05高二期末创新模拟卷(3)-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■河南省濮阳市第一高级中学 梁文强 郭雅影 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求。) 1.曲线y= 1 2x 2-2在点 1,- 3 2 处切 线的倾斜角为( )。 A. π 3 B. π 4 C. 3π 4 D.- π 4 2.某市2019年至2022年新能源汽车年 销售量y(单位:千台)与年份代号x 的数据 如表1所示。 表1 年份 2019 2020 2021 2022 年份代号x 1 2 3 4 年销量y 15 20 m 35 若根据表中的数据用最小二乘法求得y 关于x 的经验回归直线方程为ŷ=7x+7.5, 则表中m 的值为( )。 A.25 B.28 C.30 D.32 3.已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤ 0)=P(ξ≥a),则 1 x+ 9 a-x (0<x<a)的最 小值为( )。 A.9 B.8 C. 9 2 D.6 图1 4.某兴趣小 组研究光照时长 x(h)和向日葵种 子 发 芽 数 量 y (颗)之间的关系, 采集5组数据,作 的散 点 图 如 图1 所示。若去掉D(10,2),则下列说法正确的 是( )。 A.相关系数r变小 B.决定系数R2 变小 C.残差平方和变大 D.解释变量x 与响应变量y 的相关性 变强 5.某工厂安排5名工人到三个岗位值 班,每名工人只去一个岗位,每个岗位至少安 排1名工人,则安排工人甲、乙到同一个岗位 值班的方法数为( )。 A.24 B.36 C.60 D.90 6.已知函数g(x)= 1 2x 2-2aln x-2x 在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范 围为( )。 A.(-∞,0) B.[0,+∞) C.- 1 2 ,+∞ D.-∞,-12 7.某班一天上午有语文、数学、政治、英 语、体育5节课,现要安排该班上午的课程 表,要求体育课不安排在第一节,语文课和数 学课相邻,不同的排法总数是( )。 A.36 B.32 C.24 D.18 8.已 知 实 数 a、b、c、d 满 足 a-2ea b = 1-c d-1=1 ,其中e是自然对数的底数,则(a- c)2+(b-d)2 的最小值是( )。 A.7 B.8 C.9 D.10 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求。全部选对的得6分,有选错的 得0分,部分选对的得部分分。) 9.已知 2x- x 6 ,则( )。 A.展开式中的第4项为160x -32 B.展开式中常数项为80 C.展开式中各项系数和为1 81 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 D.展开式中第4项的二项式系数最大 10.已知偶函数y=f(x)对于任意的 x∈ 0, π 2 满足f'(x)·cos x+f(x)· sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函 数),则下列不等式中成立的是( )。 A.2f - π 3 <f π4 B.2f - π 3 >f π4 C.f(0)< 2f - π 4 D.f π 6 < 3f π3 11.设随机变量X 表示从1到n 这n 个 整数中随机抽取的一个整数,Y 表示从1到 X 这X 个整数中随机抽取的一个整数,记 P(X=a,Y=b)表示 X=a,Y=b同时发生 的概率,则( )。 A.当n=3时,P(X=2,Y=1)= 1 3 B.当n=4时,P(X+Y=4)= 5 24 C.当n=k(k≥2且k∈N*)时,P(X= k,Y=1)= 1 k2 D.当n=2时,P(Y=1)=3P(Y=2) 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.设离散型随机变量X 的可能取值为 1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若 X 的均值为 E(X)=3,则a-b= 。 13.计算C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn,可以 采用以下方法: 构造等式C0n+C1nx+C2nx2+…+Cnnxn= (1+x)n,两边对 x 求导,得 C1n+2C2nx+ 3C3nx2+…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1,在上式 中令x=1,得C1n+2C2n+3C3n+…+nCnn= n·2n-1。 类比上述计算方法,计算 C1n+22C2n+ 32C3n+…+n2Cnn= 。 14.已知k>0,b>0,且kx+b≥ln(x+2)对 任意的x>-2恒成立,则 b k 的最小值为 。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 过程) 15.(本小题13分)“微信运动”是手机 APP推出的多款健康运动软件中的一款,某 学校140名老师均在微信好友群中参与了 “微信运动”,对运动10 000步或以上的老师 授予“运动达人”称号,低于10 000步称为 “参与者”。为了解老师们的运动情况,选取 了老师们在某天的运动数据进行分析,统计 结果如表2所示。 表2 运动达人 参与者 合计 男教师 60 20 80 女教师 40 20 60 合计 100 40 140 (1)根据统计数据,依据小概率值的独立 性检验,分析获得“运动达人”称号与性别是 否有关; (2)从具有“运动达人”称号的老师中采 用按性别分层抽样的方法选取5人参加全国 第四届“万步有约”健步走激励大赛某赛区的 活动,若从选取的5人中随机抽取2人作为 代表参加开幕式,求抽取的2人都为女老师 的概率。 参 考 公 式: χ2 = n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+ b+c+d。 表3 α 0.1 0.05 0.01 0.05 0.001 xα 2.7063.8416.6357.87910.828 91 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 16.(本小题15分)某中学一研究性学习 小组为了解本市市民每年旅游消费支出费用 (单位:千元),寒假期间对游览某签约景区的 100名本市游客进行随机问卷调查,并把数 据整理成如表4所示的频数分布表。 表4 组别 [0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)[14,16) 频数 3 4 8 11 41 20 8 5 (1)从样本中随机抽取2位市民的每年 旅游消费支出数据,求2人每年旅游消费支 出均低于6 000元的概率。 (2)若本市市民的每年旅游消费支出费 用X 近似服从正态分布N(μ,σ2),近似为样 本平均数(同一组中的数据用该组区间的中 间值代表),σ近似为样本标准差s,并已求得 s≈2,利用所得正态分布模型解决以下问题: ①假定该市常住人口为300万人,试估 计该市有多少市民每年旅游消费支出费用在 15 000元以上; ②若在该市随机抽取3位市民,设其中 每年旅游消费支出费用在9 000元以上的人 数为ξ,求随机变量ξ的分布列和均值。 附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤ μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ-2σ)≈ 0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 17.(本小题15分)甲、乙、丙三位同学进 行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定 首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜 者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮 空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩 余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另 一人最终获胜,比赛结束。 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空,设每场 比赛双方获胜的概率都为 1 2 。 (1)求甲连胜四场的概率; (2)求需要进行第五场比赛的概率; (3)求丙最终获胜的概率。 18.(本 小 题 17 分)设 函 数 f(x)= 1 2x 2+ax (ln x-ln a)-14x2-ax。 (1)当a=1时,求曲线f(x)在点(e, f(e))处的切线方程; (2)证明:存在x0∈(0,8),使得当1< a<2时,f(x0)<- 5 8 (2+ln a)ea-1。 19.(本小题17分)马尔科夫链的过程具 备“无记忆”的性质,即第n+1次状态的概率 只跟第n次的状态有关,与第n-1次,n-2 次,n-3次,…的状态是“没有任何关系的”。 现有甲、乙两个箱子,箱子中都有仅颜色不同 的三个球(两红一黑)。记从两个箱子中各任 意取出一个球互换为一次操作,重复进行 n(n∈N*)次操作后,记甲箱子中黑球的个数 为Xn,甲箱子中恰有一个黑球的概率为an, 恰有两个黑球的概率为bn。 (1)求X1 的分布列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求Xn 的数学期望。 (责任编辑 徐利杰) 02 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 一、单选题 1.B 提 示:设 f(x)= 1 2x 2-2,则 f'(x)=x,f'(1)=1,故切线的斜率k= f'(1)=1,倾斜角为 π 4 。 2.C 提示:由已知得x= 5 2 ,回归直线 方程为ŷ=7x+7.5,过样本中心(x,y),故y =7× 5 2+7.5=25 ,即15+20+m+35 4 =25 , 解得m=30。 3.B 提示:由随机变量ξ~N(1,σ2),得 到正态分布曲线的对称轴为ξ=1。又因为 P(ξ≤0)=P(ξ≥a),所以0+a=2,解得a =2。当 0<x <2 时, 1 x + 9 2-x = 1 x+ 9 2-x × x+2-x2 = 12 + 2-x2x + 9x 2(2-x)+ 9 2≥5+2 2-x 2x × 9x 2(2-x)=8 , 当且仅当 2-x 2x = 9x 2(2-x) ,即x= 1 2 时取等 号,故最小值为8。 4.D 提示:分析散点图,从图中可以看 出点D(10,2)相比其他点较远,故去掉点 D(10,2)后,拟合效果更好。对于选项A,模 型的拟合效果越好,相关系数|r|越接近1, 并且由散点图可得x 与y 正相关,故r>0, 相关系数r变大,选项A错误。对于选项B, 模型的拟合效果越好,决定系数 R2 越接近 1,决定系数变大,故选项B错误。对于选项 C,残差平方和越小,模型的拟合效果越好,残 差平方和变小,故选项C错误。对于选项D, 解释变量x 与响应变量y 的相关性变强,且 是正相关,故选项D正确。 5.B 提示:依题意知,可分两步完成任务。 第一步,将5人分成3个小组,按小组人数可分 为2人,2人,1人和3人,1人,1人两类。 ①按2人,2人,1人分组,甲、乙同组,另 外3人中选出2人同组,有C23 种方法。 ②按3人,1人,1人分组,除甲、乙的另 外3人,选出1人与甲、乙同组,剩余2人各 自一组,有C13 种方法。 所以第一步共有C23+C13 种方法。 第二步,将3组分别安排到3个岗位,有 A33 种方法。 所以满足题意的安排方法数为(C23+C13) A33=36。 6.D 提示:由题意可得g'(x)=x- 2a x -2≥0在(0,+浣)上恒成立,即2a≤x2- 2x。f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1 时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(1)=-1。 所以2a≤-1,解得a≤- 1 2 。 7.A 提示:①体育课安排在第二节时, 语文课、数学课可以安排在第三四节或第四 五节,余下2门课没有限制,这样的排法有 A22A22+A22A22=8(种); ②体育课安排在第四节课时,语文课、数 学课可以安排在第一二节或第二三节,余下 2门课没有限制,这样的排法有A22A22+A22A22 =8(种); ③体育课安排在第三节时,语文课、数学 课可以安排在第一二节或第四五节,余下2 门课没有限制,这样的排法有 A22A22+A22A22 =8(种); ④体育课安排在第五节时,语文课、数学 课可以安排在第一二节或第二三节或三四 节,余 下2门 课 没 有 限 制,这 样 的 排 法 有 A22A22+A22A22+A22A22=12(种); 所以一共有8+8+8+12=36(种)方法。 98 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 8.B 提 示:a、b、c、d 满 足 a-2ea b = 1-c d-1=1 ,所以b=a-2ea,d=2-c。设点 (a,b)在曲线y=x-2ex 上,点(c,d)在曲线 y=2-x 上,(a-c)2+(b-d)2 最小值的几 何意义就是曲线y=x-2ex 上的点到曲线 y=2-x 上的点距离最小值的平方。易知 y'=1-2ex,由1-2ex=-1,得到x=0,y=-2。 与曲线y=x-2ex 相切且与y=2-x平行的直 线为y=-x-2。故曲线y=x-2ex 上的点到 直线y=2-x上点的距离最小值d= 4 2 =22, 即(a-c)2+(b-d)2 的最小值为d2=8。 二、多选题 9.CD 提示:2x- x 6 展开式的通项 为 Tk+1=Ck6 2 x 6-k (- x)k=(-1)k· 26-k·Ck6x 3k 2-6(k=0,1,2,…,6)。对于选项 A,展开式中第4项为 T4=(-1)3·23· C36x -32=-160x -32,所以A不正确。对于选 项B,令 3k 2-6=0 ,解得k=4,所以展开式中 常数项为(-1)4×22×C46=60,B不正确。对 于选项C,令x=1,得展开式中各项系数之 和为(2-1)6=1,所以C正确。对于选项D, 由n=6可知展开式共有7项,所以第4项的 二项式系数最大,D正确。 10.BCD 提示:因为偶函数y=f(x)对 于任意的x∈ 0, π 2 满足f'(x)·cos x+ f(x)·sin x=f'(x)·cos x-f(x)· (cos x)',所以可构造函数 g(x)= f(x) cos x 。 g'(x)= f'(x)·cos x+f(x)·sin x cos2x >0, 故g(x)为偶函数且在 0, π 2 上单调递增, g - π 3 = g π3 = f π 3 cos π 3 = 2f π 3 , g - π 4 =g π4 = f π 4 cos π 4 = 2f π 4 , g π 6 = f π 6 cos π 6 = 23 3f π 6 。由单调性可知 g π 6 <g π4 <g π3 ,即233 f π6 < 2f π 4 <2f π3 ,所以B,D正确,A错误。 对 于 选 项 C,g - π 4 = g π4 = 2f - π 4 >g(0)=f(0),所以C正确。 11.BCD 提示:对于选项 A,当n=3 时,P(X=2)= 1 3 ,P(Y=1|X=2)= 1 2 , P(X=2,Y=1)=P(X=2)·P(Y=1|X= 2)= 1 3× 1 2= 1 6 ,故选项A错误。对于选项 B,当n=4时,由X+Y=4,X≥Y,可得X= 3,Y=1或 X=2,Y=2,所以P(X+Y=4) =P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=2)= 1 4× 1 3+ 1 4× 1 2= 5 24 ,故B正确。对于选项C,当 n=k(k≥2且k∈N*)时,P(x=k)= 1 k , P(Y=1|X=k)= 1 k ,则P(X=k,Y=1)= 1 k2 ,选项C正确。对于选项D,当n=2时,Y 的可能取值为1,2,则P(Y=1)=P(X=1, Y=1)+P(X=2,Y=1)= 1 2×1+ 1 2× 1 2= 3 4 ,P(Y=2)=P(X=2,Y=2)= 1 2× 1 2= 1 4 ,故P(Y=1)=3P(Y=2),选项D正确。 三、填空题 12. 1 10 提示:由题意知(a+b)+(2a+ b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1。 又X 的均值E(X)=3,故(a+b)+2(2a+ b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+ 09 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 10b=3,故a= 1 10 ,b=0,a-b= 1 10 。 13.n(n+1)·2n-2 提示:构造等式 C0n+C1nx +C2nx2 +C3nx3 + … +Cnnxn = (1+x)n。两边求导,得 C1n+2C2nx+3C3nx2 +…+nCnnxn-1=n(1+x)n-1。两边同乘以 x,得xC1n+2C2nx2+3C3nx3+…+nCnnxn= nx(1+x)n-1。 再两 边 求 导,得 C1n +22C2nx+32C3nx2 +…+n2Cnnxn-1=n[(1+x)n-1+(n-1)x· (1+x)n-2]。 令x=1,得C1n+22C2n+32C3n+…+n2Cnn =n(n+1)·2n-2。 14.1 提示:令f(x)=kx+b-ln(x+ 2),则f'(x)=k- 1 x+2 。令f'(x)=0,得 x0= 1 k-2 。当x∈(-2,x0)时,f'(x)<0; 当x∈(x0,+浣)时,f'(x)>0。故f(x)在 x0= 1 k-2 处取得最小值,从而f(x0)≥0, 即k 1k-2 +b-ln 1k-2+2 ≥0,也 即 b≥2k-ln k-1,从而 b k≥2- ln k+1 k 。 令h(k)=2- ln k+1 k ,则 h'(k)= - 1 k ·k-(ln k+1) k2 = ln k k2 。当 0<k<1 时,h'(k)<0;当k>1时,h'(k)>0。故 h(k)当k=1时取得最小值h(1)=1,从而 b k≥1 ,当且仅当k=1,b=1时取等号。 四、解答题 15.(1)零假设 H0:获得“运动达人”称号 与性别无关。 根 据 列 联 表 中 的 数 据,得 χ2 = 140×(60×20-40×20)2 80×60×100×40 ≈1.167<3.841= x0.05。 根据小概率值α=0.05的独立性检验, 没有充分证据推断 H0 不成立,因此可以认 为 H0 成立,即认为获得“运动达人”称号与 性别无关。 (2)根 据 分 层 抽 样 方 法 得,男 老 师 有 60 100×5=3 (人),女老师有40 100×5=2 (人)。 抽取的男老师记为A,B,C;女老师记为 a,b。 从抽取的这5名老师中选取2名,有 AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab 共 10种选法。 其中2人都是女老师的选法有ab 一种 选法,记事件 A 为“抽取的2人都为女老 师”,则抽取的2人都为女老师的概率P(A) = 1 10 。 16.(1)样本中旅游支出低于6 000元的 市民有15人,记 A 为“从样本中任选2人, 2人旅游支出均低于6 000元”,则P(A)= C215 C2100 = 7 330 。 (2)x= 1×3+3×4+…+15×5 100 =9 ,故 X~N(9,9)。 ①因为P(X>15)=P(X>μ+2σ)= 1-0.954 5 2 =0.022 75,所以该市市民每年 旅游费用支出在15 000元以上的人数为 300×104×0.022 75=68 250。 ②因为P(X>9)=P(X>μ)= 1 2 ,所以 ξ~B 3, 1 2 。 P(ξ=0)=C03 1 2 3 = 1 8 ; P(ξ=1)=C13 1 2 3 = 3 8 ; P(ξ=2)=C23 1 2 3 = 3 8 ; P(ξ=3)=C33 1 2 3 = 1 8 。 所以ξ的分布列如表1所示。 表1 ξ 0 1 2 3 P 18 3 8 3 8 1 8 19 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 所以E(ξ)=np=3× 1 2= 3 2 。 17.(1)甲连胜四场的概率为 1 16 。 (2)根据赛制,至少需要进行四场比赛, 至多需要进行五场比赛。 比赛四场结束,共有三种情况: 甲连胜四场的概率为 1 16 ; 乙连胜四场的概率为 1 16 ; 丙上场后连胜三场的概率为 1 8 。 所以需要进行第五场比赛的概率为1- 1 16- 1 16- 1 8= 3 4 。 (3)丙最终获胜,有两种情况。 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为 1 8 。 比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二 场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果 有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜, 概率分别为 1 16 ,1 8 ,1 8 。 因此,丙最终获胜的概率为1 8+ 1 16+ 1 8+ 1 8= 7 16 。 18.(1)当 a = 1 时,f (x)= 1 2x 2+x ln x-14x2-x。 故f'(x)=(x+1)ln x,则切线斜率k= e+1。 所以曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线 方程为y- 1 4e 2=(e+1)(x-e),即(e+ 1)x-y- 3 4e 2-e=0。 (2)易得f'(x)=(x+a)(ln x-ln a)。 由f'(x)>0,得x>a;由f'(x)<0,得 0<x<a。 故f(x)在(0,a)上单调递减,在(a, +浣)上单调递增。 f(x)min=f(a)=- 5 4a 2。 要证f(x0)<- 5 8 (2+ln a)ea-1,即证 - 5 4a 2<- 5 8 (2+ln a)ea-1,只需证 2a2 ea-1 - ln a-2>0(1<a<2)。(*) 设g(x)= 2x2 ex-1 -ln x-2(1<x<2)。 则g'(x)= 4x-2x2 ex-1 - 1 x= 4x2-2x3-ex-1 xex-1 。 设h(x)= 4x2-2x3 ex-1 -1(1<x<2),则 h'(x)= 2x3-10x2+8x ex-1 = 2x(x-1)(x-4) ex-1 。 易知h(x)在(1,2)上单调递减。 而h(1)=1>0,h(2)=-1<0,故必存 在唯一x0∈(1,2),使得h(x0)=0。 当x∈(1,x0)时,h(x)>0,即g'(x)> 0;当x∈(x0,2)时,h(x)<0,即g'(x)<0。 故g(x)在(1,x0)上单调递增,在(x0,2) 上单调递减。 而g(1)=0,g(2)= 8 e-ln 2-2>0,故 g(x)>0在(1,2)上恒成立,即(*)式成立, 原命题得证。 19.(1)由题意可知X1 的可能取值为0, 1,2。由相互独立事件的概率乘法公式可知: P(X1=0)= 1 3× 2 3= 2 9 ,P(X1=1)= 1 3× 1 3+ 2 3× 2 3= 5 9 ,P(X1=2)= 2 3× 1 3= 2 9 。 故X1 的分布列如表2所示。 表2 X1 0 1 2 P 29 5 9 2 9 (2)由全概率公式可知: P(Xn+1=1)=P(Xn=1)·P(Xn+1= 1|Xn=1)+P(Xn=2)·P(Xn+1=1|Xn= 2)+P(Xn=0)·P(Xn+1=1|Xn=0)= 1 3× 1 3+ 2 3× 2 3 ·P(Xn=1)+ 23×1 · (下转第96页) 29 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月