第1章 空间向量与立体几何 章末达标检测(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，是(　　) A．有相同起点的向量 B．等长的向量 C．共面向量 D．不共面向量 解析　因为－＝＝，所以，，共面． 答案　C 2．已知空间四边形ABCD，G是CD的中点，连接BD，AG，则＋＝(　　) A． B． C． D． 解析　在△BCD中，连接BG(图略)．因为点G是CD的中点，所以＝，从而＋(＋)＝＋＝.故选A． 答案　A 3．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，且a∥b，则向量a＋b与a－b的夹角是(　　) A．90° B．60° C．30° D．0° 解析　∵|a|2＝2，|b|2＝2，(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)． 答案　A 4．已知空间中三点A(－1,0,0)，B(0,1，－1)，C(－2，－1，2)，则点C到直线AB的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　依题意得＝(－1，－1,2)，＝(1,1，－1)则点C到直线AB的距离为＝＝＝.故选A． 答案　A 5.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，BC∥AD，且AB＝BC＝2，AD＝3，PA⊥平面ABCD且PA＝2，则PB与平面PCD所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 解析　依题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB＝BC＝2，AD＝3，PA＝2， 则P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,3,0)， 从而＝(2,0，－2)，＝(2,2，－2)，＝(0,3，－2)． 设平面PCD的法向量为n＝(a，b，c)， 则即 不妨取c＝3，则a＝1，b＝2， 所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,2,3)， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为 sin θ＝ ＝＝. 答案　C 6．在四棱锥P­ABCD中，＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)，＝(3，－1,4)，则这个四棱锥的高为(　　) A． B． C． D． 解析　设平面ABCD的法向量为n＝(x，y，z)，则∵＝(2，－1,3)，＝(－2,1,0)， ∴令x＝1，可得y＝2，z＝0，即n＝(1,2,0)，∴点P到平面ABCD的距离d＝＝＝，即四棱锥P­ABCD的高为. 答案　A 7．《九章算术》中记载了一种名为“刍薨”的五面体(如图)，其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 解析　如图，设点M，N分别在AB，BC上，且OM∥BC，ON∥AB，以矩形ABCD的中心O为原点，OM，ON所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系． ∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF⊂平面Oyz，且Oz垂直平分线段EF. 设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D，E，B，F ∴＝，＝， ∴·＝－1×1＋1×(－1)＋×＝0， ∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A． 答案　A 8．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点N在AC上，点M在A1D上，且A1M＝，MN∥平面AA1B1B，则MN的长为(　　) A． B． C．2 D． 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，所以D(0,0,0)，A(2,0,0)，平面AA1B1B的一个法向量为＝(2,0,0)．因为点M在A1D上，且A1M＝，所以点M(1,0,1)．因为点N在AC上，所以设N(m,2－m,0)(0<m<2)，则＝(m－1,2－m，－1)．因为MN∥平面AA1B1B，所以⊥，有2(m－1)＋0＋0＝0，m＝1，故＝(0,1，－1)，所以MN＝＝＝.故选A． 答案　A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列为零向量的是(　　) A．＋2＋2＋； B．2＋2＋3＋3＋； C．＋＋； D．－＋－. 解析　A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意； B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0； C中，原式＝，不符合题意； D中，原式＝(－)＋(－)＝0. 答案　BD 10．下列命题正确的是(　　) A．若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α的充要条件是p·＝0 B．已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C．已知a＝(－1,1,2)，b＝(0,2,3)，若ka＋b与2a－b垂直，则k＝－ D．已知△ABC的顶点分别为A(－1,1,2)，B(4，1,4)，C(3，－2,2)，则AC边上的高BD的长为 解析　若b⊂α，则p·＝0成立，故b∥α不是p·＝0的必要条件，故A错误； 若＝＋＋， 则＝＋， 所以＝＋， 所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 由题意可得ka＋b＝(－k，k＋2,2k＋3)，2a－b＝(－2,0,1)， 若ka＋b与2a－b垂直， 则(ka＋b)·(2a－b)＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－，故C正确； 由题意可得＝(5,0,2)，＝(4，－3,0)， 则||＝＝，＝＝5， 则cos A＝＝＝， 所以sin A＝＝， 所以|BD|＝sin A＝×＝， 故D正确． 答案　BCD 11.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，点E为PA的中点，AB＝BC＝1，AD＝2，PA＝，则(　　) A．·＝3 B．异面直线BE与CD所成角的余弦值为 C．点B到平面PCD的距离为 D．BC与平面PCD所成的角为 解析　以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0，)，E. 所以＝(－1,1,0)，＝(－1，－1，)， ＝，＝(0,1,0)， 则·＝1＋0＋1＝2.|cos〈，〉|＝＝＝， 则异面直线BE与CD所成角的余弦值为. 设平面PCD的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 解得 令x＝1，则y＝1，z＝，所以平面PCD的一个法向量为m＝(1,1，)． 则＝＝，所以点B到平面PCD的距离为，又||＝1，所以BC与平面PCD所成的角为. 故选BCD． 答案　BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，若点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m＋n＝________. 解析　由于＝＋＝＋(＋) ＝＋＋， 所以m＝，n＝－. 则m＋n＝0. 答案　0 13．已知A(0,0，－x)，B，C三点，点M在平面ABC内，O是平面ABC外一点，且＝x＋2x＋4，则x＝__________，与的夹角为________． 解析　由A，B，C，M四点共面可知x＋2x＋4＝1， ∴x＝－1. ∴A(0,0,1)，C， ∴＝，＝， ∴cos〈，〉＝＝， 即与的夹角为. 答案　－1　 14．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当＝__________时，D1E⊥平面AB1F. 解析　如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，DF＝t，则A(2,0,0)，F(0，t,0)，B1(2，2,2)，D1(0,0,2)，E(1,2,0)，∴＝(1,2，－2)，＝(－2，t,0)，＝(0,2,2)， 若D1E⊥平面AB1F，则 即 解得t＝1，所以＝. 答案　 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求： (1)a，b，c； (2)a＋c与b＋c夹角的余弦值． 解析　(1)由题意知x≠0，y≠0.因为a∥b， 所以＝＝， 解得x＝2，y＝－4， 则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)， 又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0， 解得z＝2，所以c＝(3，－2,2)． (2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c的夹角为θ， 则cos θ＝＝－. 16．(15分)如图所示，已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2，底面ABCD是直角梯形，∠A为直角，AB∥CD，AB＝4，AD＝2，DC＝2. (1)求线段BC1的长度； (2)求异面直线BC1与DC所成角的余弦值． 解析　(1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0，2,0)，C1(0,2,2)， 所以＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)，||＝2，||＝＝2. (2)由(1)可知，＝(0,2,0)，＝(－2，－2,2)， 所以cos〈，〉＝＝ ＝＝.所以异面直线DC与BC1所成角的余弦值为. 17．(15分)在①平面PAB⊥平面ABCD，②AP⊥CD，③BC⊥平面PAB这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 问题：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是梯形，点E在BC上，AD∥BC，AB⊥AD，AB⊥AP，BC＝2AB＝2AD＝2AP＝4BE＝4，且________． (1)求证：平面PDE⊥平面PAC； (2)求直线PE与平面PAC所成角的正弦值． 解析　(1)证明　选条件① ∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，AP⊂平面PAB，AP⊥AB， ∴AP⊥平面ABCD． 又AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直． 以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,0)，E(2,1,0)，P(0,0,2)， ∴＝(2,4,0)，＝(0,0,2)，＝(2，－1,0)． ∵·＝2×2＋4×(－1)＋0×0＝0，·＝0×2＋0×(－1)＋2×0＝0， ∴AC⊥DE，AP⊥DE. 又AP∩AC＝A，∴DE⊥平面PAC． 又DE⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC． 选条件②. ∵底面ABCD为梯形，AD∥BC，∴两腰AB，CD必相交． ∵AP⊥AB，AP⊥CD，AB，CD⊂平面ABCD， ∴AP⊥平面ABCD． 又AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直．以下同选条件①. 选条件③. ∵BC⊥平面PAB，AP⊂平面PAB， ∴BC⊥AP. 又AP⊥AB，AB，BC⊂平面ABCD，AB∩BC＝B， ∴AP⊥平面ABCD． 又AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直．以下同选条件①. (2)由(1)可得平面PAC的一个法向量为＝(2，－1,0)，且＝(2,1，－2)． 设直线PE与平面PAC所成角为θ，则sin θ＝＝＝＝. ∴直线PE与平面PAC所成角的正弦值为. 18.(17分)如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱AB上的动点． (1)求证：DA1⊥ED1. (2)若直线DA1与平面CED1所成角为45°，求的值． (3)写出点E到直线D1C距离的最大值及此时点E的位置(结论不要求证明)． 解析　(1)证明　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0，1,0)，D1(0,0,1)，A1(1，0,1)． 设E(1，m,0)(0≤m≤1)， 则＝(1,0,1)，＝(－1，－m,1)， ·＝1×(－1)＋0×(－m)＋1×1＝0， 所以DA1⊥ED1. (2)设平面CED1的法向量为v＝(x，y，z)， 则 因为＝(0，－1,1)，＝(1，m－1,0)， 所以取z＝1， 得y＝1，x＝1－m，得v＝(1－m,1,1)． 因为直线DA1与平面CED1所成角为45°， 所以sin 45°＝|cos〈，v〉|＝＝， 所以＝，解得m＝， 所以点E的坐标为，所以的值为. (3)点E到直线D1C距离的最大值为，此时点E在点A处． 19．(17分)(2024·北京卷)如图，在四棱锥P­ABCD中，BC∥AD，AB＝BC＝1，AD＝3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE＝DE＝2. (1)若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD； (2)若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值． 解析　(1)第1步：作辅助线，通过证平行四边形来证BF∥CG 取PD的中点G，连接FG，CG(图略)， 因为F为PE的中点，所以FG＝DE＝1，FG∥DE， 又BC＝1，AD∥BC，所以FG＝BC，FG∥BC， 所以四边形FGCB为平行四边形， 所以BF∥CG， 第2步：利用线面平行的判定定理得证 又BF⊄平面PCD，CG⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD． (2)第1步：证明PE⊥平面ABCD 因为AB⊥平面PAD，PE⊂平面PAD，所以AB⊥PE， 又PE⊥AD，AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD， 所以PE⊥平面ABCD． 第2步：建立空间直角坐标系，写出相关点和向量的坐标 连接EC，易知四边形ABCE为矩形，故直线EC，ED，EP两两垂直，故以E为坐标原点，EC，ED，EP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0,0,2)，C(1,0,0)，D(0,2,0)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，则＝(1,0,0)，＝(0,1,2)，＝(1,0，－2)，＝(0,2，－2)． 第3步：分别求平面PAB和平面PCD的法向量 设平面PAB的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则 可取n1＝(0，－2,1)． 设平面PCD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则 可取n2＝(2,1,1)． 第4步：利用向量的夹角公式，即可得出平面PAB与平面PCD夹角的余弦值 设平面PAB与平面PCD的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝. 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$