精品解析：广东省揭阳市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量测试数学试题

揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 为了得到图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 设是三个不同平面，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线平分圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 3.5尺 C. 5.5尺 D. 7.5尺 7. 已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在上的投影向量的坐标为 10. 已知函数，则（ ） A. 值域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上有2个零点 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 与 定义域不同 B. 的单调递减区间为 C. 若有三个不同的解，则 D. 对任意两个不相等正实数，若，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，其中，则__________. 13. 已知集合，，则__________. 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值. 16. 南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示： 对滑雪的喜爱情况 性别 合计 男性游客 女性游客 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？ （2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率. 附：. 005 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，在四棱台中，平面，2，，. （1）记平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点. （1）求的方程； （2）若为的重心，求的值； （3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 19. 给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. （1）已知数列为“指数型数列”，若，求； （2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 揭阳市2023—2024学年度高中二年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选：A 2. 为了得到的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】将变形为，由“左加右减，上加下减”的平移规则即可判断. 【详解】由可知，将函数的图象向左平移个单位长度即得的图象. 故选：A. 3. 设是三个不同平面，且，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断. 【详解】由于，，由平面平行的性质定理可得：， 所以是的充分条件； 但当，，并不能推出，也有可能相交， 所以是的不必要条件； 故选:A. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：D 5. 若直线平分圆，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 6. 《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒､立春､惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则小满日影长为（ ） A. 1.5尺 B. 3.5尺 C. 5.5尺 D. 7.5尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项公式及前项和得到方程组，求出，，再求出即可. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、 芒种这十二个节气的日影长分别为，，，，前项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以小满日影长为（尺）． 故选：B 7. 已知函数，其中且且为常数.若对任意且，在内均存在唯一零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导函数，可以判断函数在上单调递增，进而转化为，再解不等式得对一切成立，进而得范围. 【详解】， 当时，恒成立， 所以函数上单调递增， 若函数在内均存在唯一零点，只需即可， 即， 因为且，， 所以对一切成立， 因为当时，，当且仅当时等号成立， 所以. 故选：C． 8. 已知为球面上四点，分别是的中点，以为直径的球称为的“伴随球”.若三棱锥的四个顶点均在表面积为的球面上，它的两条棱的长度分别为8和6，则的伴随球的体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出三棱锥的外接球半径，求出，进一步求出的范围，从而得出答案即可． 【详解】设三棱锥外接球的半径为， 则，所以球的半径为， 则球的两条弦的中点为， 则， 即弦分别是以为球心，半径为和的球的切线， 且弦在以为球心，半径为的球的外部， 的最大距离为，最小距离为， 当三点共线时，分别取最大值与最小值， 故的伴随球半径分别为， 当半径为时，的伴随球的体积为， 当半径为时，的伴随球的体积． ∴的伴随球的体积的取值范围是． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：由三棱锥的外接球半径，求出是解题的关键． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在上投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】因为，， 对于A：， 则，故A错误； 对于B：因为，所以与为不共线的向量， 故与可作为一组基底向量，故B正确； 对于C：， 所以，故C正确； 对于D：， 所以在上的投影向量的坐标为，故D错误. 故选：BC 10. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 在上有2个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先化简函数的解析式，再根据函数的振幅判断函数的最值，并求函数的解析式，判断函数的性质，求解函数在区间上的零点个数，即可判断选项. 【详解】． A．因为，所以，故A正确． B．因为，所以，是偶函数，故B正确． C．由选项可得，， 由余弦函数的图象可知，在上单调递减，故C错误． D．令，则，所以． 令，可得，又，所以或， 所以在上有2个零点，故D正确． 故选：ABD 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 与 的定义域不同 B. 的单调递减区间为 C. 若有三个不同的解，则 D. 对任意两个不相等正实数，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用定义域关于原点对称且是奇函数，确定选项A；利用求导和导函数值小于0，解不等式，排除选项B；利用导数研究单调性和自变量趋向于正、负无穷时的极限值来作出简图，通过是不符合题意，来排除选项C；利用极值点偏移法，构造函数并进行求导分析证明，确定选项D． 【详解】对于A，由的定义域为，而的定义域为，所以选项A是正确的； 对于B，由函数定义域为，因为，由，得到，解得或， 所以的单调递减区间为，，所以选项B是错误； 对于C，因为，由，解得且， 所以的增区间为区间，， 由选项B知，的减区间为，， 又，当时，，且， 当时，，且， 当且时，，当且时，， 其图象如图所示，    由图知，有三个不同的解，则且，所以选项C是错误； 对于D，由题知，得到， 由图，不妨设，设，， 则， 当时，，，所以， 即在区间上单调递增，又， 所以，得到， 又，当时，，即在区间上单调递减， 又，所以，得到，所以选项D正确. 故选：AD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，内角的对边分别为，其中，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求出，再由余弦定理计算可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理，即， 所以（负值已舍去）. 故答案为： 13. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先解对数不等式求出集合，再解分式不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，所以， 解得， 所以， 由，解得，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆的左､右焦点分别为为上且不与顶点重合的任意一点，为的内心，为坐标原点，记直线的斜率分别为，，若，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，设圆与轴相切于点，结合圆的切线长的性质证明，结合椭圆性质可得，由内切圆性质可得，由条件确定关系，由此可求离心率. 【详解】设，设圆与轴相切于点， 则， 又，， 所以， 所以， 即， 过点作直线的垂线，垂足为， 则， 所以， 所以，所以， ∴， ∴， 由三角形面积相等，得， ， ， ， 所以， ，即得. 故答案为：. . 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围)． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为边的中点，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行角换边，再利用余弦定理即可得到； （2）转化为求的最大值，利用余弦定理结合基本不等式即可得，最后根据三角形面积公式即可得到最值. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得，即， 则， 由余弦定理得. 又，所以. 【小问2详解】 因为是边的中点， 即，所以. 在中，， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即面积的最大值为. 16. 南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男､女性游客各100名，统计结果如下表所示： 对滑雪的喜爱情况 性别 合计 男性游客 女性游客 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联？ （2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个滑雪基本动作（起步､滑行､转弯､制动）进行指导.据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立.若这四个滑雪基本动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号.求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率. 附：. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联 （2） 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 小问1详解】 零假设为游客是否喜欢滑雪与性别无关联， 依题意可得， 所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于. 【小问2详解】 令事件分别表示初学者对起步、滑行、转弯、制动达到优秀， 滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件， 所以 ， 所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是. 17. 如图，在四棱台中，平面，2，，. （1）记平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明平面，即可得到，再证明平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量法来求两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以 . 因为平面，平面，所以， 在中，，， 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 又，平面， 所以平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为，平面，所以平面， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则 ， 令，得，，所以. 又是平面的一个法向量， 记平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知抛物线的准线为，焦点为为上异于原点且不重合的三点. （1）求的方程； （2）若为的重心，求的值； （3）过两点分别作的切线与相交于点，若，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的准线方程即可求解； （2）设，由为的重心，得 ,即，再根据抛物线的定义即可求解； （3）设直线的方程为，，联立直线与抛物线得交点坐标关系，再求导并根据导数的几何意义求解切线的斜率，即可得切线方程，从而可得切线的交点坐标，根据三角形面积公式列关系求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线的准线为， 所以， 所以抛物线. 【小问2详解】 由（1）可知，焦点， 设， 因为为的重心， 所以, 所以， 即. 由抛物线的定义的. 【小问3详解】 显然直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 由，解得， 所以，即， 因为，则， 所以， 所以切线的方程为， 同理，切线的方程为， 联立两直线方程，解得， 即， 则点到直线的距离， 由， 化解得， 所以， 当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 19. 给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. （1）已知数列为“指数型数列”，若，求； （2）已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （3）若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 【答案】（1）， （2）是，证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 分析】（1）直接根据定义代入计算即可； （2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明； （3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论. 【小问1详解】 因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的， 都有.因为， 所以，. 【小问2详解】 数列是“指数型数列”. 证明:由，得，即， 所以数列是等比数列，且， 则， ， 所以数列是“指数型数列”. 【小问3详解】 因为数列是“指数型数列”，故对任意的， 有，则，所以， 适合该式. 假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故不能成立； 当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 所以，对任意的，不能成立， 即数列中任意三项都不能构成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据定义得，再对分奇偶数讨论，根据数论知识得到方程不成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$