- 2)2+(y-1)2=9。 设x-y=k,则圆心到直线x-y=k的 距离d= |2-1-k| 2 ≤3。 解得1-32≤k≤1+32,故选C。 八、圆中面积的最值 与圆有关的面积最值问题:一般转化为 寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形 的关系,借助函数求最值的方法,如配方法、 基本不等式法等求解,有时可以通过转化思 想,利用数形结合思想求解。 图8 例 8 (2024年山 西省吕梁市统考一模) 如图8,已知圆Q:(x- 4)2+(y-2)2=4,点P 为直线x+y+2=0上 的动点,以 PQ 为直径 的圆与圆Q 相交于A,B 两点,则四边形 PAQB 面积的最小值为( )。 A.27 B.47 C.2 D.4 解析:由题意得 PA⊥AQ,PB⊥BQ, Q(4,2)。 S四边形PAQB=2S△PAQ=2· 1 2|PA||AQ|= 2|PA|=2 |PQ|2-4。 当PQ 与直线x+y+2=0垂直时,取到 最小值|PQ|min= |4+2+2| 2 =42。 故(S四边形PAQB)min=47,选B。 (责任编辑 徐利杰) 54 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月