04高二期末创新模拟卷(2)-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■河南省漯河高中 秦晓燕 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.2024年贺岁片《第二十条》《热辣滚 烫》《飞驰人生2》引爆了电影市场,小明和他 的同学一行四人决定去看这三部电影,每人 独立决定看其中的哪一部,则恰有两人看同 一部影片的选择共有( )。 A.9种 B.36种 C.38种 D.45种 图1 2.函 数 y = f(x)的导函数y= f'(x)的图像如图1 所示,则下列说法 中 正 确 的 是 ( )。 A.x=a 是函 数y=f(x)的极小值点 B.当x=-a或x=b时,函数y=f(x) 的值为0 C.函数y=f(x)在(a,+∞)上是增函数 D.函数y=f(x)在(b,+∞)上是增函数 3.用模型y=aekx 拟合一组数据组(xi, yi)(i=1,2,3,…,7),其中x1+x2+…+x7 =14,设z=ln y,得到变换后的线性回归方 程为ẑ=x+1,则y1y2…y7=( )。 A.e35 B.e21 C.35 D.21 4.已知ξ服从正态分布N(2,σ2),a∈R,当 P(ξ>a)=0.5时,关于x 的二项式 ax+ 1 x2 3 的展开式的常数项为( )。 A.1 B.4 C.6 D.12 5.用2个0,2个1和1个2组成一个五 位数,则这样的五位数有( )。 A.8个 B.12个 C.18个 D.24个 6.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中, 对同余除法有较深的研究。设a,b,m(m>0) 为整数,若a和b被m 除得的余数相同,则称 a和b对模m 同余,记为a≡b(mod m)。若 a=C020+C120×3+C220×32+…+C2020×320,a≡ b(mod 5),则b的值可以是( )。 A.2 004 B.2 005 C.2 025 D.2 026 7.函数的凹凸性是函数的重要性质之 一。函数凹凸性的定义:函数y=f(x)在区 间(a,b)内可导,x0 是(a,b)内任一点,若曲 线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线 弧的下方,则称曲线弧在(a,b)内是凹的;若 曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲 线弧的上方,则称曲线弧在(a,b)内是凸的。 函数f(x)在区间上为凹(凸)函数等价于 f(x)的导函数在区间上单调递增(递减)。 若f(x)=mex-x3+1在定义域内是凹函 数,则m 的最小值是( )。 A.-6e B. 6 e C. 12 e2 D. 12 e3 8.设a=ln(1+0.1),b=sin 0.1,c= 2 21 ,则下列大小关系正确的是( )。 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的四个选项中,有多 项符合题目要求。全部选对得6分,部分选 对的得部分分,有选错的得0分。) 9.下列说法正确的是( )。 A.若数据1,3,4,4,m 的极差和平均数 51 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 相等,则m= 17 4 B.数据1,3,7,7,9,12,16的第80百分 位数为10.5 C.已知y 关于x 的回归直线方程为ŷ= 0.3-0.7x,则样本点(2,-3)的残差为-1.9 D.若X~B 4, 2 3 ,随机变量Y=3X- 1,则E(Y)=7 图2 10. 某 校为了解高 一新生对数 学是否感兴 趣,从 400 名 女 生 和 600名 男 生 中通过分层 抽样的方式 随机抽取100名学生进行问卷调查。由调查 的结果得到如图2所示的等高堆积条形图和 如表1所示的列联表,则( )。 表1 性别 数学兴趣 感兴趣 不感兴趣 合计 女生 a b a+b 男生 c d c+d 合计 a+c b+d 100 参 考 数 据: 本 题 中 χ2 = n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)≈3.936 。 表2 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.7063.8416.6357.879 10.828 A.表中a=12,c=30 B.可以估计该校高一新生中对数学不感 兴趣的女生人数比男生多 C.根据小概率值α=0.05的χ2 独立性 检验,可以认为性别与对数学的兴趣有差异 D.根据小概率值α=0.01的χ2 独立性检 验,可以认为性别与对数学的兴趣没有差异 11.若 关 于 x 的 不 等 式 ex-2 +x≥ 2ax2-xln x 在(0,+∞)上恒成立,则实数a 的值可以是( )。 A. 1 e B. 1 2 C. e 3 D.2 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.已 知(x+2)4(2x2+3x)=a0+ a1x+a2x2+…+a6x6,则a4= 。 13.在数学中,有一个被称为自然常数 (又叫欧拉数)的常数e≈2.718 28。小明在 设置银行卡的数字密码时,打算将自然常数 的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得 到密码。如果排列时要求两个2相邻,两个8 不相邻,那么小明可以设置的不同密码共有 个。 14.甲、乙两同学玩掷骰子游戏,规则如 下: (1)甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次, 甲得到的点数为n1,乙得到的点数为n2; (2)若 n1 +n2 的 值 能 使 二 项 式 2x+ 1 x n1+n2 的展开式中第5项的二项式 系数最大,则甲胜,否则乙胜。 那么甲胜的概率为 。 四、解答题(本题共5小题,共77分,解答 时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)已知函数 f(x)= ax2-(a+2)x+ln x。 (1)若x=1是函数f(x)的极值点,求 f(x)在区间 1 2 ,2 上的最值; (2)若g(x)=ax2-2x+ex,f(x)≤ g(x)恒成立,求实数a的取值范围。 61 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 16.(本小题15分)如图3,一个质点在随 机外力的作用下,从数轴点1的位置出发,每 隔1 s向左或向右移动一个单位,设每次向右 移动的概率为p(0<p<1)。 图3 (1)当p= 1 2 时,求5 s后质点移动到点 0的位置的概率; (2)记3 s后质点的位置对应的数为 X, 若随机变量X 的期望E(X)>0,求p 的取 值范围。 17.(本小题15分)直播带货是一种直播 和电商相结合的销售手段,目前已被广大消 费者所接受。针对这种现状,某公司决定逐 月加大直播带货的投入,希望直播带货金额 稳步提升。该公司2024年前5个月带货金 额的统计表如表3所示(金额y(万元))。 表3 月份 1月 2月 3月 4月 5月 月份编号x 1 2 3 4 5 金额y(万元) 7 12 13 19 24 (1)根据统计表: ①求该公司带货金额的平均值y; ②求该公司带货金额y 与月份编号x 的 样本相关系数(精确到0.01),并判断它们是 否具有线性相关关系。(当0.75≤|r|≤1 时,认为y 与x 的线性相关性较强;当|r|< 0.75时,认为y 与x 的线性相关性较弱。) (2)该公司现有一个直播间销售甲、乙两 种产品。为对产品质量进行监控,质检人员 先用简单随机抽样的方法从甲、乙两种产品 中分别抽取了5件、3件产品进行初检,再从 中随机选取3件进一步检验,记抽到甲产品 的件数为X,试求X 的分布列与期望。 附: 相 关 系 数 公 式 r = ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ,参 考 数 据: 1 740≈41.7,∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y)=41, ∑ 5 i=1 (xi-x)2= 10, ∑ 5 i=1 (yi-y)2= 174。 18.(本小题17分)寒假期间小明每天坚 持在“跑步3 000米”和“跳绳2 000个”中选 择一项进行锻炼,在不下雪的时候,他跑步的 概率为0.6,跳绳的概率为0.4;在下雪天,他 跑步的概率为0.2,跳绳的概率为0.8。若前 一天不下雪,则第二天下雪的概率为0.5;若 前一天下雪,则第二天仍下雪的概率为0.4。 已知寒假第一天不下雪,跑步3 000米大约 消耗能量330卡路里,跳绳2 000个大约消 耗能量220卡路里。记寒假第n天不下雪的 概率为pn(n∈N*)。 (1)求 p1,p2,p3 的 值,并 证 明 pn- 6 11 是等比数列; (2)求小明寒假第n 天通过运动锻炼消 耗能量的期望。 19.(本小题17分)已知函数 f(x)= ex+msin x。 (1)当 m=1时,求曲线y=f(x)在点 (0,f(0))处的切线方程; (2)若函数f(x)在(0,π)上单调递增,求 正实数m 的取值范围; (3)求证:当 m=1时,f(x)在(-π, +∞)上 存 在 唯 一 极 小 值 点 x0,且-1< f(x0)<0。 (责任编辑 徐利杰) 71 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 高二期末创新模拟卷(2)答案与提示 一、单选题 1.B 提示:从4人中选择2人看同一部 影片,先从3部影片中选择一部安排给这2人 看,剩余的2人,2部影片再进行全排列,共有 C24C13A22=6×3×2=36(种)情况。 2.D 提示:由函数f(x)的导函数图像 可知,当x∈(-∞,-a)∪(-a,b)时,f'(x)< 0,原函 数 为 减 函 数;当 x∈(b,+∞)时, f'(x)>0,原函数为增函数,故D正确,C错 误。x=a不是函数f(x)的极值点,故A错 误。当x=-a 或x=b时,导函数f'(x)的 值为0,函数f(x)的值未知,故B错误。 3.B 提 示: 由 题 意 得 x = x1+x2+…+x7 7 =2 ,故 z=x+1=3,即 ln y1+ln y2+…+ln y7=3×7=21,也即 ln(y1y2…y7)=21,解得y1y2…y7=e21。 4.D 提示:因为ξ服从正态分布N(2, σ2),P(ξ>a)=0.5,所以a=2。 二项式 2x+ 1 x2 3 的展开式的第k+1 项Tk+1=Ck3(2x)3-k 1 x2 k =Ck323-kx3-3k。令 3-3k=0,可得k=1。 所以二项式 ax+ 1 x2 3 的展开式的常数 项为T2=C13×22=12。 5.C 提示:当首位为2时,这样的五位 数有 A44 A22A22 =6(个);当首位为1时,这样的五 位数有 A44 A22 =12(个)。 综上,这样的五位数共有6+12=18 (个)。故选C。 6.D 提示:若a=C020+C120×3+C220× 32+…+C2020×320,则由二项式定理得a= (1+3)20=420=(5-1)20,即a=C020·520- C120·519+…-C1920·5+C2020。 因为C020·520-C120·519+…-C1920·5能 被5整除,所以a 除以5余C2020=1。又因为 a≡b(mod 5),选项中2 026除以5余1,所以 选D。 7.B 提示:已知f(x)=mex-x3+1 在定义域内是凹函数,令h(x)=f'(x)= mex-3x2,则要求h'(x)=mex-6x≥0恒 成立,等价于m≥ 6x ex 恒成立。 令 g(x)= 6x ex ,x∈R,则 g'(x)= 6(1-x) ex 。当x∈(-∞,1)时,g'(x)>0,函 数g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,g'(x) <0,函数g(x)单调递减。 所以当x=1时,函数g(x)取得极大值 同时也是最大值,g(1)= 6 e 。故m≥ 6 e ,选B。 8.C 提示:令f(x)=ln(1+x)-sin x 0≤x≤ π 2 ,则f'(x)= 1x+1-cos x。 令 g (x)=f'(x),则 g'(x)= - 1 (x+1)2 +sin x。 当0≤x≤ π 2 时,g'(x)单 调 递 增, g' π 2 =- 1π 2+1 2+sin π 2>0 ,g'(0)= -1<0,所以存在t∈ 0, π 2 ,使得g'(t)= 0,且当 x∈[0,t)时,g'(x)<0,g(x)= f'(x)单调递减;当x∈ t, π 2 时,g'(x)> 0,g(x)=f'(x)单调递增。 又f'(0)=0,f' π 2 = 1π 2+1 >0,所以 存在m∈ 0, π 2 ,使得f'(m)=0,且当x∈ m, π 2 时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当 x∈[0,m)时,f'(x)<0,f(x)单调递减。 又f(0)=0,f π 2 =ln1+π2 -1<0。 所以当0<x< π 2 时,f(x)<0,即ln(1+ 58 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 x)<sin x。当x=0.1时,则ln(1+0.1)< sin 0.1,故a<b。 令h(x)=ln x- 2(x-1) x+1 (x>1),则 h'(x)= 1 x- 4 (x+1)2 = (x-1)2 x(x+1)2 >0,所以 h(x)>h(1)=0。当x=1.1时,则ln 1.1> 2 21 ,即a>c。故c<a<b。 二、多选题 9.CD 提示:对于选项A,当m≥4时, m-1= 12+m 5 ,解得 m= 17 4 ;当1≤m<4 时,4-1= 12+m 5 ,解得 m=3;当 m<1时, 4-m= 12+m 5 ,无解,故A不正确。 对于选项B,因为7×80%=5.6,所以数 据1,3,7,7,9,12,16的第80百分位数为12, 故B不正确。 对于选项C,由ŷ=0.3-0.7x,得样本 点(2,-3)的残差为-3-(0.3-0.7×2)= -1.9,故C正确。 对于选项D,若X~B 4, 2 3 ,则E(X) =4× 2 3 = 8 3 。所 以 随 机 变 量 Y 的 期 望 E(Y)=E(3X-1)=3E(X)-1=8-1=7, 故D正确。故选CD。 10.ACD 提示:由题意知,抽样比为 100 400+600= 1 10 ,所以a+b=400× 1 10=40 , c+d=600× 1 10=60 。由图可知b=40×0.7 =28,a=40-28=12,d=60×0.5=30,c= 60-30=30,故A正确。女生不感兴趣的人数 约为280,男生不感兴趣的人数约为300,故B错 误。因χ2= 100×(12×30-28×30)2 40×60×42×58 ≈3.941 , 且3.841<3.941<6.635,故C,D正确。 11.AB 提 示:依 题 意 知, ex-2 x +1- 2ax+ln x≥0在(0,+∞)上恒成立。 当a≤ 1 2 时,e x-2 x +1-2ax+ln x≥ ex-2 x +1-x+ln x=ex-2-ln x+1-x+ln x。 令h(t)=et-t-1,则h'(t)=et-1。 当t∈(-∞,0)时,h'(t)<0;当t∈(0,+∞) 时,h'(t)>0。故h(t)>h(0)=0,即ex-2-ln x +1-x+ln x≥0,不等式成立。 当a> 1 2 时,令u(x)=x-2-ln x,因 为u(1)=-1<0,u(4)=2-2ln 2>0,所以 u(x)在(1,4)内有零点。设为x0,则x0-2 =ln x0,即e x0-2=x0,故 e x0-2 x0 +1-2ax0+ ln x0=(1-2a)x0<0,不符合题意,舍去。 综上所述,a≤ 1 2 。故选AB。 三、填空题 12.72 提示:在(x+2)4(2x2+3x)= a0+a1x+a2x2+…+a6x6 中,(x+2)4(2x2 +3x)=2x2(x+2)4+3x(x+2)4,由二项式 定理知(x+2)4 展 开 式 的 通 项 为 Tr+1= Cr4x4-r2r。 令4-r=2,解得r=2;令4-r=3,r= 1。故a4=2×C24×22+3×C14×21=72。 13.36 提示:如果排列时要求两个2相 邻,两个8不相邻,那么把两个2捆绑看作一 个元素与7,1全排列,排好后有4个空隙,两 个8插入其中的2个空隙中。注意到两个2, 两个8均为相同元素,那么小明可以设置的 不同密码共有A33C24=36(个)。 14. 5 12 提示:甲、乙各抛掷质地均匀的 骰子一次,共有6×6=36(种)基本事件。 要使二项式 2x+ 1 x n1+n2 的展开式中 第5项的二项式系数最大,只需: ①n1+n2=7,共有(1,6),(2,5),(3,4), (4,3),(5,2),(6,1)6种情况; ②n1+n2=8,共有(2,6),(3,5),(4,4), (5,3),(6,2)5种情况; ③n1+n2=9,共有(3,6),(4,5),(5,4), (6,3)4种情况。 一共15种情况,所以甲胜的概率为 15 36= 68 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 5 12 。故答案为5 12 。 四、解答题 15.(1)由函数f(x)=ax2-(a+2)x+ ln x,可得f'(x)=2ax-(a+2)+ 1 x 。 因为x=1是函数f(x)的极值点,所以 1是方程f'(x)=2ax-(a+2)+ 1 x=0 的 根,即f'(1)=2a-(a+2)+1=0,解得a= 1,经检验符合题意。 故f(x)=x2-3x+ln x。 因为f'(x)= (2x-1)(x-1) x ,所以当 1 2≤x<1 时,f'(x)<0;当1<x≤2时, f'(x)>0。故函数f(x)在 1 2 ,1 上单调递 减,在(1,2]上单调递增。 又f 1 2 =-54-ln 2,f(1)=-2, f(2)=-2+ln 2,且f 1 2 -f(2)=34- 2ln 2<0,所以f(x)在区间 1 2 ,2 上的最小 值为f(1)=-2,最大值为f(2)=-2+ln 2。 (2)因 为 f(x)≤g(x)恒 成 立,即 f(x)-g(x)≤0恒成立,也即ln x-ax- ex≤0 恒 成 立。又 因 为 x>0,所 以 a≥ ln x-ex x = ln x x -e 恒成立。 记 F (x)= ln x x -e ,则 F'(x)= 1-ln x x2 。 令F'(x)= 1-ln x x2 =0,得 x=e;令 F'(x)>0,得0<x<e;令F'(x)<0,得x> e。当x 变化时,F'(x),F(x)的变化情况如 表1所示。 表1 x (0,e) e (e,+∞) F'(x) + 0 - F(x) ↗ 1e-e ↘ 所以函数F(x)= ln x x -e 的极大值也 是最大值,为F(e)= 1 e-e 。 由a≥ ln x x -e 恒成立,得a≥F(x)max, 所以a≥ 1 e-e 。 综上,a∈ 1e-e ,+∞ 。 16.(1)5 s后质点移动到点0的位置,则 质点向左移动了3次,向右移动了2次,所求 概率为C25×p2×(1-p)3=C25× 1 2 5 = 5 16 。 (2)X 所有可能的取值为-2,0,2,4。 P(X=-2)=C03(1-p)3=(1-p)3, P(X=0)=C13p(1-p)2=3p(1-p)2,P(X =2)=C23p2(1-p)=3p2(1-p),P(X=4) =C33p3=p3。 由E(X)=-2(1-p)3+2×3p2(1- p)+4p3>0,解得p> 1 3 。 又因为0<p<1,所以p 的取值范围为 1 3<p<1 。 17.(1)① 由 统 计 数 据 可 得,y = 7+12+13+19+24 5 =15 。 ②由题中所给公式以及数据可得相关系 数,r = ∑ 5 i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ 5 i=1 (xi-x)2 ∑ 5 i=1 (yi-y)2 = 41 10× 174 ≈ 41 41.7≈0.98>0.75 。因此,认 为y 与x 的线性相关性较强。 (2)由题意可得,X=0,1,2,3。 P(X=0)= C05C33 C38 = 1 56 ; P(X=1)= C15C23 C38 = 15 56 ; P(X=2)= C25C13 C38 = 15 28 ; P(X=3)= C35C03 C38 = 5 28 。 故随机变量X 的分布列如表2所示。 78 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 表2 X 0 1 2 3 P 156 15 56 15 28 5 28 数学期望E(X)=0× 1 56+1× 15 56+2× 15 28+3× 5 28= 15 8 。 18.(1)依题意知,p1=1,p2=0.5,p3= p2×0.5+(1-p2)×(1-0.4)=0.55,pn= pn-1×0.5+(1-pn-1)×(1-0.4)=0.6- 0.1pn-1。 整理得pn- 6 11=- 1 10pn-1- 6 11 。p1 - 6 11= 5 11≠0 ,所以 pn- 6 11 是首项为511,公 比为- 1 10 的等比数列。 (2)由(1)知,寒假第n 天不下雪的概率 pn= 5 11× - 1 10 n-1 + 6 11 。 从而小明寒假第n 天跑步的概率qn= pn×0.6+(1-pn)×0.2=0.2+0.4pn= 23 55+ 2 11× - 1 10 n-1 。 则他第n天通过运动锻炼消耗能量的期 望为330qn+220(1-qn)=220+110qn= 266+20× - 1 10 n-1 。 19.(1)当 m=1时,f(x)=ex+sin x, f(0)=1,故切点为(0,1)。设切线斜率为k, 由f'(x)=ex+cos x,得k=f'(0)=2,故切 线方程为y=2x+1。 (2)易知f'(x)=ex+mcos x,由函数 f(x)在(0,π)上单调递增,故f'(x)≥0在 (0,π)上恒成立。 ①当cos x=0时,显然f'(x)>0。 ②当cos x<0时,即x∈ π2 ,π ,化简 得 m ≤ - ex cos x=g (x),易 得 g'(x)= - 2exsinx+ π 4 cos2 x 。 令 g'(x)<0,则 x ∈ π 2 ,3π 4 ;令 g'(x)>0,则 x ∈ 3π 4 ,π 。故 g(x)在 π 2 ,3π 4 上单调递减,在 3π4,π 上单调递增。 故m≤g(x)min=g 3π 4 = 2e 3π 4。 ③当cos x>0时,即 x∈ 0, π 2 ,则 m≥ - ex cos x = g (x),则 g' (x)= - 2exsinx+ π 4 cos2x 。 显然x∈ 0, π 2 时,g'(x)<0恒成立, 所以m≥g(0)=-1。 综 上 所 述,结 合 m >0,可 得 m ∈ 0,2e 3π 4 。 (3)当m=1时,f(x)=ex+sin x,定义 域为(-π,+∞),故f'(x)=ex+cos x。 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单 调递增,f(x)无极值点。 当x∈(-π,0)时,令φ(x)=f'(x),则 φ'(x)=ex-sin x,显然φ'(x)>0恒成立, 则f'(x)在 (-π,0)上 单 调 递 增。又 f' - π 2 >0,f' -3π4 <0,故 存 在 x0∈ - 3 4π ,- π 2 ,使 得 f'(x0)=0,即ex0 = -cos x0。 令f'(x)<0,则 x∈(-π,x0);令 f'(x)>0,则x∈(x0,0)。故f(x)在(-π, x0)上单调递减,在(x0,0)上单调递增,即 f(x)的极小值为 f(x0)=e x0 +sin x0= sin x0-cos x0= 2sinx0- π 4 。 结 合 x0 ∈ - 3 4π ,- π 2 , 可 得 2sinx0- π 4 ∈(-1,0),即-1<f(x0)< 0,得证。 (责任编辑 徐利杰) 88 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月