第一章 直线与圆（B单元重点综合卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第1章 直线与圆单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 6．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 7．已知点是圆上一点，直线交圆于两点，且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 8．设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 10．已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 11．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆在点处的切线方程为 ． 13．已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 14．若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 16．（15分） 已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 17．（15分） 在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 19．（17分） 已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 直线与圆单元测试（B综合卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 1、 单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．若直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程得到直线的斜率，从而得到倾斜角. 【详解】直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：A 2．两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 3．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据公切线的条数可知两圆外离得：。 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 4．设点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件求出直线的斜率，再画出图形分析可得或，从而即可得解. 【详解】依题意，直线的斜率分别为， 如图所示： 若直线过点且与线段相交， 则的斜率满足或， 即的斜率的取值范围是或 . 故选：B 5．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（    ） A．8 B．5 C．2 D．1 【答案】A 【分析】设圆心到直线的距离为到直线的距离为，易知当最大时，，此时的面积最大，由此容易得解． 【详解】设圆心到直线的距离为到直线的距离为， 又圆心坐标为，则， 又半径为，则当最大时，， 此时面积也最大，． 故选：A． 6．圆：与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心距，则有，即可判断两圆位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为；， 则圆的圆心为，半径为. 两圆心之间的距离， 且满足，可知两圆相交. 故选：A. 7．已知点是圆上一点，直线交圆于两点，且，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到圆心到直线的距离为，且1，求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 因为，可得圆心到直线的距离为，且1， 可得，解得或， 当时，；当时，，所以. 故选：A. 8．设A为直线上一点，P，Q分别在圆与圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出关于直线对称的点的坐标，转化即可求解. 【详解】设关于直线对称的点的坐标为， 则，解得，， 即，由对称性可知， 对于圆，圆心，半径，， 当且仅当A，C，三点共线时等号成立， 由于，， 则. 故选A． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知直线和直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则表示与轴平行或重合的直线 B．直线可以表示任意一条直线 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用线线平行、线线垂直的性质可直接判断. 【详解】对于A，当时，斜率为0，与轴平行或重合，故A正确； 对于B，当时，斜率不存在，当时，斜率存在，能表示任意直线，故B正确； 对于C，若，且或，则，故C错误； 对于D，若，则由可得斜率之积为-1，故，若，可得，此时满足，此时两条直线一条斜率为0，一条斜率不存在，故，故D正确. 故选：ABD. 10．已知圆，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆的周长为 C．圆与圆外切 D．圆截轴所得的弦长为3 【答案】BC 【分析】根据圆C和圆M的方程得它们的圆心和半径即可求解判断ABC，对于D求出圆C上横坐标为0的点的纵坐标即可判断. 【详解】对于AB，圆的方程可化为， 可得圆心的坐标为，半径为，则周长为，可知错误，正确； 对于，由，为两圆半径之和，可知正确； 对于，令，可得，解得或3， 可得圆截轴所得的弦长为4，可知错误. 故选：BC. 11．已知圆和圆的交点为，则下列说法正确的是（    ） A．两圆的圆心距 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和，使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】AD 【分析】A选项，求出两圆的圆心，得到圆心距；B选项，两圆相减得到直线的方程；C选项，线段是圆的直径，故C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，从而得到最大距离. 【详解】对于，因为圆的圆心坐标为，圆的圆心坐标， 因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A正确； 对于，将两圆方程作差可得， 即得公共弦的方程为，故B错误； 对于，由B选项可知，直线的方程为，由于满足上， 故直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径， 故圆中不存在比长的弦，故C错误； 对于，圆的圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的最大距离为，故D正确， 故选：AD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知点在圆上，根据垂直关系可得切线方程的斜率，即可得切线方程. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，可知点在圆上， 又因为，可知切线方程的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 13．已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将两个圆的方程化为标准形式，再根据两圆相交得到关于的不等式，解不等式即可. 【详解】圆化为标准方程得， 则圆心，半径， 圆化为标准方程为， 则圆心，半径， 因为两圆相交，所以，即，解得. 故答案为：. 14．若圆与圆有且仅有一条公切线，则 . 【答案】 【分析】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切，故两圆圆心距离为半径之差，计算即可得. 【详解】由两圆有且仅有一条公切线，故两圆内切， 由可得， 即该圆以为圆心，为半径， 圆，圆心为， 故有且， 解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程： (1)与直线平行； (2)与直线垂直. 【详解】（1）由，解得，即点， 设所求直线方程为，则，解得， 所以所求直线方程为. （2）由（1）知，点，设所求直线方程为， 则，解得， 所以所求方程为. 16．已知的顶点坐标分别为.圆为的外接圆. (1)求圆的方程； (2)若直线，求证：不论为何值，直线与圆相交. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为在圆上， 所以，解得，满足， 所以圆的方程为； （2）直线，对于， 可得，解得，所以直线过定点， 因为，所以点在圆内， 所以不论为何值，直线与圆总相交. 17．在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 18．已知是圆上的动点，点满足，记的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)直线与圆交于两点，是曲线上一点.当取得最小值时，求面积的最大值. 【详解】（1）由题意，设，由，得, 为圆：上的动点，所以， 所以点的轨迹方程为：. 即曲线的方程为：. （2）将的方程整理为， 令解得所以过定点. 如图： 当时，取得最小值，此时，所以，解得， 直线的方程为， ，. 由（1）可知，曲线是圆心为，半径为3的圆，点到的距离为，所以点到的距离， 故面积的最大值为. 19．已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$