1.3.1 空间直角坐标系(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 学业标准 素养目标 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点) 3．能在空间直角坐标系中求出向量的坐标．(重点) 　　通过空间直角坐标系的建立及空间向量的坐标表示，培养学生的数学抽象、直观想象和数学运算素养. 导学1　空间直角坐标系 在数轴上，一个实数就能确定一个点的位置．在平面直角坐标系中，需要一对有序实数才能确定一个点的位置．为了确定空间中任意一点的位置，需要几个实数？ [提示] 3个． 如图，怎样确切地表示室内灯泡的位置？ [提示] 如图所示，从图中看出，N点可以用两个有序实数表示，P与N点的不同在于竖直方向上与N有段距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数． 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴构成？其相对位置关系如何？ [提示] 三条交于一点且两两互相垂直的数轴． ◎结论形成 空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：__x轴__、__y轴__、__z轴__，它们都叫做坐标轴，这时就建立了一个空间直角坐标系__Oxyz__. (2)相关概念 点O叫做原点，i，j，k都叫做__坐标向量__，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为__Oxy__平面，__Oyz__平面，__Ozx__平面，它们把空间分成八个部分． (3)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__x轴__的正方向，食指指向__y轴__的正方向，如果中指指向__z轴__的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 导学2　空间向量的坐标 在平面直角坐标系内，每一个点和坐标都可用一对有序实数(及它的坐标)表示，那么对于空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也可以用坐标表示呢？ [提示] 可以． 怎样把空间向量用坐标表示？ [提示] 利用空间向量基本定理，把空间向量用单位正交基底表示． ◎结论形成 1．点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk. 在单位正交基底{i，j，k}下与向量对应的有序实数组__(x，y，z)__，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作__A(x，y，z)__，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标表示 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使　a＝xi＋yj＋zk　. 有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 1．思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于x轴的对称点是P1(a，－b，c)．(　　) (2)在空间直角坐标系中，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)．(　　) (3)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使得0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列点在x轴上的是(　　) A．(0.1,0.2,0.3)　　　　 B．(0,0,0.001) C．(5,0,0) D．(0,0.01,0) 解析　x轴上的点的纵坐标和竖坐标均为0. 答案　C 3．点P(1，－2,5)到Oxy平面的距离为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．5 解析　点P(1，－2,5)在Oxy平面上的射影是P′(1，－2，0)，则点P(1，－2,5)到Oxy平面的距离为|PP′|＝5. 答案　D 4．(多选)在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法不正确的是(　　) A．向量的坐标与点B的坐标相同 B．向量的坐标与点A的坐标相同 C．向量与向量的坐标相同 D．向量与向量－的坐标相同 解析　因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；B、C都不正确；由于＝－，所以D正确． 答案　ABC 题型一　求空间中点的坐标 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，点N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标． [自主解答]　如图，过点M作MM1⊥BC于点M1，连接DM1，取DM1的中点N1，连接NN1. 由|BM|＝2|MC1|，知|MM1|＝|CC1|＝， |M1C|＝|BC|＝. 因为M1M∥DD1， 所以M1M与z轴平行， 点M1与点M的横坐标、纵坐标相同， 点M的竖坐标为， 所以M的坐标为. 由N1为DM1的中点， 知N1的坐标为. 因为N1N与z轴平行， 且|N1N|＝＝， 所以点N的坐标为. 求某点P的坐标的方法 先找到点P在Oxy平面上的射影M，过点M向x轴作垂线，确定垂足N.其中|ON|，|NM|，|MP|即为点P坐标的绝对值，再按O→N→M→P确定相应坐标的符号(与坐标轴同向为正，反向为负)即可得到相应的点P的坐标． [触类旁通] 1.已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为5，侧棱长为13，建立的空间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标． 解析　因为|PO|＝＝＝12， 所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)， A，B， C，D. 题型二　空间中点的对称问题 求点A(1,2，－1)关于坐标平面Oxy及x轴对称的点的坐标． [自主解答]　过点A作AM⊥平面Oxy于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面Oxy对称且C的坐标为(1,2,1)．过点A作AN⊥x轴交x轴于点N，并延长到点B，使AN＝NB，则点A与点B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)． ∴A(1,2，－1)关于坐标平面Oxy对称的点为C(1，2,1)，关于x轴对称的点为B(1，－2,1)． 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点 (1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)； (2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)； (3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)； (4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)； (5)关于Oxy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)； (6)关于Oyz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)； (7)关于Oxz坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)． 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于Oxy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． [触类旁通] 2．已知点P(2,3，－1)，求： (1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标； (2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标； (3)点P关于坐标原点对称的点的坐标． 解析　(1)设点P关于Oxy坐标平面的对称点为P′，则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数． 所以，点P关于Oxy坐标平面的对称点P′的坐标为(2,3,1)． 同理，点P关于Oyz，Oxz坐标平面的对称点的坐标分别为(－2,3，－1)，(2，－3，－1)． (2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3,1)． 同理，点P关于y轴、z轴的对称点的坐标分别为(－2,3,1)，(－2，－3，－1)． (3)点P(2,3，－1)关于坐标原点的对称点的坐标为(－2，－3,1)． 题型三　空间向量的坐标表示 一题多解　一题多变 如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，点M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，并求向量. [自主解答]　∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴，，是两两垂直的单位向量． 设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz. 解法一　∵＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－＋＋(＋) ＝－＋＋(＋＋) ＝＋＝e2＋e3， ∴＝. 解法二　如图，连接AC，BD交于点O，则O为AC，BD的中点，连接MO，ON. ∴＝＝，＝， ∴＝＋ ＝＋ ＝e2＋e3. ∴＝. [母题变式] 1．(变条件)若例3条件“PA＝AB＝1”变为“PA＝AB＝2”，则结果发生变化吗？ 解析　求解过程一样，结果有变化，＝(0,1,1)． 2．(变结论)若例3条件不变，如何求MN? 解析　由已求可知， ＝e2＋e3. 所以||＝＝， 所以MN的长度为. [素养聚焦] 本题考查空间向量的坐标表示，注意单位正交基底的选择，通过空间向量的坐标表示提升学生直观想象和数学运算等核心素养． 用坐标表示空间向量的步骤 [触类旁通] 3．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，建立适当的空间直角坐标系，求向量，，的坐标． 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设＝i， ＝j，＝k， ＝4i＋0j＋0k＝(4,0,0)， ＝＋＝0i＋4j＋4k ＝(0,4,4)， ∴＝＋＝＋＋ ＝－4i＋4j＋4k＝(－4,4,4)． [知识落实] (1)空间直角坐标系． (2)空间中点及向量的坐标． [技法强化] (1)求点的坐标的方法：作垂线段法、构造长方体法． (2)求向量的坐标，要结合图形的几何性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$