03高二期末创新模拟卷(1)-《中学生数理化》高二数学2024年7-8月刊

■河南省郑州市第一〇一中学 冯连福 一、单选题(本题共8小题,每小题5分, 共40分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。) 1.已 知 函 数 f (x)满 足 f (x)= f' π 3 sin x-cos x,则 f' π3 的 值 为 ( )。 A.3 B. 3 2 C.- 3 D.- 3 2 2.高二(1)班有8名身高都不相同的同 学去参加合唱比赛,他们站成前后对齐的两 排,每排4人,则前排的同学都比后排对应的 同学矮的概率为( )。 A. 1 384 B. 3 4 C. 3 8 D. 1 16 3.已知函数f(x)=xln x,下列说法正 确的是( )。 A.f(x)的极大值为- 1 e B.f(x)的单调递增区间为 0, 1 e C.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程 为y=x-1 D.方程f(x)=1有两个不同的解 4.设θ∈ π6 ,π 3 ,随机变量ξ的分布列 如表1所示,则E(ξ)( )。 表1 ξ 1 2 3 P 12sin 2θ 1 2 A.有最大值 5 2 ,最小值3 2 B.有最大值 9 4 ,最小值7 4 C.有最大值 9 4 ,无最小值 D.无最大值,有最小值 7 4 5.已知(x+1)(x-1)5=a0+a1x+ a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a1+a3 的值为( )。 A.-1 B.1 C.4 D.-2 6.下列命题中,真命题的是( )。 A.若回归方程ŷ=-0.45x+0.6,则变 量y 与x 正相关 B.线性回归分析中决定系数R2 用来刻 画回归的效果,若R2 的值越小,则模型的拟 合效果越好 C.若样本数据x1,x2,…,x10 的方差为 2,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方 差为18 D.若P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)= P(B),则P(A|B)=P(A) 7.下列说法正确的是( )。 A.某同学定点投篮每次命中的概率均 为 3 4 ,每命中一次得2分,若记10次投篮得 分为X,则随机变量 X 服从二项分布,简记 X~B 10, 3 4 B.某工厂生产了一批产品50件,其中质 量达到“A 级”的有20件,则从该批产品中随 机抽取10件,记录抽到的产品中为“非 A 级”的个数为Y,则随机变量Y 的数学期望 E(Y)=4 C.若随机变量(X,Y)的成对数据的线 性相关系数|r|=1,则认为随机变量X 与Y 是确定的函数关系,不是线性相关关系 D.若随机变量X~N(μ,σ2),其分布密 21 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 度函 数 f(x)= 1 2π e - (x-2)2 2 (x∈R),则 P(X>1)> 1 2 8.设a= 1 4 ,b=2lnsin 1 8+cos 1 8 , c= 5 4ln 5 4 ,则( )。 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 二、多选题(本题共3小题,每小题6分, 共18分。在每小题给出的选项中,有多项符 合题目要求。全部选对的得6分,部分选对 的得部分分,有选错的得0分。) 9.为了庆祝香港回归祖国27周年、澳门 回归祖国25周年,郑州绿博园计划于2024 年7月1日在香港馆和澳门馆举办精品花卉 展。该园现有2种兰花,2种三角梅,共4种 精品花卉,其中“绿水晶”是培育的兰花新品 种。每种只能去一个展馆,每个展馆至少有 1种花卉参展,下列选项正确的是( )。 A.若香港展馆需要3种花卉,则有4种 安排方法 B.总共有14种不同的安排方法 C.若“绿水晶”去香港展馆,则有8种安 排方法 D.若2种三角梅不能去往同一个展馆, 则有4种安排方法 10.下 列 四 个 选 项 中,说 法 正 确 的 是 ( )。 A.从人群中随机选出1个人,记事件A 为“选出的人患有心脏病”,事件B 为“选出 的人是年龄大于60岁的心脏病患者”,则 P(A)>P(B) B.抛一枚骰子,记事件 A 为“掷 出2 点”,事件B 为“掷出的点数不大于4点”,则 P(A∪B)= 5 6 C.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,记事 件A 为“第一枚正面朝上”,事件B 为“第二 枚反面朝上”,则P(B|A)=P(B) D.两 批 同 种 规 格 的 产 品,第 一 批 占 50%,次品率为6%,第二批的次品率为4%, 从混合产品中任取1件,记事件 A 为“取出 的产品为合格品”,则P(A)=0.95 11.已知函数f(x)= eln x x + x eln x+x 的图像与直线y=k(k∈R)有三个交点,记三 个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,且x1< x2<x3,则下列说法正确的是( )。 A.存在实数k,使得x1=1 B.x3>e C.k∈ 1, 3 2 D. ln x1 x1 + 1 e 2ln x2 x2 + 1 e ln x3 x3 + 1 e 为 定值 三、填空题(本题共3小题,每小题5分, 共15分。) 12.已 知 随 机 变 量 X~N (2,σ2),且 P(X≤a)=P(X≥1),则 x- a x 6 的展开 式中常数项为 。 13.某市统计高中生身体素质的状况,规 定身体素质指标值不小于60就认为身体素 质合格。现从全市随机抽取 100名高中生的 身体素质指标值xi(i=1,2,3,…,100), 经 计算∑ 100 i=1 xi=7 200,∑ 100 i=1 x2i=100×(722+36)。 若该市高中生的身体素质指标值服从正态分 布N(μ,σ2),则估计该市高中生身体素质的 合格率 为 。(用 百 分 数 作 答,精 确 到 0.1%) 参考数据:若随机变量X 服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-σ≤X ≤μ+σ)≈ 0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。 14.∀x∈(0,+∞),不等式ex +1≥ 2a2x+ 1 x ln(ax)恒成立,则正实数a 的最 大值是 。 四、解答题(本题共5小题,共77分。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.(本小题13分)已知函数f(x)= 1 3x 3+ a 2x 2+(a-1)x+1。 31 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 (1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的 切线与直线6x+y+1=0平行,求出这条切 线的方程; (2)讨论函数f(x)的单调性。 16.(本小题15分)篮球是一项风靡世界 的运动,深受大众喜欢。 (1)为了解喜爱篮球运动是否与性别有 关,随机抽取了男性和女性各100名观众进 行调查,得到如表2所示的2×2列联表,判 断是否有99.9%的把握认为喜爱篮球运动 与性别有关。 表2 喜爱篮球运动 不喜爱篮球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 表3 α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , n=a+b+c+d。 (2)校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将 进行传球训练,第一次由甲将球传出,每次传 球时,传球者都等可能地将球传给另外两个 人中的任何一人,如此不停地传下去,且假定 每次传球都能被接到。记开始传球的人为第 一次触球者,第n 次触球者是甲的概率记为 Pn,即P1=1。 ①求P3(直接写出结果即可); ②证明数列 Pn- 1 3 为等比数列,并比 较第9次与第10次触球者是甲的概率的大 小。 17.(本小题15分)在游戏中,玩家可通 过祈愿池获取新角色和新武器。某游戏的角 色活动祈愿池的祈愿规则为:①每次祈愿获 取五星角色的概率p0=0.006;②如果连续 89次祈愿都没有获取五星角色,那么第90 次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色; ③除触发“保底机制”外,每次祈愿相互独立。 设X 表示在该祈愿池中连续祈愿直到获取 五星角色的祈愿次数。 (1)求X 的概率分布; (2)求X 的数学期望。 参考数据:0.99490≈0.582。 18.(本小题17分)已知函数 f(x)= ax2,g(x)=x(1-ln x)。 (1)若 对 于 任 意 x∈(0,+∞),都 有 f(x)<g(x),求实数a的取值范围; (2)若函数y=g(x)-m 有两个零点 x1,x2,求证: 1 x1 + 1 x2 >2。 19. (本小题17分)给出下列两个定义。 Ⅰ.对于函数y=f(x),定义域为D,并 且在D 上是可导的,其导函数定义域也为 D,则称该函数是“同定义函数”。 Ⅱ.对于一个“同定义函数”y=f(x),有 以下性质: ①f'(x)=g(f(x));②f(x)= h(f'(x)),其中y=g(x),y=h(x)为两个 新的函数,y=f'(x)是y=f(x)的导函数。 我们将具有其中一个性质的函数y= f(x)称之为“单向导函数”,将两个性质都具 有的函数y=f(x)称之为“双向导函数”,将 y=g(x)称之为“自导函数”。 (1)判断下列两个函数是“单向导函数”, 还是“双向导函数”,并说明理由。若具有性 质①,则写出其对应的“自导函数”。 (i)f(x)=tan x; (i)f(x)=ln x。 (2)给出两个命题p,q,判断命题p 是q 的什么条件,证明你的结论。 p:y=f(x)是“双向导函数”且其“自导 函数”为常值函数。 q:f(x)=k·ax(k∈R,a>0,a≠1)。 (3)已知函数h(x)=(xa-b)ex。 若a=b=1,且定义I(x)=exh(x)- 4 3kx 3+kx,对任意k∈[1,2],x∈[0,k],不 等式I(x)≤c恒成立,求c的取值范围。 (责任编辑 徐利杰) 41 演练篇 核心考点AB卷 高二数学 2024年7—8月 高二期末创新模拟卷(1)答案与提示 一、单选题 1.A 提 示:由 已 知 可 得,f'(x)= f' π 3 cos x+sin x,则f' π3 =f' π3 cosπ3+ sin π 3= 1 2f' π 3 +32,故f' π3 =3。 2.D 提示:8名身高都不相同的同学站 在8个不同的位置,有A88 种站法。 将8名同学分为4组,每组2人,则有 C28C26C24C22 A44 种分法,4组人有A44 种站法。 故所求概率P= C28C26C24C22 A44 ·A44 A88 = 1 16 。 3.C 提示:函数f(x)=xln x,定义域 为(0,+∞),f'(x)=ln x+1。令f'(x)= 0,解得x= 1 e ,故f(x)在 1 e ,+∞ 上单调 递增,在 0, 1 e 上单调递减,B选项错误。 f(x)有极小值f 1 e =-1e,无极大 值,故A选项错误。 f(1)=0,f'(1)=1,即曲线y=f(x)在 x=1处的切点为(1,0),切线斜率为1,切线 方程为y=x-1,故C选项正确。 方程f(x)=1,即ln x= 1 x ,函数y= ln x 与y= 1 x 的图像在(0,+∞)上只有一个 交点,所以方程f(x)=1有一个解,D选项 错误。 4.B 提示:因为 P(ξ=3)=1- 1 2- 1 2sin 2 θ= 1 2cos 2 θ,所以E(ξ)= 1 2sin 2 θ+ 2× 1 2+ 3 2cos 2 θ= 3 2+cos 2 θ。 因为θ∈ π6 ,π 3 ,所以12≤cos θ≤ 3 2 , 从而cos2 θ∈ 14 ,3 4 。 因此,E(ξ)= 3 2+cos 2 θ∈ 74 ,9 4 。 则E(ξ)的最大值为 9 4 ,最小值为7 4 。 5.C 提示:已知(x+1)(x-1)5=a0+ a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,并且 (x+1)(x-1)5=x(x-1)5+(x-1)5。 由二项式定理知(x-1)5 展开式的通项 为Tr+1=Cr5x5-r(-1)r。令5-r=2,解得 r=3;令5-r=3,解得r=2。 故a3=C35(-1)3+C25(-1)2=0。 同理,令5-r=1,解得r=4。令5-r= 0,解得r=5。故a1=C45(-1)4+C55(-1)5 =4,则a1+a3=4。 6.D 提示:因为b̂=-0.45<0,所以变 量y 与x 负相关,A选项错误。 在线性回归分析中R2 的值越大,模型的 拟合效果越好,B选项错误。 若样本数据x1,x2,…,x10 的方差为2, 则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差 为22×2=8,故C选项错误。 已知P(A)>0,P(B)>0,P(B|A)= P(B),故 P(B|A)= P(AB) P(A)=P (B),则 P(AB)=P(A)·P(B)。所以 P(A|B)= P(AB) P(B)= P(A)P(B) P(B) =P (A),D选项正确。 7.D 提示:对于A选项,由题意知,记10 次投篮命中的次数为x,则X=2x。随机变量 命中次数x服从二项分布,而随机变量投篮得 分X 不服从二项分布,故A选项错误。 对于B选项,由题意知随机变量Y 服从 超几何分布,则E(Y)= 10×30 50 =6 ,故B选 项错误。 对于C选项,若随机变量(X,Y)的成对 数据的线性相关系数|r|=1,则认为随机变 97 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 量X 与Y 是确定的函数关系,且是线性相关 关系,故C选项错误。 对于D选项,因为随机变量 X~N(μ, σ2),其分布密度函数 f(x)= 1 2π e - (x-2)2 2 (x∈R),所以μ=2,σ=1。则 P(X>1)> P(X>2)= 1 2 ,故D选项正确。 8.B 提示:b=lnsin 1 8+cos 1 8 2 = ln1+sin 1 4 ,c= 1+14 ln1+14 。 设h(x)=x-sin x,x∈(0,+∞),则h'(x) =1-cos x≥0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递 增,h(x)>h(0)=0,即x>sin x在(0,+∞)上恒 成立,则1 4>sin 1 4 ,即a>sin 1 4 。 设g(x)=x-ln(x+1),x∈(0,+∞), 则g'(x)=1- 1 x+1= x x+1>0 在(0,+∞) 上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)上单调递 增,g(x)>g(0)=0,即x>ln(x+1)在(0, +∞)上恒成立。令x=sin 1 4 ,则ln1+sin 1 4 < sin 1 4< 1 4 ,故a>b。 设f(x)=ln(x+1)- x x+1 ,则f'(x)= 1 x+1- 1 (x+1)2 = x (x+1)2 >0在(0,1]上恒 成立,所 以 f(x)在 (0,1]上 单 调 递 增, f(x)>f(0)=0,即ln(x+1)> x x+1 在(0, 1]上恒成立。 令x= 1 4 ,则ln 5 4> 1 5 ,所以5 4ln 5 4> 1 4 ,即c>a。因此,c>a>b。 二、多选题 9.AB 提示:对于 A选项,若香港展馆 需要3种花卉,则有C34×C11=4×1=4(种) 安排方法,故A选项正确。 对于B选项,4种花卉按1∶3去两个展 馆参展有C34×A22=4×2=8(种)方法;按2∶ 2去两个展馆参展有 C24C22 A22 ·A22=6(种)方法。 因此,不同的安排方法种数是C34×A22+ C24C22 A22 · A22=8+6=14,B选项正确。 对于C选项,假设“绿水晶”去香港展馆, 若香港展馆有1种花卉,则安排方法数为 C33=1;若香港展馆有2种花卉,则安排方法 数为C13=3;若香港展馆有3种花卉,则安排 方法数为C23=3。所以共有1+3+3=7(种) 方法,C选项错误。 对于D选项,由选项B知,带4种精品花 卉去两个展馆参展,共有14种安排方法。若2 种三角梅去往同一个展馆,有C12+C12C12=6 (种)安排方法,则2种三角梅不能去往同一个 展馆,有14-6=8(种)安排方法,D选项错误。 10.ACD 提示:对于A选项,记事件C 为“选出的人年龄大于60岁”,则P(C|A)= P(AC) P(A)= P(B) P(A)<1 ,即P(A)>P(B),A选 项正确。 对于B选项,事件A 与事件B 不互斥, 则P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)= 1 6+ 2 3- 1 6= 2 3 ,故B选项错误。 对于C选项,易知事件A,B 相互独立, 则 P(B|A)= P(AB) P(A)= P(A)·P(B) P(A) = P(B),故C选项正确。 对于 D 选 项,根 据 全 概 率 公 式 可 得, P(A)=0.5×0.94+0.5×0.96=0.95,故D 选项正确。 11.BCD 提示:由方程 eln x x + x eln x+x- k=0,可得 eln x x + 1 eln x x +1 -k=0。 令 eln x x =t ,则t+ 1 t+1-k=0 ,变形得 t2+(1-k)t-k+1=0。 不妨令函数g(x)= eln x x ,则g'(x)= e· 1-ln x x2 。 08 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 令g'(x)>0,解得0<x<e;令g'(x)< 0,解得x>e。所以g(x)在(0,e)上单调递 增,在(e,+∞)上单调递减,g(x)max=g(e) = eln e e =1 ,g(x)的图像如图1所示。 图1 要使关于x 的方程 eln x x + x eln x+x-k =0有三个不相等的实数解x1,x2,x3,且 x1<x2<x3,结合图像可得关于t 的方程 t2+(1-k)t-k+1=0一定有两个实根t1, t2,且t2≤0,0<t1<1或t1=1,0<t2<1。 令G(t)=t2+(1-k)t-k+1。 若t2≤0,0<t1<1,则: G(0)=-k+1≤0, G(1)=3-2k>0, Δ=k2+2k-3>0。 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得1<k< 3 2 。 若t1=1,0<t2<1,则: G(0)=-k+1>0, G(1)=3-2k=0, Δ=k2+2k-3>0, 0<- 1-k 2 <1 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 无解。 综上所述,k∈ 1, 3 2 ,C选项正确。 由图像结合函数的单调性可知x3>e,B 选项正确。 若f(1)-k=1-k=0,则k=1。 又k∈ 1, 3 2 ,故A选项错误。 ln x1 x1 + 1 e 2ln x2 x2 + 1 e ln x3 x3 + 1 e = t1 e+ 1 e 2 t2 e+ 1 e t2e+1e = t1 e+ 1 e 2 t2 e+ 1 e 2 = t1 e+ 1 e t2e+1e 2 = 1 e2 t1t2+ 1 e2 (t1+t2)+ 1 e2 2 = 1 e2 (-k+1)+ 1 e2 (k-1)+ 1 e2 2 = 1 e4 , 故D选项正确。 三、填空题 12.1 215 提示:X~N(2,σ2),P(X≤ a)=P(X≥1),故 a+1 2 =2 ,a=3。 x- 3 x 6 展开式的第r+1项为: Tr+1 = Cr6x6-r - 3 x r = Cr6x6-r · (-3)rx -12r=Cr6(-3)rx 6-32r。 当r=4时,C46(-3)4=15×81=1 215。 13. 97.7% 提示:因为100个数据x1, x2,x3,…,x100 的平均值􀭵x= 1 100∑ 100 i=1 xi=72,方 差s2= 1 100∑ 100 i=1 (xi-􀭵x)2= 1 100 (∑ 100 i=1 x2i-100􀭵x2)= 1 100× [100×(722+36)-100×722]=36,所 以μ的估计值为72,σ的估计值为6。 设该市高中生的身体素质指标值为X。 由P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, 得 P(72-12≤X≤72+12)=P(60≤X≤ 84)≈0.954 5。 P(X>84)=P(X>μ+2σ)=P(X< μ- 2σ)= 1-P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) 2 ≈ 1-0.954 5 2 。 所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+ P(X>84)≈0.954 5+ 1 2× (1-0.954 5)= 0.977 25≈97.7%。 14. e 2 提 示:将 不 等 式 ex +1≥ 2a2x+ 1 x ln(ax)变 形 可 得 x(ex +1)≥ (a2x2+1)ln(ax)2,即 (ex +1)ln ex ≥ [(ax)2+1]ln(ax)2。 构造函数 f(x)=(x+1)ln x,可得 18 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 f'(x)=ln x+(x+1)· 1 x=ln x+ 1 x+1 。 令g(x)=f'(x)=ln x+ 1 x +1 ,则 g'(x)= 1 x- 1 x2 = x-1 x2 。 当x∈(0,1)时,g'(x)= x-1 x2 <0,g(x) 在(0,1)上单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)= x-1 x2 >0, g(x)在(1,+∞)上单调递增。 所以g(x)≥g(1)=2,即f'(x)≥2,函 数f(x)在(0,+∞)上单调递增。 利用 单 调 性 并 根 据 (ex +1)ln ex ≥ [(ax)2+1]ln(ax)2,可得ex≥(ax)2,变形得 e x 2≥ax,即a≤ e x 2 x 对∀x∈(0,+∞)恒成立。 因此,a≤ e x 2 x min 即可。 令h(x)= e x 2 x ,x∈(0,+∞),则h'(x)= 1 2xe x 2-e x 2 x2 = e x 2 1 2x-1 x2 。 显然当x∈(0,2)时,h'(x)<0,函数 h(x)在(0,2)上单调递减; 当x∈(2,+∞)时,h'(x)>0,函数 h(x)在(2,+∞)上单调递增。 所以h(x)min=h(2)= e 2 ,即a≤ e x 2 x min = e 2 。因此,正实数a的最大值是 e 2 。 四、解答题 15.(1)根据题意可得f'(x)=x2+ax+ a-1,f'(2)=3a+3。 已知f'(2)=-6,所以3a+3=-6,解 得a=-3,故f(2)=- 31 3 。 则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切 线方程为y+ 31 3=-6 (x-2),化简得18x+ 3y-5=0。 (2)f'(x)=(x+a-1)(x+1)。 令f'(x)=0,得x=1-a或x=-1。 ①当1-a<-1,即a>2时,令f'(x)>0, 得x>-1或x<1-a;令f'(x)<0,得1- a<x<-1。 故f(x)的单调递减区间为(1-a,-1), 单调递增区间为(-∞,1-a),(-1,+∞)。 ②当1-a=-1,即a=2时,f'(x)= (x+1)2≥0恒成立,故f(x)的单调递增区 间为(-∞,+∞),无单调递减区间。 ③当1-a>-1,即a<2时,令f'(x)> 0,得x>1-a 或x<-1;令f'(x)<0,得 -1<x<1-a。 故f(x)的单调递减区间为(-1,1-a), 单调递增区间为(-∞,-1),(1-a,+∞)。 综上所述,当a>2时,f(x)的单调递减 区间为(1-a,-1),单调递增区间为(-∞, 1-a),(-1,+∞);当a=2时,f(x)的单调 递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间; 当a<2时,f(x)的单调递减区间为(-1, 1-a),单调递增区间为(-∞,-1),(1-a, +∞)。 16.(1)假设 H0:喜爱篮球运动与性别独 立,即喜爱篮球运动与性别无关。 根据 列 联 表 数 据,经 计 算 得 χ2 = 200×(60×80-20×40)2 100×100×80×120 = 100 3 >10.828= x0.001。根据小概率值α=0.001的独立性检 验,我们推断 H0 不成立,即有99.9%的把握 认为喜爱篮球运动与性别有关。 (2)①由题意得:第二次触球者为乙,丙 中的一个,第二次触球者传给包括甲的两人 中的一人,故传给甲的概率为1 2 ,故P3= 1 2 。 ②第n次触球者是甲的概率记为Pn,则 当n≥2时,第n-1次触球者是甲的概率为 Pn-1,第n-1次触球者不是甲的概率为1- Pn-1。 则Pn=Pn-1·0+(1-Pn-1)· 1 2= 1 2 (1-Pn-1),从而Pn- 1 3=- 1 2 Pn-1- 1 3 。 又P1- 1 3= 2 3 ,故 Pn- 1 3 是以23为 28 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 首项,公比为- 1 2 的等比数列。 所以Pn= 2 3× - 1 2 n-1 + 1 3 ,P9= 2 3× - 1 2 8 + 1 3> 1 3 ,P10= 2 3× - 1 2 9 + 1 3< 1 3 ,P9>P10,故第9次触球者是甲的概率大。 17.(1)由题意知,某游戏的角色活动祈 愿池的祈愿规则为:①每次祈愿获取五星角 色的概率p0=0.006;②如果连续89次祈愿 都没有获取五星角色,那么第90次祈愿必定 通过“保底机制”获取五星角色;③除触发“保 底机制”外,每次祈愿相互独立。 设X 表示在该祈愿池中连续祈愿直至 获取五星角色的祈愿次数,将每次祈愿获取 五星角色的概率记为p0,X 的所有可能取值 为1,2,3,…,90。 从而P(X=1)=p0,P(X=2)=(1- p0)p0,P(X=3)=(1-p0)2p0,…,P(X= 89)=(1-p0)88p0,P(X=90)=(1-p0)89。 所以X 的概率分布为: P(X=k)= (1-p0)k-1p0,1≤k≤89, (1-p0)89,k=90, k∈N*。 (2)X 的数学期望E(X)=1×P(X=1) +2×P(X=2)+3×P(X=3)+…+90× P(X=90)=1×p0+2×(1-p0)p0+3× (1-p0)2p0+…+90×(1-p0)89。 (1-p0)E(X)=1×(1-p0)p0+2× (1-p0)2p0+3×(1-p0)3p0+…+90× (1-p0)90。 以上两式相减得p0E(X)=p0+(1- p0)p0+(1-p0)2p0+…+(1-p0)88p0+90× (1-p0)89-89×(1-p0)89p0-90×(1- p0)90。 E(X)=1+(1-p0)+(1-p0)2+…+ (1-p0)88+ 90×(1-p0)89 p0 -89×(1-p0)89- 90×(1-p0)90 p0 =1+(1-p0)+(1-p0)2+…+(1- p0)88+ 90×(1-p0)89 p0 [1-(1-p0)]-89× (1-p0)89 =1+(1-p0)+(1-p0)2+…+(1- p0)88+(1-p0)89= 1-(1-p0)90 p0 。 因 为 p0 =0.006,所 以 E (X)= 1-(1-p0)90 p0 = 1-0.99490 0.006 ≈ 1-0.582 0.006 ≈69.67 。 18.(1)结合题意知,对于任意x∈(0, +∞),都有f(x)<g(x),即ax2<x(1-ln x)。 因为x∈(0,+∞),所以只需a< 1-ln x x 。 令F(x)= 1-ln x x ,则F'(x)= ln x-2 x2 。 当x∈(0,e2)时,F'(x)<0,F(x)单调 递减;当x∈(e2,+∞)时,F'(x)>0,F(x) 单调递增。 所以只需a<F(x)min=F(e2)=- 1 e2 。 (2)x1(1-ln x1)=x2(1-ln x2)等价于 1+ln 1 x1 1 x1 = 1+ln 1 x2 1 x2 。 设函 数 h(x)= 1+ln x x ,h'(x)= -ln x x2 ,易知h(x)在区间(0,1)上单调递增, 在(1,+∞)上单调递减。 由h(a)=h(b)知,0<a<1<b,不妨令 a= 1 x1 ,b= 1 x2 。 设函数 G(x)=(2-x)(1+ln x)- x[1+ln(2-x)],其中0<x<1。 则 G'(x)= -ln[x (2-x)]+ 2-x x + x 2-x-2 >0,故G(x)在(0,1)上 单调递增,即当x∈(0,1)时,G(x)<g(1)= 0,也即 1+ln x x < 1+ln(2-x) 2-x ,则 h(a)= 1+ln a a < 1+ln(2-a) 2-a =h (2-a)。 已知h(a)=h(b),且0<a<1<b,可得 h(b)<h(2-a),且2-a∈(1,2)。 38 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月 因为h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以 b>2-a,即 1 x1 + 1 x2 >2。 19.(1)对 于 函 数 f(x)=tan x,则 f'(x)=1+tan2 x,这两个函数的定义域都 是 x|x≠kπ+ π 2 ,k∈Z ,所以f(x)为“同 定义函数”,此时,g(x)=1+x2。 由函数的定义知,对于x=± π 4 ,f(x) =h(f'(x))无法同时成立,所以f(x)为“单 向导函数”,其“自导函数”为g(x)=1+x2。 对于函数f(x)=ln x,则f'(x)= 1 x , 这两个函数的定义域不同,所以不是“同定义 函数”。 (2)若f(x)=kax,则f'(x)=kaxln a。 设g(x)=xln a,则f'(x)=g(f(x)),所以 f(x)为“单向导函数”。 又设h(x)= x ln a ,则f(x)=h(f'(x)), 所以f(x)为“双向导函数”。但g(x)不是常 值函数,故p 不是q的必要条件。 若p 成立,则g(x)=m,所以f'(x)= g(f(x))=m,f(x)=mx+n,q 不成立,故 p 为q的不充分不必要条件。 (3)由 题 意 知,I(x)=(x-1)e2x - 4 3kx 3+kx,所 以 I'(x)=(2x-1)e2x - 4kx2+k,故I' 12 =0。 令p(x)=(2x-1)e2x-4kx2+k,x∈ [0,k],k∈[1,2],故p(1)=e2-3k>0,则 p'(x)=4xe2x-8kx=4x(e2x-2k)。 因为y=e2x-2k 单调递增,且y|x=0= 1-2k<0,y|x=k=e2k-2k>0,所以存在 x0= 1 2ln 2k∈(0,1),使得e 2x0-2k=0。且 当x∈[0,x0]时,p'(x)≤0,p(x)单调递减; 当x∈[x0,k]时,p'(x)≥0,p(x)单调递增。 ①当 x0= 1 2ln 2k= 1 2 ,即k= e 2 时, p(x)min=p(x0)=(2x0-1)·2k-4kx20+ k=-k(2x0-1)2=0,此时I'(x)≥0,I(x) 在x∈[0,k]上单调递增,I(x)max=I(k)。 ②当k=1时,p(0)=-1+1=0,此时 x0= 1 2ln 2,p(x)min=-k(2x0-1)2<0。 所以当x∈ 0, 1 2 时,I'(x)≤0,I(x) 单调递减;当x∈ 12 ,1 时,I'(x)≥0,I(x) 单调递增。 又I(k)=I(1)>I(0),故I(x)max=I(k)。 ③当k∈(1,2]且k≠ e 2 时,p(x)min= -k(2x0-1)2<0,p(0)>0,所以函数I(x) 在(0,1)上存在两个极值点。 当x0= 1 2ln 2k> 1 2 ,即2≥k> e 2 时,极大 值点为 1 2 ,I(k)的最大值为I 12 或I(k);当 x0= 1 2ln 2k< 1 2 ,即1<k< e 2 时,极大值点 x1< 1 2 ,I(x)的最大值为I(x1)或I(k)。 又当0≤x≤ 1 2 时,I(x)=(x-1)e2x- 4 3kx 3+kx≤-1+ 1 3k≤0 ,I(k)=(k- 1)e2k- 4 3k 4+k2。 令t(k)=(k-1)e2k- 4 3k 4+k2,k∈[1, 2],则t'(k)=(2k-1)e2k- 16 3k 3+2k,k∈ [1,2]。 设s(k)=(2k-1)e2k- 16 3k 3+2k,k∈ [1,2],则s'(k)=4ke2k-16k2+2=4k(e2k- 4k)+2>0,所以s(k)在[1,2]上单调递增, 即t'(k)在[1,2]上单调递增,t'(k)≥t'(1)= e2- 16 3 +2>0 ,也 即t(k)单 调 递 增,故 t(k)≤t(2)=e4- 52 3 ,e4- 52 3>0 。 综上所述,I(x)max=e4- 52 3≤c 。所以c 的取值范围为 e4- 52 3 ,+∞ 。 (责任编辑 徐利杰) 48 演练篇 核心考点AB卷答案与提示 高二数学 2024年7—8月