6.6.3球的表面积和体积（同步课件）高一数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦球的表面积和体积，通过回顾圆柱、圆锥、圆台等旋转体知识，结合圆的性质引导学生猜想球的性质，搭建旧知到新知的学习支架，系统讲解球的大圆小圆、切线长及表面积体积公式。 其亮点在于以探究活动培养数学眼光，通过切线长等问题引导学生发现规律，典例剖析（如冰激凌体积比较、钢球半径计算）发展数学思维，公式推导与解题过程用数学语言精确表达，帮助学生构建知识体系，提升探究能力，教师可高效开展教学。

6.3球的表面积和体积 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第六章 立体几何初步 第6节 简单几何体的再认识 导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结 在前面我们学过圆柱、圆锥、圆台这三种旋转体，今天我们再来 学一种旋转体——球体. 探究一 导入课题 思考： 同学们，请先回忆下我们学过的圆，根据圆的相关性质，猜猜球有 哪些性质？ 新知探究 典例剖析 课堂小结 一、球的大圆与小圆 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，球的大圆与小圆： 用一个平面去截半径为的球，若平面经过球心，则平面与球面的公共点显然都是共面的且到球心的距离都为，这说明过球心的平面截球面所得截线是以球心为圆心的圆. 当平面不经过球心时(如图)，不妨设于点，记，对于平面与球面的任意一个公共点，都满足，所以.此时截线是以点为圆心、以为半径的圆的小圆. 球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 探究二 导入课题 思考： 过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点P，可以作球的无数条切线，那么所有切线的切线长相等吗?所有切点组成什么图形? 新知探究 典例剖析 课堂小结 二、球的切线长、表面积与体积 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，球的切线长： 设过点的直线与球相切于点，则平面与球面的交线是球的大圆(如图），由直线与圆相切的性质可得，所以. 设点在上的垂足为，则长度恒定不变. 这说明，过球外一点的所有切线的切线长都相等，这些切点的集合是以点为圆心、为半径的圆，圆面及所有切线围成了一个圆锥(如图). 二、球的切线长、表面积与体积 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 2，球的表面积与体积： 球的表面积和体积可用下面的公式来计算： 其中为球的半径. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P255例题 解：因为， ， 所以， 冰激凌融化了，不会溢出杯子。 例6 如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，4 cm 如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变) 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P255例题 解：如图6-104,设钢球半径为Rcm,根据题意，得 解得， 所以钢球的半径为. 例7 一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3 cm,瓶里所装的水深为8 cm,将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5 cm.求钢球的半径. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P256练习 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P256练习 1，. 2，. 3，；. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：与球有关的相“切”问题 思考一：(1)“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的 侧面及上、下底面均相切，求该圆柱的体积与球的体积之比________． (2)正三棱锥侧棱长为，底面棱长为2，三棱锥内切球表面 积是________． 解：(1)由题意得圆柱的高及底面圆的直径为球的直径，设球的半径为， 则圆柱的体积为，球的体积为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：与球有关的相“切”问题 思考一：(1)“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的 侧面及上、下底面均相切，求该圆柱的体积与球的体积之比________． (2)正三棱锥侧棱长为，底面棱长为2，三棱锥内切球表面 积是________． 解：(2)设内切球半径为，则三棱锥高， 斜高，表面积，体积，解得， 所以内切球的表面积为. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：与球有关的相“接”问题 思考二：(1)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，求球的表面积为________． (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的半径为________． 解：(1)长方体的长，宽，高分别为3，2，1， 设外接球的半径为R，则， 解得，所以. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：与球有关的相“接”问题 思考二：(1)长方体的长，宽，高分别为3，2，1，其顶点都在球O的球面上，求球的表面积为________． (2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为6，底面边长为4，则该球的半径为________． 解：(2)如图，正四棱锥中，为四棱锥的高，根据球的相关知识可知，四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，因为底面边长为4，所以， 设球半径为，在中， ，即， 解得. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 课堂 小结 本节重点 思想方法 1，球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体．解答时要找准切点，通过作截面来解决．常有以下两个途径： (1)利用内切球的定义直接找球心和半径； (2)利用等体积直接来求半径(球内切于多面体，则球心到各个面的距离相等)． 2，求空间多面体的外接球半径的常用方法 (1)补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解． (2)利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径． (3)定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点的距离也是半径，列关系式求解即可． 一，球的大圆与小圆 二，球的切线长、表面积与体积 1，球的切线长 2，球的表面积与体积 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 课后作业 作业1:5．已知圆锥的底面周长是2π，母线长是3，求该圆锥内切球的表面积． 解析：设圆锥底面半径为r，则，解得， 设内切球半径为， 则利用轴截面等面积法可得， 解得， 所以该圆锥内切球的表面积为. 谢谢聆听！