第二章 函数与基本初等函数综合测试卷-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

第二章 函数与基本初等函数综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（5分）（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 4．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 8．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 10．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 11．（5分）（2024·新疆·三模）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 12．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递增 C．的解集为 D．若对恒成立，则实数的取值范围为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 14．（5分）（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 15．（5分）（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个. 16．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）（2023·江苏连云港·模拟预测）计算： (1)； (2). 18．（12分）（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 19．（12分）（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 20．（12分）（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数的图象经过点. (1)求实数的值； (2)求函数的最小值和最大值. 21．（12分）（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 22．（12分）（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 函数与基本初等函数综合测试卷 （新高考专用） （考试时间：120分钟；满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．（5分）（2024·湖南·二模）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的奇偶性和定义域，利用排除法即可得解. 【解答过程】由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C； 由图可知，函数的定义域不是实数集.故排除B； 由图可知，当时，， 而对于D选项，当时，，故排除D. 故选：A. 2．（5分）（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【解答过程】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 3．（5分）（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【解题思路】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【解答过程】因为， ，， 故. 故选：C. 4．（5分）（2024·青海海西·模拟预测）北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道，发射取得圆满成功．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质量、火箭（除燃料外）的质量的函数关系是．按照这个规律，当m时，火箭的最大速度为；当m时，火箭的最大速度为．则（参考数据：）（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用给定的函数关系式，分别求得，结合对数的运算性质，求得的值，即可求解. 【解答过程】由火箭的最大速度和燃料的质量、火箭的质量的函数关系是，当时，有，所以； 当时，有，所以， 可得 ． 故选：A． 5．（5分）（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，由条件可得函数是周期为2的函数，则可得，， 【解答过程】因为函数是偶函数，则， 又函数为偶函数，则， 即，所以函数是周期为2的函数， 则，， 且当时，是减函数， 由可得，即. 故选：C. 6．（5分）（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解. 【解答过程】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且， 所以当时，； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示． 由图可知不等式在上的解集为． 故选：B． 7．（5分）（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数 方程有两个不同的根，分别是则 （   ） A． B．3 C．6 D．9 【解题思路】方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点，作出函数与的图象，根据数形结合计算即可得出结果. 【解答过程】由题意得：为R上的增函数，且 当时，，， 当时，，， 方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个交点， 作出函数与的图象如下图所示： 由图可知与图象关于对称， 则两点关于对称，中点在图象上， 由，解得：. 所以. 故选：B. 8．（5分）（2024·湖南邵阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 【解题思路】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【解答过程】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（5分）（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D． 【解答过程】由题意，得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，，则，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD. 10．（5分）（2024·河北·模拟预测）已知函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【解答过程】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 11．（5分）（2024·新疆·三模）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 【解题思路】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【解答过程】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 12．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知函数对任意恒有，且当时，，则下列结论中正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．在上单调递增 C．的解集为 D．若对恒成立，则实数的取值范围为 【解题思路】对于A，对抽象函数的等式分别赋值和即可判断是奇函数；对于B，利用函数的单调性定义推理即得；对于C，利用A,B项分析得到的函数的奇偶性和单调性求解抽象不等式即可；对于D，利用C的结论得出函数在上的最大值，将等价转化为在上恒成立，结合关于的一次函数的图象即得参数的范围. 【解答过程】对于，令，得，所以，令，则，即，则， 所以是定义在上的奇函数，其图象关于原点对称，故A错误； 对于，设，则，又当时，，则有， 即，则，故在上单调递增，故B正确； 对于，根据选项可知，函数在上单调递增，又因为是定义在上的奇函数， ，所以，则的解集为，故C正确； 对于，因为在上单调递增，所以当时，， 又对恒成立，所以，即在上恒成立， 将看成关于的一次函数，则需, 由① 可得或，由② 可得或，故的范围为或，故D错误． 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【解题思路】借助函数定义域的定义计算即可得. 【解答过程】由函数的定义域为，则有， 令，解得. 故答案为：. 14．（5分）（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【解题思路】构造奇函数，结合其单调性解不等式即可. 【解答过程】由条件知，令， 则， 易知，即为奇函数， 又， 易知在时单调递减， 由复合函数的单调性及奇函数的性质得在R上单调递减， 对于， 所以. 故答案为：. 15．（5分）（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 4 个. 【解题思路】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解. 【解答过程】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示： 如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点. 故答案为：4. 16．（5分）（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【解答过程】因为是奇函数，是偶函数，满足， 可得， 联立方程组，解得， 又因为对任意的，都有成立， 所以，所以成立， 构造， 所以由上述过程可得在单调递增， (i)若，则对称轴，解得； (ii) 若，在单调递增，满足题意； (iii) 若，则对称轴恒成立； 综上可得，，即实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）（2023·江苏连云港·模拟预测）计算： (1)； (2). 【解题思路】（1）根据指数幂的运算法则直接化简求解即可； （2）根据对数运算法则直接化简求解即可. 【解答过程】（1） . （2） . 18．（12分）（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【解题思路】（1）根据题意，由奇函数的性质可得，求出的值，结合函数的解析式求出的值，计算可得答案； （2）根据题意，根据单调性的定义，结合作差法证明可得答案． 【解答过程】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 19．（12分）（2024·全国·模拟预测）设函数． (1)作出函数的图象； (2)若的最大值为，正实数满足，求的最小值． 【解题思路】（1）分别在、及的情况下，讨论得到的解析式，由此可得函数图象； （2）结合图象可确定，化简已知等式得到，根据，利用基本不等式可求得结果. 【解答过程】（1）当时，； 当时，； 当时，； 作出的图象如下图所示， （2）由（1）可知：当时，，即， ，即， （当且仅当，即时等号成立）， . 20．（12分）（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数的图象经过点. (1)求实数的值； (2)求函数的最小值和最大值. 【解题思路】（1）将点代入函数的解析式，求实数的值即可； （2）将函数的解析式经过变量代换，转化为一元二次函数形式，求最值即可； 【解答过程】（1）由题意，将点代入函数的解析式， 得：，即，解得. （2）由换底公式得：， 所以函数， 令，因为，所以. 设， 显然函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以， 即函数的最小值为2，最大值为6. 21．（12分）（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【解答过程】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 22．（12分）（2024·河南·模拟预测）已知函数对任意实数恒有成立，且当时，. (1)求的值; (2)判断的单调性，并证明; (3)解关于的不等式:. 【解题思路】（1）根据题意，令，即可求得； （2）令，得到，所以为奇函数，在结合题意和函数单调性的定义和判定方法，即可求解； （3）化简不等式为，结合函数的单调性，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为函数对任意实数恒有成立， 令，则，所以. （2） 解：函数为上的减函数. 证明:令，则，所以，故为奇函数. 任取，且，则， 因为当时，，所以， 所以 ，即，所以是上的减函数. （3） 解：根据题意，可得， 由（2）知在上单调递减，所以， 即，可得， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$