10高考中如何利用空间向量求解空间角-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

高考中如何利用空间向量求解空间角 ■河南省郑州市第十一中学 李小斌 立体几何是高考命制创新试题的重要方 面,而以空间几何体为载体考查空间角是高考 命题的重点之一。空间向量是将空间几何问 题坐标化的工具,利用空间向量求平面与平面 的夹角或直线与平面角所成的角是高考的热 点之一,通常以解答题的形式出现,多以考查 体积、表面积、距离和角度为主,难度中等。近 年常考的热点有三个方面,总结如下。 热点一 直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a,平面α的法向 量为n,直线l与平面α 所成的角为θ,则① θ∈ 0 π 2 ;②sin θ=|cos<a,n>|= |a·n| |a||n| 。 图1 例 1 (2022 年高考全国乙卷)如 图1,四面体 ABCD 中,AD⊥CD,AD= CD, ∠ADB = ∠BDC,E 为AC 的 中点。 (1)证明:平面BED⊥平面ACD; (2)假设AB=BD=2,∠ACB=60°,点 F 在BD 上,当△AFC 的面积最小时,求CF 与平面ABD 所成角的正弦值。 解析:(1)因为AD=CD,E 为AC 的中 点,所以AC⊥DE。 在 △ADB 和 △CDB 中,因 为 AD = CD,∠ADB = ∠CDB,DB =DB,所 以 △ADB≌△CDB,AB=BC。 因为E 为AC 的中点,所以AC⊥BE。 又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BED。 因为AC⊂平面ACD,所以平面BED⊥平面 ACD。 (2)由(1)可知AB=BC。 又 因 为 ∠ACB =60°,AB =2,所 以 △ABC 为边长为2的正三角形。 则AC=2,BE= 3,AE=1。 因为AD=CD,AD⊥CD,所以△ADC 为等腰直角三角形,DE=1。 因此,DE2+BE2=BD2,DE⊥BE。 由(1)可知,AC⊥平面BED。 连接 EF,因为 EF⊂平面 BED,所以 AC⊥EF。当△AFC 的面积最小时,点F 到 直线AC 的距离最小,即EF 的长度最小。 在Rt△BED 中,当EF 的长度最小时, EF⊥BD,EF= DE·BE BD = 3 2 。 下面怎么解? 有两种思路。 (思路1) 由(1)可知,DE⊥AC,BE⊥ AC,所以EA,EB,ED 两两垂直。 图2 以 E 为 坐 标 原 点,EA,EB,ED 所 在的直线分别为x, y,z 轴,建立 如 图2 所示的空间直角坐标 系,则 A (1,0,0), B(0,3,0),D(0,0, 1),C(-1,0,0)。 AB→=(-1,3,0),DB→=(0,3,-1)。 易得DF= 1 2 ,FB= 3 2 ,则3DF→=FB→。 设F(0,y,z),则DF→=(0,y,z-1),FB→ =(0,3-y,-z)。 故3(0,y,z-1)=(0,3-y,-z),解 得y= 3 4 ,z= 3 4 ,即 F 0, 3 4 ,3 4 ,CF→= 1, 3 4 ,3 4 。 设平面 ABD 的法向量为n=(x1,y1, z1),则: n·AB→=-x1+ 3y1=0, n·DB→= 3y1-z1=0。 不妨取y1=1,则x1= 3,z1= 3,n= (3,1,3)。 记CF 与平面ABD 所成的角为α。 则sin α=|cos<CF→,n>|=|CF →·n| |CF→|·|n| = 43 7 。 73 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 图3 (思路2) 如图 3,过点E 作EM⊥AB 交 AB 于 点 M,连 接 DM,过点 E 作EG⊥ DM 交DM 于点G。 因 为 DE ⊥AC, DE⊥BE,AC∩BE=E,AC⊂平面 ABC, BE⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC。 又AB⊂平面ABC,所以DE⊥AB。 EM∩DE=E,EM⊂平面DEM,DE⊂ 平面DEM,所以AB⊥平面DEM。 而EG⊂平面DEM,故AB⊥EG。 AB∩DM=M,AB⊂平面ABD,DM⊂ 平面ABD,则EG⊥平面ABD。 则EG 的长度等于点E 到平面ABD 的 距离。 因为E 为AC 的中点,所以EG 的长度 等于点C 到平面ABD 的距离的 1 2 。 因为 EM =AE·sin 60°= 3 2 ,所 以 EG= DE·EM DM = DE·EM DE2+EM2 = 21 7 ,即 点C 到平面ABD 的距离d= 2 21 7 。 因此,FC= FE2+EC2= 7 2 。 记CF 与平面ABD 所成的角为α,则 sin α= d CF= 43 7 。 名师点评:直线与平面角所成的角θ 与 直线的方向向量a和平面的法向量n 所成的 角<a,n>的关系是<a,n>+θ= π 2 或<a,n>- θ= π 2 ,应用向量法求的是线面角的正弦值, 而不是余弦值。 热点二 二面角 设α-l-β的平面角为θ,α的法向量为u,β 的法向量为v,则: ①θ∈[0,π]; ②|cos θ|=|cos<u,v>|= |u·v| |u||v| 。 图4 例 2 (2023年 新高考Ⅱ卷)如图4, 在 三 棱 锥 A-BCD 中,DA=DB=DC, BD⊥CD,∠ADB= ∠ADC=60°,E 为 BC 的中点。 (1)证明:BC⊥DA; (2)点 F 满足EF→=DA→,求二面角 D- AB-F 的正弦值。 解析:(1)连接AE,DE。 因为 DB=DC,E 为BC 的中点,所以 DE⊥BC。 又DA=DB=DC,∠ADB=∠ADC= 60°,故△ACD 与△ABD 均为等边三角形。 则AC=AB,AE⊥BC。 AE∩DE=E,故BC⊥平面ADE。 因为AD⊂平面ADE,所以BC⊥DA。 (2)设DA=DB=DC=2,则BC=22。 因为 DE =AE = 2,AD =2,所 以 AE2+DE2=4=AD2,即AE⊥DE。 图5 又 因 为 AE ⊥ BC,DE∩BC=E, 所 以 AE ⊥ 平 面 BCD。 以E 为原点,建 立如图5所示的空 间 直 角 坐 标 系,则 D(2,0,0),A(0,0, 2),B(0,2,0),E(0,0,0)。 因为EF→=DA→,所以F(- 2,0,2)。 DA→= (- 2,0,2),AB→ = (0,2, - 2),AF→=(- 2,0,0)。 设平面 DAB 与平面ABF 的法向量分 别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)。 则 - 2x1+ 2z1=0, 2y1- 2z1=0。 令x1=1,解得y1=z1=1。 且 2y2- 2z2=0, - 2x2=0。 令 y2 =1,解 得 83 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 x2=0,z2=1。 故n1=(1,1,1),n2=(0,1,1)。 设二面角D-AB-F 的平面角为θ,则: |cos θ|= |n1·n2| |n1||n2| = 2 3× 2 = 6 3 。 故sin θ= 3 3 ,二面角 D-AB-F 的正弦 值为 3 3 。 名师点评:二面角的取值范围是[0,π], 两个向量夹角的取值范围是[0,π],二面角与 其对应的两个法向量的夹角不一定相等,而 是相等或互补的关系。 热点三 空间中的探索性问题 与空间向量有关的探究性问题主要有两 类:1.探究线面的位置关系;2.探究线面角或 两平面的夹角满足特定要求时的存在性问题。 处理原则:先建立空间直角坐标系,引入 参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐 标,然后探究这样的点是否存在,或参数是否 满足要求,从而作出判断。 图6 例 3 (2023年新高 考Ⅰ卷)如图6,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB =2,AA1=4。点 A2,B2, C2,D2 分 别 在 棱 AA1, BB1,CC1,DD1 上,AA2= 1,BB2=DD2=2,CC2=3。 (1)证 明:B2C2 ∥ A2D2; (2)点 P 在 棱 BB1 上,当 二 面 角 P- A2C2-D2 为150°时,求B2P 的值。 图7 解析:(1)根据题意建 立如图7所示的坐标系,则: B2(0,2,2),C2(0,0, 3),A2(2,2,1),D2(2,0, 2)。 B2C2→= (0,-2,1), A2D2→=(0,-2,1),B2C2→= A2D2→。 又 B2,C2,A2,D2 四 点不共线,故B2C2∥A2D2。 (2)在(1)的坐标系下,可设P(0,2,t), t∈[0,4]。 又由(1)知 C2(0,0,3),A2(2,2,1), D2(2,0,2),故C2A2→=(2,2,-2),C2P→=(0, 2,t-3),A2D2→=(0,-2,1)。 设平面 PA2C2 的法向量为 m=(x,y, z),则: m·C2A2→=2x+2y-2z=0, m·C2P→=2y+(t-3)z=0。 取m=(t-1,3-t,2)。 设平面A2C2D2 的法向量为n=(a,b,c)。 则 n·C2A2→=2a+2b-2c=0, n·A2D2→=-2b+c=0。 取n=(1,1,2)。 根据题意可得|cos 150°|=|cos<m,n>| = |m·n| |m||n| 。 故 3 2= 6 (t-1)2+(3-t)2+4× 6 ,即 t2-4t+3=0。 又t∈[0,4],解得t=1或t=3。 故P 为B1B2 的中点或 B2B 的中点, B2P=1。 名师点评:解决立体几何中探索性问题 的基本方法如下。 (1)通常假设问题中的数学对象存在或 结论成立,再在这个前提下进行推理,如果能 推出与条件吻合的数据或事实,说明假设成 立,可进一步证明;否则假设不成立。 (2)探索线段上是否存在满足条件的点 时,一定注意三点共线的条件的应用。 对于新高考地区,立体几何总体难度有 所提升。在求空间角的基础上,更加注重对 空间想象能力、逻辑思维能力和运算求解能 力的考查,题目多为中档的综合性问题。希 望同学们在平时予以高度重视,打好基础,多 下功夫,在此类题的训练中注意提高运算求 解能力和空间想象能力,在考试中取得优异 的成绩。 (责任编辑 徐利杰) 93 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月