07概率统计重点题型与解题技巧-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■河南省南阳市第一中学校 王喜朝 概率统计部分内容多,在现实生活中应 用广泛,是高中数学中的重要模块。下面就 该模块的重点题型与解题技巧进行梳理,以 期对同学们的学习有所启发。 一、计数原理与古典概型 解题技巧:列举法,合理分类,准确分步 例 1 (2022年全国高考题)从甲、乙 等5名同学中随机选3名参加社区服务工 作,则甲、乙都入选的概率为 。 解析:(方法一) 设这5名同学分别为 甲、乙、丙、丁、戊,从5名同学中随机选3名, 结果是: (甲、乙、丙),(甲、乙、丁),(甲、乙、戊), (甲、丙、丁),(甲、丙、戊),(甲、丁、戊),(乙、 丙、丁),(乙、丙、戊),(乙、丁、戊),(丙、丁、 戊)。共10种选法。 其中,甲、乙都入选的选法有3种,故所 求概率P= 3 10 。 (方法二) 从5名同学中随机选3名的 方法数为C35=10,甲、乙都入选的方法数为 C13=3,所以甲、乙都入选的概率P= 3 10 。 点评:列举法直观、操作简单,多用于处 理样本容量较小的概率问题。 例 2 从2至8的这7个整数中随机取2 个不同的数,则这2个数互质的概率为( )。 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 解析:从2至8的这7个整数中随机取2 个不同的数,共有C27=21(种)不同的取法。 若2个数不互质,则不同的取法是:(2,4), (2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)。 共7种。故所求概率P= 21-7 21 = 2 3 ,选D。 点评:正难则反,化繁为简。 例 3 (2021年浙江高考题)袋中有4 个红球,m 个黄球,n 个绿球。现从中任取2 个球,记取出的红球数为ξ,若取出的2个球 都是红球的概率为 1 6 ,一红一黄的概率为1 3 , 则m-n= ,E(ξ)= 。 解析:根据古典概型的概率公式先列式 求得m,n的值,再根据随机变量ξ的分布列 求出E(ξ)。 由题意知P(ξ=2)= C24 C2m+n+4 = 6 C2m+n+4 = 1 6⇒C 2 m+n+4=36,所以m+n+4=9。 记事件A 为“摸的2个球一红一黄”。 P(A)= C14·C1m C2m+n+4 = 4m 36= m 9= 1 3⇒m=3 , 则n=2,m-n=1。 因此,P(ξ=2)= 1 6 ,P(ξ=1)= C14·C15 C29 = 4×5 36 = 5 9 ,P(ξ=0)= C25 C29 = 10 36= 5 18 。 故E(ξ)= 1 6×2+ 5 9×1+ 5 18×0= 1 3+ 5 9= 8 9 。 注:求E(ξ)时,也可利用ξ服从参数为 N=9,M=4,n=2的超几何分布,故E(ξ)= n· M N= 8 9 。 点评:本题考查运用排列组合求古典概 型,利用超几何分布模型可以简化计算。 二、二项式定理的应用 二项式定理是高考的常考内容,多以求 (ax+b)n 或(mx+n)(ax+b)n 型展开式的 指定项系数,或求系数和的问题呈现。 32 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 解题技巧:先化简再用展开式,赋值法 例 4 (2022年高考全国Ⅰ卷第13 题)1-yx (x+y)8 的展开式中x2y6 的系 数为 。(用数字作答) 解析:因 为 1-yx (x+y)8= (x+ y)8- y x (x+y)8,所以 1-yx (x+y)8 的 展开式中含x2y6 的项为C68x2y6- y xC 5 8x3y5 =-28x2y6。 故 1-yx (x+y)8 的展开式中x2y6 的 系数为-28。 点评:先化简变形再求解。 例 5 (2022年北京高考题)若(2x- 1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a0+ a2+a4=( )。 A.40 B.41 C.-40 D.-41 解析:令x=1,则a4+a3+a2+a1+ a0=1。令x=-1,则a4-a3+a2-a1+ a0=(-3)4=81。 故a4+a2+a0= 1+81 2 =41 ,选B。 点评:求系数和时一般用赋值法。 三、随机变量及其分布列 随机变量及其分布列是高考重要考点,同学 们解这类试题时既要熟练掌握课本知识,如二项 分布、超几何分布、正态分布等,还要适当涉猎一 些“课外”知识,如高尔顿钉板、马尔科夫链等。这 是因为在概率论的发展历程中,其诞生与博弈论 关系紧密,中间出现了高尔顿钉板,到后来有了马 尔科夫链等,这些模型都具有里程碑的意义,因 此,必然会在高考中体现出来。 解题技巧: 学准定义,认清模型,防止重 漏,规范表达 例 6 (2021年高考全国Ⅰ卷) 有6个相 同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放 回地随机取两次,每次取1个球,甲表示事件 “第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第 二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次 取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次 取出的球的数字之和是7”,则( )。 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 解析:P(甲)= 1 6 ,P(乙)= 1 6 ,P(丙)= 5 36 ,P(丁)= 6 36= 1 6 。 P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙),P(甲丁) = 1 36=P (甲)P(丁)。 P(乙丙)= 1 36≠P (乙)P(丙),P(丙丁) =0≠P(丁)P(丙)。故选B。 点评:弄 懂 定 义、正 本 清 源 是 解 题 的 关 键。判断事件 A,B 是否独立,应依据定义 P(A)P(B)=P(AB)是否成立。 图1 例 7 某食品 厂为了检查一条自 动包装流水线的生 产情况,随机抽取该 流水线上的40件产 品作为样本称出它 们的质量(单位:g), 质量的分组区间为 (490,495],(495,500],…,(510,515]。由此得到 样本的频率分布直方图,如图1所示。 (1)根据频率分布直方图,求质量超过 505 g的产品数量。 (2)在上述抽取的40件产品中任取2 件,设Y 为质量超过505 g的产品数量,求Y 的分布列。 (3)从流水线上任取5件产品,求恰有2 件产品的质量超过505 g的概率。 解析:(1)质量超过505 g的产品数量为 40×(0.05×5+0.01×5)=12。 (2)Y 的所有可能取值为0,1,2。 P(Y=0)= C228 C240 = 63 130 ,P(Y=1)= C112C128 C240 = 56 130 ,P(Y=1)= C212 C240 = 11 130 。 Y 的分布列如表1所示。 42 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 表1 Y 0 1 2 P 63130 56 130 11 130 (3)从流水线上任取5件产品,恰有2件 产品的质量超过505 g的概率为C250.32(1- 0.3)3=0.308 7。 点评:抓住问题本质,认准数学模型是解 题的关键。本题第二问为超几何分布,第三 问为二项分布,超几何分布的本质是把样本 分为两类有限抽样,二项分布的本质是独立 重复试验。 例 8 “一世”又叫“一代”。东汉王充 《论衡·宣汉篇》:“且孔子所谓一世,三十年 也。”清代段玉裁《说文解字注》:“三十年为一 世,按父子相继曰世。”而当代中国学者测算 “一代”平均为25年。另一家国家研究机构 的研究报告显示,全球家族企业的平均寿命 其实只有26年,约占总量28%的家族企业只 能传到第二代,约占总量14%的家族企业只 能传到第三代,约占总量4%的家族企业可 以传到第四代甚至更久远(为了研究方便,超 过第四代的可忽略不计)。根据该研究机构 的研究报告,可以估计该机构所认为的“一 代”大约为( )。 A.23年 B.22年 C.21年 D.20年 解析:设“一代”为x 年,已知约占总量 28%的家族企业只能传到第二代,约占总量 14%的家族企业只能传到第三代,约占总量 4%的家族企业可以传到第四代,可列出频率 分布表,根据平均寿命其实只有26年,利用 平均数的求法求解。 已设“一代”为x 年,企业寿命的频率分 布如表2所示。 表2 家族企业寿命 频率 [0,x] 54% [x,2x] 28% [2x,3x] 14% [3x,4x] 4% 因为全球家族企业的平均寿命其实只有 26年,所以家族企业的平均寿命为: 0.54×0.5x+0.28×1.5x+0.14× 2.5x+0.04×3.5x=26。 解得x≈22,选B。 点评:同学们要重视应用,学会建模。本题 主要考查频率分布表的应用以及平均数的求 法,需要同学们具备一定的数学建模能力,才能 把实际问题与数学知识联系起来。 图2 例 9 如图2,一个 小球从 M 处投入,通过 管道自上而下落到 A 或 B 或C。已知小球从每 个岔口落入左右两个管 道的 可 能 性 是 相 等 的。 某商家按上述投球方式 进行促销活动,若投入的 小球落到 A,B,C,则对 应获得一,二,三等奖。 (1)已知获得一,二,三等奖的折扣率分 别为50%,70%,90%。记随机变量ξ为获得 k(k=1,2,3)等奖的折扣率,求随机变量ξ的 分布列及期望E(ξ)。 (2)若有3人次(投入1球为1人次)参 加促销活动,记随机变量η 为获得一等奖或 二等奖的人次,求P(η=2)的值。 解析:构建答题模板: 第一步,确定离散型随机变量的所有可 能取值; 第二步,弄清每个取值的意义,求出其对 应概率; 第三步,列出随机变量的分布列; 第四步,求期望; 第五步,回顾解题过程,查看是否有重复 或遗漏的情况,规范书写过程。 如本题可重点查看随机变量的所有可能 取值是否正确,根据分布列性质检查概率是 否正确。 (1)由题意得ξ的分布列如表3所示。 表3 ξ 50% 70% 90% P 316 3 8 7 16 52 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 则E(ξ)= 3 16×50%+ 3 8×70%+ 7 16× 90%= 3 4 。 (2)由(1)可知,获得一等奖或二等奖的 概率为 3 16+ 3 8= 9 16 。 由题意得η~B 3, 9 16 则 P(η=2)= C23 9 16 2 1- 9 16 =1 701 4 096 。 点评:本题的出题背景为高尔顿钉板。 例 10 甲、乙两人进行投篮比赛,两 人各投一次为一轮比赛,约定如下规则:如果 在一轮比赛中一人投进,另一人没投进,那么 投进者得1分,没进者得-1分;如果在一轮 比赛中两人都投进或都没投进,那么都得0 分;当两人各自累计总分相差4分时比赛结 束,得分高者获胜。在每次投球中甲投进的 概率为0.5,乙投进的概率为0.6,每次投球 都是相互独立的。 (1)若两人起始分都为0分,求恰好经过 4轮比赛,甲获胜的概率。 (2)若 规 定 两 人 起 始 分 都 为2分,记 P(i)(i=0,1,2,3,4)为甲累计总分为i时, 甲最终获胜的概率,则P(0)=0,P(4)=1。 ①求证{P(i+1)-P(i)}(i=0,1,2,3) 为等比数列; ②求P(2)的值。 解析:本题与2019年高考全国Ⅰ卷第21 题极其类似,不同点在于本题需要同学们自 己找到递推关系,这无疑加大了难度。解本 题的关键是准确理解P(i)的实际意义,从而 正确运用全概率公式。 (1)记在每一轮比赛中甲得1分为事件 A,P(A)=0.5×(1-0.6)=0.2;乙得1分 为事件B,P(B)=(1-0.5)×0.6=0.3;两 人均得0分为事件C,P(C)=1-P(A)- P(B)=0.5。记“恰好经过4轮比赛,甲获 胜”为事件 D,则 P(D)=C130.2·0.52· 0.2+C120.2·0.3·0.22=0.034 8。故恰好 经过4轮,甲赢得比赛的概率为0.034 8。 (2)①记甲累计总分为i时,甲最终获胜 为事件 M,则P(M)=P(A)·P(M|A)+ P(B)·P(M|B)+P(C)·P(M|C),即 P(i)=0.2·P(i+1)+0.3P(i-1)+ 0.5P(i)。 整理可得P(i+1)-P(i)= 3 2 (P(i)- P(i-1)),显然P(1)-P(0)=P(1)≠0,故 {P(i+1)-P(i)}(i=0,1,2,3)为等比数 列,且首项为P(1),公比为 3 2 。 ②P(1)-P(0)=P(1),P(2)-P(1)= 3 2P (1),P(3)-P(2)= 9 4P (1),P(4)- P(3)= 27 8P (1)。以上几项叠加可得P(4)- P(0)= 65 8P (1)。 而P(1)= 8 65 ,故P(2)= 5 2P (1)= 4 13 。 点评:高考聚焦热点,关注前沿。从2019 年全国Ⅰ卷第21题到2023年新高考Ⅰ卷第21题 都考了马尔科夫链模型,因此对此模型必须给 予足够重视。新教材全概率公式内容的增加, 马尔科夫链模型成为考查热点是一种必然。 例 11 已知5只动物中有1只患有某 种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动 物。血液化验结果呈阳性的即为患病动物, 呈阴性的即没患病。 下面是两种化验方法。 方案甲:逐个化验,直到能确定出患病动 物。 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在 一起化验。若结果呈阳性,则表明患病动物 为这3只中的1只,然后再逐个化验,到能确 定患病动物为止;若结果呈阴性,则在另外2 只中任取1只化验。 (1)求依方案甲所需化验次数不少于依 方案乙所需化验次数的概率; (2)ξ表示依方案乙所需化验次数,求ξ 的期望。 解析:构建答题模板如下: 第一步,用数学符号表达题中事件; 第二步,将所求事件分解为若干个互斥 62 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月 的事件或转化为对立事件; 第三步,分别计算每个互斥事件的概率; 第四步,利用概率的加法公式求出题中 事件的概率; 第五步,反复回顾,查看是否有重复或遗 漏情况,规范书写过程。 记A1、A2 分别表示依方案甲需化验1 次、2次。 B1、B2 分别表示依方案乙需化验2次、3 次。 A 表示依方案甲所需化验次数不少于依 方案乙所需化验次数。 依题意知A2 与B2 相互独立。 (1)A=A1+A2B2。 P(A1)= 1 C15 = 1 5 ,P(A2)= A14 A25 = 1 5 , P(B2)= C24·C12 C35·C13 = 2 5 。 P(A)=P(A1+A2·B2) =P(A1)+ P(A2·B2) =P(A1)+P(A2)·P(B2) = 1 5+ 1 5× 2 5= 7 25 。 所以 P(A)=1-P(A)= 18 25=0.72 。 (2)ξ的可能取值为2,3。 P(B1)= C34 C35 + C24 C35·C13 = 3 5 ,P(B2)= 2 5 , P(ξ=2)=P(B1)= 3 5 ,P(ξ=3)=P(B2)= 2 5 。 E(ξ)=2× 3 5+3× 2 5= 12 5=2.4 (次)。 点评:会用数学语言规范表达数学问题 是同学们的必备技能,这需要在平时的训练 中逐步培养。 四、统计 统计题注重知识的综合应用与实际应 用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要 求同学们会收集、整理、分析数据,能从大量 数据中抽取对研究问题有用的信息,并作出 判断,进而由样本数据估计总体特征。该类 问题阅读量一般比较大,但难度多为中等,其 知识点比较多,频率分布直方图、折线图、分 布列、期望与方差的应用、正态分布、回归分 析、独立性检验都必须掌握。 解题技巧:从图表提取数据,选择合适的 公式进行数据计算 例 12 某数学老师身高176 cm,他爷 爷、父 亲 和 儿 子 的 身 高 分 别 是 173 cm, 170 cm和182 cm。因儿子的身高与父亲的 身高有关,该老师用线性回归方程预测他孙 子的身高为 cm。 解析:因为儿子的身高与父亲的身高有 关,所以设儿子的身高为Y(单位:cm),父亲 身高为X(单位:cm),数据如表4所示。 表4 X 173 170 176 Y 170 176 182 由表中数据,得x= 173+170+176 3 = 173,y= 170+176+182 3 =176 。 所 以 b̂ = ∑ 3 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 3 i=1 (xi-x)2 = 0×(-6)+(-3)×0+3×6 02+(-3)2+32 =1,̂a=y-̂bx =3。 于是儿子身高与父亲身高的线性回归方 程为Y=X+3。 当X=182时,Y=185。 故预测该老师孙子的身高为185 cm。 点评:①从遗传学的角度来看,每个观察 值只能是父亲身高为自变量x,儿子身高为 因变量y。②本题既考查同学们的数学建模 能力———对数据的处理,也考查数学运算能 力。本题中由于各观测值数据较大且数值比较 接近,在求̂b时,选择̂b= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 显然 比选择̂b= ∑ n i=1 xi·yi-n·x·y ∑ n i=1 x2i-n·(x)2 计算量小很多。 (责任编辑 徐利杰) 72 解题篇 经典题突破方法 高二数学 2024年7—8月