专题11 相似形与解直角三角形【好题汇编】-5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河北专用）

专题11 相似形与解直角三角形 相似形部分 1．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 2．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 3．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 4．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 5．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； (3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）． 6．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 7．（2020·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持． （1）当点在上时，求点与点的最短距离； （2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长； （3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）； （4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长． 8．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1） 度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．    解直角三角形部分 9．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 10．（2022·河北·中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线． 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． (1)求∠C的大小及AB的长； (2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1） 相似形部分 11．（2024·河北保定·一模）如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 13．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 14．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论： I 与是相似三角形； Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（        ） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 15．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 16．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 17．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知地面阴影（圆形）的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 18．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2024·河北邢台·一模）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（    ） A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 20．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 22．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    23．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 ． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 ．    24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 25．（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 解直角三角形部分 26．（2024·河北张家口·三模）如图，点在上，交于点，，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 27．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（  ） A． B． C． D． 28．（2024·浙江温州·二模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 29．（2024·河北沧州·三模）如图，点在三角板的斜边上，，以为半径作圆，交斜边于另一点，其中为．则的值是（    ） A． B． C． D．1 30．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为外一点，点和点在圆上，分别连接和交于点和点，，且，若，则的比为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·河北张家口·三模）有一题目：“如图，在四边形中，，，，，将边绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，求旋转角的度数．”嘉嘉说：“角为．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（    ） A．淇淇说的对，且角的另外两个值是， B．淇淇说的对，且角的另外两个值是， C．淇淇说的不对，角就得 D．两人都不对，角仅有2个不同值                  32．（2024·河北保定·二模）题目“如图，，，P为线段上一动点，Q为点A关于点P的对称点，连接．当有一个内角为时，求的长．”甲的答案为；乙的答案为；丙的答案为，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、乙两人的答案合在一起才完整 C．甲、丙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 33．（2024·河北石家庄·三模）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为 ； （2）当时，若，，时，的长为 ． 34．（2024·河北张家口·三模）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，于点． （1） （用含的式子表示）； （2）若，则 ． 35．（2024·河北石家庄·二模）如图，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，，在两个图形上方按照图中方式放置一个边长为6的等边三角形，经测量，此时， （1）的度数为 ； （2）点K到的距离为 36．（2024·河北石家庄·二模）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内． (1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）． (2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由． 37．（2024·河北廊坊·二模）嘉嘉使用桌上书架如图所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长 (2)如图这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处．当她看书上距离桌面高度为的点时，她向下看的俯角为，眼睛到桌面高度，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：） 38．（2024·河北唐山·二模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A 的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离的点G 处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线）， 求张亮的身高约是多少厘米； (2)夕夕身高，头部高度为，踮起脚尖可以增高，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到，参考数据：，） 39．（2024·河北石家庄·三模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． (1)如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； (2)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 40．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 41．（2024·河北邯郸·二模）一款手动铡切刀的侧面示意图如图1所示，圆弧形刀刃和手柄构成刀身，点M，P，Q总在一直线上，与切割槽在转轴（点Q）处连接．延长支撑杆交切割槽于点K，当铡切刀绕点Q旋转时，与的另一个交点为T（图3），已知． (1)如图2，当与相切时，，求弦和的长； (2)如图3，在铡切刀从与相切的位置开始下降的过程中（点P未经过），判断的度数是否改变，若改变说明理由；若不改变，求出的度数． （结果保留一位小数，） 42．（2024·河北石家庄·二模）为了提高学生的行车安全意识，某学校数学活动小组设计了如图所示的模拟公路单点测速实验：先在笔直车道旁取一点安置测速仪，再在车道上确定两点、，当车辆经过、两点时，测速仪就会自动拍摄车辆的照片，根据两张照片的时间差和的距离就可以测算出车速．测得点到车道的距离为，，.（参考数据：，，，，，） (1)求的长（每一步的计算结果均精确到）； (2)《道路交通安全法》规定：普通道路行驶的小型机动车超速未超不扣分，只罚款，超速超过但未超过扣分并罚款，超速超过以上，扣分并罚款．若该路段对汽车限速，某小型汽车从到用时，这辆车是否超速了？如果超速了，驾驶员将受到哪种处罚？ 43．（2024·河北沧州·三模）如图，，，，分别以点，点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)当直线与圆相切时，求的值； (3)当时，求阴影部分的面积．（结果保留） 44．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 45．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，，，点是斜边的中点，点是边的中点，连接，点为线段上一点，作点关于直线对称点，连接、，设长为（）． (1)A的长为________． (2)求长度（用含的代数式表示）． (3)当点落在直线上时，求的值． (4)探究：直线会与的边或垂直吗？如果会，请直接写出的值． 46．（2024·河北唐山·二模）如图1，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向点C运动，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段． (1)点B到的距离为 ； (2)当时，求的长； (3)如图2，当时，求的值； (4)若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在区域（含边界）内的时长． 47．（2024·河北石家庄·三模）综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 48．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接，． (1)求证：； (2)若将绕点B按顺时针方向旋转，当边与重合时停止，求边扫过的面积； (3)将一个与完全重合的透明三角板进行如下操作． ①若将三角板沿射线方向平移，如图2，当点落在边上时，立刻将绕点顺时针旋转，点H在上，且，若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒，在整个运动过程中，求出点H在区域（含边界）内的时长； ②若将三角板沿射线方向平移，如图3，当点与①中H点重合时，立刻将绕点逆时针旋转，当点落在边上时停止，设旋转过程中分别交于点P，Q，若，直接写出旋转过程中的长（用含d的式子表示）． 49．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，在四边形中，，，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，连接并延长，将射线绕点P逆时针旋转，旋转角总与相等，当旋转后的射线与射线相交时，设交点为M．令，，点P的运动时间为． (1)当点P在线段上（点P不与端点重合）时，求证：． (2)如图2，当，且点P在线段上（点P不与端点重合）时，在线段上截取，连接，求证：． (3)如图3，当，且点P在的延长线上时，已知，， ①求出y与t的函数关系式； ②若交于点H，已知，直接写出t的值． 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 相似形与解直角三角形 相似形部分 1．（2020·河北·中考真题）在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（    ） A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【答案】A 【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案． 【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形． 故选：A 【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形． 2．（2021·河北·中考真题）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 3．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则 （1）AB与CD是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）AE＝ ． 【答案】 是 / 【分析】（1）证明△ACG≌△CFD，推出∠CAG=∠FCD，证明∠CEA=90°，即可得到结论； （2）利用勾股定理求得AB的长，证明△AEC∽△BED，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：（1）如图：AC=CF=2，CG=DF=1，∠ACG=∠CFD=90°，   ∴△ACG≌△CFD， ∴∠CAG=∠FCD， ∵∠ACE+∠FCD=90°， ∴∠ACE+∠CAG=90°， ∴∠CEA=90°， ∴AB与CD是垂直的， 故答案为：是； （2）AB=2， ∵AC∥BD， ∴△AEC∽△BED， ∴，即， ∴， ∴AE=AB=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．（2024·河北·中考真题）如图，的面积为，为边上的中线，点，，，是线段的五等分点，点，，是线段的四等分点，点是线段的中点． （1）的面积为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）证明，得，推出、、三点共线，得，继而得出，，证明，得，推出，最后代入即可． 【详解】解：（1）连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点，，，是线段的五等分点， ∴， ∵点，，是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴的面积为， 故答案为：； （2）在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键． 5．（2023·河北·中考真题）如图1和图2，平面上，四边形中，，点在边上，且．将线段绕点顺时针旋转到的平分线所在直线交折线于点，设点在该折线上运动的路径长为，连接．    (1)若点在上，求证：； (2)如图2．连接． ①求的度数，并直接写出当时，的值； ②若点到的距离为，求的值； (3)当时，请直接写出点到直线的距离．（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和角平分线的概念得到，，然后证明出，即可得到； （2）①首先根据勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先画出图形，然后证明出，利用相似三角形的性质求出，，然后证明出，利用相似三角形的性质得到，进而求解即可； ②当点在上时，，，分别求得，根据正切的定义即可求解；②当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，证明，得出，，进而求得，证明，即可求解； （3）如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）∵将线段绕点顺时针旋转到， ∴ ∵的平分线所在直线交折线于点， ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）①∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴，即 ∴解得 ∴． ②如图所示，当点在上时，，    ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴； 如图所示，当在上时，则，过点作交的延长线于点，延长交的延长线于点，    ∵， ∴， ∴ ∴ 即 ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ 解得： ∴， 综上所述，的值为或； （3）解：∵当时， ∴在上， 如图所示，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，，    ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，，设， 即 ∴， ∴ 整理得 即点到直线的距离为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，求正切值，熟练掌握以上知识且分类讨论是解题的关键． 6．（2021·河北·中考真题）在一平面内，线段，线段，将这四条线段顺次首尾相接．把固定，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随出现到相应的位置． （1）论证  如图1，当时，设与交于点，求证：； （2）发现  当旋转角时，的度数可能是多少？ （3）尝试  取线段的中点，当点与点距离最大时，求点到的距离； （4）拓展  ①如图2，设点与的距离为，若的平分线所在直线交于点，直接写出的长（用含的式子表示）； ②当点在下方，且与垂直时，直接写出的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）或；（3）；（4）①；②． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，由此即可得证； （2）分如图（见解析）所示的两种情况，先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据菱形的判定与性质可得，然后根据平行线的性质、角的和差即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得当点共线时，取得最大值，再画出图形（见解析），利用勾股定理求出的长，然后求出的值，最后在中，解直角三角形即可得； （4）①如图（见解析），先根据等腰三角形的三线合一可得，再同（3）的方法可求出的长，然后证出，根据相似三角形的性质即可得； ②如图（见解析），只需考虑的情形，先利用勾股定理可得，再同（3）的方法可求出的长，从而可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质和可求出的长，最后根据余弦三角函数的定义即可得． 【详解】证明：（1）， ， 在和中，， ， ， ， ； （2）由题意，由以下两种情况： ①如图，取的中点，连接，则， ， 是等边三角形， ， ， 四边形是菱形， ， ， ； ②如图，当点与的中点重合， 则， 是等边三角形， ， 综上，的度数为或； （3）如图，连接， ， ，当且仅当点共线时，等号成立， 如图，过点作于点，过点作于点，则即为所求， ， ， 设，则， ， ， 解得， ，， 在中，， 在中，， 即当点与点距离最大时，点到的距离为； （4）①如图，连接交于点，过点作于点， 平分，， ，（等腰三角形的三线合一）， 设，则， ， ， 解得，即， 在和中，， ， ，即， 解得； ②初中阶段没有学习钝角的余弦值，且， 只需考虑的情形， 如图，设与交于点，过点作于点，连接， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， ， 设，则， 在和中，， ， ，即， 解得， ， ， 解得， 则． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，较难的是题（4），正确画出相应的图形，并通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 7．（2020·河北·中考真题）如图1和图2，在中，，，．点在边上，点，分别在，上，且．点从点出发沿折线匀速移动，到达点时停止；而点在边上随移动，且始终保持． （1）当点在上时，求点与点的最短距离； （2）若点在上，且将的面积分成上下4：5两部分时，求的长； （3）设点移动的路程为，当及时，分别求点到直线的距离（用含的式子表示）； （4）在点处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域（含边界），扫描器随点从到再到共用时36秒．若，请直接写出点被扫描到的总时长． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；（4） 【分析】（1）根据当点在上时，PA⊥BC时PA最小，即可求出答案； （2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E，证明△APQ∽△ABC，可得，根据=可得 ，可得，求出AB=5，即可解出MP； （3）先讨论当0≤x≤3时，P在BM上运动，P到AC的距离：d=PQ·sinC，求解即可，再讨论当3≤x≤9时，P在BN上运动，BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x，根据d=CP·sinC即可得出答案； （4）先求出移动的速度==，然后先求出从Q平移到K耗时，再求出不能被扫描的时间段即可求出时间． 【详解】（1）当点在上时，PA⊥BC时PA最小， ∵AB=AC，△ABC为等腰三角形， ∴PAmin=tanC·=×4=3； （2）过A点向BC边作垂线，交BC于点E， S上=S△APQ， S下=S四边形BPQC， ∵， ∴PQ∥BC， ∴△APQ∽△ABC， ∴， ∴， 当=时，， ∴， AE=·， 根据勾股定理可得AB=5， ∴， 解得MP=； （3）当0≤x≤3时，P在BM上运动， P到AC的距离：d=PQ·sinC， 由（2）可知sinC=， ∴d=PQ， ∵AP=x+2， ∴， ∴PQ=， ∴d==， 当3≤x≤9时，P在BN上运动， BP=x-3，CP=8-（x-3）=11-x， d=CP·sinC=（11-x）=-x+， 综上； （4）AM=2<AQ=， 移动的速度==， ①从Q平移到K，耗时：=1秒， ②P在BC上时，K与Q重合时 CQ=CK=5-=， ∵∠APQ+∠QPC=∠B+∠BAP， ∴∠QPC=∠BAP， 又∵∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCQ， 设BP=y，CP=8-y， ，即， 整理得y2-8y=， （y-4）2=， 解得y1=，y2=， ÷=10秒， ÷=22秒， ∴点被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，一次函数的应用，结合知识点灵活运用是解题关键． 8．（2023·河北·中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点．则图2中 （1） 度． （2）中间正六边形的中心到直线l的距离为 （结果保留根号）．    【答案】 【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解； （2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线l的距离转化为求，再根据正六边形的特征及利用勾股定理及三角函数，分别求出即可求解． 【详解】解：（1）作图如下：    根据中间正六边形的一边与直线l平行及多边形外角和，得， ， 故答案为：； （2）取中间正六边形的中心为，作如下图形，    由题意得：，,， 四边形为矩形， ， ， ， ， 在中，， 由图1知， 由正六边形的结构特征知：， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征． 解直角三角形部分 9．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离，仰角为；淇淇向前走了后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面的距离，点P到的距离，的延长线交于点E．（注：图中所有点均在同一平面） (1)求的大小及的值； (2)求的长及的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，理解仰角与俯角的含义以及三角函数的定义是解本题的关键； （1）根据题意先求解，再结合等腰三角形的性质与正切的定义可得答案； （2）利用勾股定理先求解，如图，过作于，结合，设，则，再建立方程求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ，， ∴，，， ∴， ∴，； （2）解：∵，， ∴， 如图，过作于， ∵，设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴． 10．（2022·河北·中考真题）如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线． 嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°．已知爸爸的身高为1.7m． (1)求∠C的大小及AB的长； (2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．（参考数据：取4，取4.1） 【答案】(1)， (2)见详解，约米 【分析】（1）由水面截线可得，从而可求得，利用锐角三角形的正切值即可求解． （2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，水面截线，即可得DH即为所求，由圆周角定理可得，进而可得，利用相似三角形的性质可得，利用勾股定理即可求得的值，从而可求解． 【详解】（1）解：∵水面截线 ， ， ， 在中，，， ， 解得． （2）过点作，交MN于D点，交半圆于H点，连接OM，过点M作MG⊥OB于G，如图所示： 水面截线，， ，， 为最大水深， ， ， ，且， ， ，即，即， 在中，，， ，即， 解得， ， 最大水深约为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形，主要考查了锐角三角函数的正切值、圆周角定理、相似三角形的判定及性质、平行线的性质和勾股定理，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解题的关键． 相似形部分 11．（2024·河北保定·一模）如图，嘉嘉要测量池塘两岸A，B两点间的距离，先在的延长线上选定点C，测得，再选一点D，连接，，作，交于点E，测得，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，得出，根据相似三角形的性质和比例的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴，即， 解得． 故选：C． 12．（2024·河北衡水·一模）如图，以的边为边作正方形，与，分别交于点F，G，若，，，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作，由三角形中位线定理可求出的长，由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理得 ，即可求解；掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，通过勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图，过作， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴()， ， ， ； 故选：D． 13．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【分析】根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．本题考查了相似三角形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键． 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 14．（2024·河北唐山·二模）将的各边按如图所示的方式向内等距缩，得到，有以下结论： I 与是相似三角形； Ⅱ与是位似三角形．下列判断正确的是（        ） A．Ⅰ，Ⅱ都正确 B．Ⅰ，Ⅱ都不正确 C．Ⅰ正确，Ⅱ不正确 D．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线． 先利用平行线的判定方法得到，，，再根据平行线的性质得到，，从而可判断；分别延长、、，它们相交于一点，根据位似的定义可判断与是位似三角形． 【详解】解：的各边按如图所示的方式向内等距缩得到， ，，， ∴， ， 同理可得：， ，所以Ⅰ正确； 分别延长、、，它们相交于一点，如图， 与是位似三角形，所以Ⅱ正确． 故选：A． 15．（2024·河北石家庄·三模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁4米，爸爸拿着的光源与小明的距离为2米，如图2所示．若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的距离应（    ） A．增加0.5米 B．增加1米 C．增加2米 D．减少1米 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影、相似三角形的判定与性质，解题是关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题，根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】解：如图：点为光源，为小明的手，表示小狗手影，则，作，延长交于，则， ，， ∴，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 令，则， ∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图， ， 即，，， ∴，则， ∴米， ∴光源与小明的距离应增加米， 故选：C． 16．（2024·河北邯郸·二模）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 17．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知地面阴影（圆形）的直径为1.5米，桌面距地面1米．若灯泡距离桌面2米，则桌面的直径为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】D 【分析】本题主要考查了位似图形．熟练掌握相似三角形的判断和性质，是解决问题的关键． 根据，得到，得到，即得． 【详解】解：依题意知，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 得， 即桌面的直径为1米． 故选：D． 18．（2024·河北沧州·三模）如图，和是以点为位似中心的位似图形，如果和的面积比为，则应将放大为原图形的（    ）倍． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心位似图形的性质．熟练掌握中心位似图形的性质是解题的关键． 由和是以点为位似中心的位似图形，可知，则，可求，然后作答即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 解得，， ∴应将放大为原图形的2倍， 故选：B． 19．（2024·河北邢台·一模）如图，在正方形网格图中，以O为位似中心，作线段的位似图形，若点D是点B的对应点，则点A的对应点是（    ） A．C点 B．F点 C．E点 D．G点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图，连接，并延长， ∵以O为位似中心，作线段的位似图形，点D是点B的对应点， ∴位似比为， ∴点A的对应点是G， 故选：D． 20．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点О为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似的性质，连接，，，并延长，观察交点即可求解 【详解】解：连接，，，并延长如图所示， ， ∴的位似图形是， 故选：C． 21．（2024·河北沧州·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别为．以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似图形的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或； 根据位似变换的性质计算，判断即可． 【详解】解：以点O为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得， 故选：D． 22．（2024·河北沧州·一模）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，格点的位似图形是格点 ，（三角形的顶点为M，N，P，Q，K，T中的三点），该三角形与 的位似比为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似三角形，根据位似三角形的定义，进行判断，根据位似比等于相似比，求出位似比即可． 【详解】解：由题意和图可知：以点O为位似中心，格点的位似图形是格点， ∴， 该三角形与 的位似比为； 故答案为：；． 23．（2024·河北石家庄·二模）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图1和如图2，正方形的边长为，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，已知． （1）四边形的外接圆半径为 ． （2）将正方形顺时针旋转一定角度，达到如图所示的位置，若点在线段延长线上，则长为 ．    【答案】 【分析】本题考查位似图形的性质，正方形与圆的性质，旋转的性质； （1）根据正方形的边长为4和位似比求出，进而即可求解．解题关键求出正方形的边长； （2）根据题意证明，设，在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接，   正方形与四边形是位似图形， 四边形是正方形， ， ∴是四边形的外接圆直径， 正方形的边长为4，， ， ， 四边形的外接圆半径为， 故答案为：． （2）∵， ∵点在线段延长线上， 又 ∴ 又 ∴ ∴ 设， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） 故答案为：． 24．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 25．（2024·河北邯郸·二模）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：均为直角三角形，其中，现以为边作四边形，且，，点在一条直线上． 第一步，如图1，将的顶点与点重合，在上； 第二步，如图2，将绕点逆时针方向旋转，每秒旋转分别与边交于点； 第三步，如图3，当旋转到点落在上时停止旋转，此时点恰好在上； 第四步，如图4，在第三步的基础上，点带动立即沿边从点向点平移，每秒个单位长度，当点与点重合时停止运动，设整个过程中的运动时间为ts． (1)如图1，①______；②点到直线的距离是______； (2)如图2，求证； (3)如图3，当从初始位置到点落在上时，求的长度； (4)当点落在四边形的边上时，直接写出对应的值． 【答案】(1)①=；②2； (2)见解析； (3)； (4)7或． 【分析】对于（1），根据勾股定理解答即可； 对于（2），根据“两角相等的两个三角形相似”证明即可； 对于（3），如图，连接，并说明，可求出，再求出，然后证明可得，进而得出，再根据勾股定理求，可根据特殊角的三角函数求出，然后根据勾股定理，得，最后根据求出答案． 【详解】（1）①；②2． 根据勾股定理，得． 根据题意，可知， ∴，， ∴， 解得， 所以点A到的距离是2． 故答案为：，2； （2）根据题意可知， ∴， ； （3）如图，连接， ， 则． ， ． ， 则． ∵，，， ∴ ． 又 ． 又 根据勾股定理，得， ， 根据勾股定理，得， ． （4）7或． 由（3）知，当从初始位置旋转到点落在上时，， 则旋转所用时间为； 当平移到点落在上时，如图2，连接，由（3）知， ， ，在取点，使得， ． 设，则， 由， 得， 解得 ∴点平移的距离为， 平移所用的时间为， 故当平移到点落在上时，所运动的总时间为． 综上所述，的值为7或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定，平移和旋转，等腰三角形的性质和判定，画出旋转和平移的图形并构造辅助线是解题的关键． 解直角三角形部分 26．（2024·河北张家口·三模）如图，点在上，交于点，，则下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形的外角性质以及平行线的判定及性质，关键是掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定判定选项，根据三角形的外角性质及平行线的性质判断选项，利用解直角三角形求得，即可判断选项，利用平行线的性质及三角形的外角性质求得即可判断选项． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故正确，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴，故正确，不符合题意； ∵，， ∴ ∴， ∴，故正确，不符合题意； ∵， ∴ ∵， ∴故不正确，符合题意． 故选：． 27．（2024·河北邯郸·三模）如图所示，两个边长相等的正六边形的公共边为，点A，B，C在同一直线上，点，分别为两个正六边形的中心．则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及锐角三角函数的定义是正确解答的关键．连接，过点作于点E，设正六边形的边长为a，分别计算出和即可得到答案． 【详解】解：连接，过点作于点E， 设正六边形的边长为a， 则， 在直角三角形中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 28．（2024·浙江温州·二模）图1是一款折叠日历，图2是其侧面示意图，若，，，， 则点A，D 之间的距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形性质，连接和，作于点，由等腰三角形性质可知，，三点共线， ，，利用解直角三角形得到，，最后利用计算求解，即可解题． 【详解】解：连接和，作于点， ，， ，，三点共线， ，， ，， ，， ． 故选：D． 29．（2024·河北沧州·三模）如图，点在三角板的斜边上，，以为半径作圆，交斜边于另一点，其中为．则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，正弦．熟练掌握圆周角定理，正弦是解题的关键． 如图，连接，由，可得，进而可求． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 30．（2024·河北石家庄·二模）如图，点为外一点，点和点在圆上，分别连接和交于点和点，，且，若，则的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形． 连接，得到是平行四边形，则，然后得到，然后得到，利用解直角三角形求比值即可． 【详解】连接， ∵ ∴是平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 31．（2024·河北张家口·三模）有一题目：“如图，在四边形中，，，，，将边绕点逆时针旋转角得到，连接，．当为直角三角形时，求旋转角的度数．”嘉嘉说：“角为．”而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，角还应有另外两个不同的值．”下列判断正确的是（    ） A．淇淇说的对，且角的另外两个值是， B．淇淇说的对，且角的另外两个值是， C．淇淇说的不对，角就得 D．两人都不对，角仅有2个不同值 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识．熟练掌握旋转的性质，解直角三角形是解题的关键． 由旋转的性质可知，，，由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解；然后判断作答即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， 由题意知，当为直角三角形时，分①；②；③；三种情况求解； ①当时，如图1，          ∴， 如图1，作于， ∴， ∴重合，即， ∴， ∴； ②当时，如图，连接，作于， ∴， ∴重合，即， ∴在线段上， ∴， ∴； 如图，点在的延长线上，         同理，， ∴； ③当时，如图3，               ∴在以为直径的圆上运动，同时在以为圆心，为半径的圆上运动， 由②可得，， ∵， ∴两个圆无交点，即此情况不成立； 综上所述，角有3个不同值或或； ∴淇淇说的对，且角的另外两个值是，， 故选：B． 32．（2024·河北保定·二模）题目“如图，，，P为线段上一动点，Q为点A关于点P的对称点，连接．当有一个内角为时，求的长．”甲的答案为；乙的答案为；丙的答案为，则下列说法正确的是（    ） A．只有甲的答案对 B．甲、乙两人的答案合在一起才完整 C．甲、丙两人的答案合在一起才完整 D．甲、乙、丙三人的答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，对称的性质，灵活运用分类讨论的思想是解题的关键，分点Q在线段上，点Q在线段的延长线上，两种情况讨论即可． 【详解】解：①当点Q在线段上，时， ， ∴； ②如图，当点Q在线段的延长线上，时， 同理，可求得， ∴，此时， 即点P在线段上，此种情况符合条件； 如图，当点Q在线段的延长线上，时， ， ∴，此时， 即点P不在线段上，此种情况不符合条件， ∴甲、乙两人的答案合在一起才完整， 故选B． 33．（2024·河北石家庄·三模）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点D不在上时，判断线段与的数量关系为 ； （2）当时，若，，时，的长为 ． 【答案】 5或 【分析】（1）由，证明和都为等边三角形，则，，，证明，进而可得， （2）由题意知，，，则，同理（1），证明，则，可求；当时，分当在外部，当在内部两种情况，利用相似三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴和都为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知，，， ∴， 同理（1）， ∴， ∴，即， 解得，； 当时，分当在外部，当在内部，两种情况求解； 当在外部时，，如图①，记的交点为， 由题意知，，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴，， ∴； 当在内部时，，如图②，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴； 综上所述，的长为5或， 故答案为：5或． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦，勾股定理等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 34．（2024·河北张家口·三模）如图，是半圆的直径，，是半圆上的两点，，于点． （1） （用含的式子表示）； （2）若，则 ． 【答案】 【分析】（1）由圆周角定理得，进而可得； （2）由设，，根据勾股定理求得，， 再由垂径定理及正切定义求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）由设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，熟练掌握勾股定理及垂径定理是解题得关键． 35．（2024·河北石家庄·二模）如图，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上，，在两个图形上方按照图中方式放置一个边长为6的等边三角形，经测量，此时， （1）的度数为 ； （2）点K到的距离为 【答案】 【分析】此题考查解直角三角形、正方形的性质、矩形的判定和性质等知识，适当添加辅助线是解题的关键． （1）根据正方形和等腰直角三角形的性质求出，再求出，根据三角形外角的性质和等边三角形的性质即可得到答案； （2）延长交点，作于点N，则，证明，求出，证明四边形是矩形，得到，即可得到，即可得到点K到的距离． 【详解】解：（1）∵如图，正方形和等腰直角三角形放在水平地面上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为： （2）延长交点，作于点N，则， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴, ∴ 解得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即点K到的距离为， 故答案为：． 36．（2024·河北石家庄·二模）某兴趣小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为l，高为，连杆长度为，手臂的长度为，B，C是转动点，且，与始终在同一平面内． (1)转动连杆，手臂，使，，如图2，求手臂端点离操作台的高度的长（精确到，参考数据：，）． (2)物品在操作台上，距离底座A端的点M处，转动连杆，手臂端点能否碰到点？请说明理由． 【答案】(1)手臂端点离操作台的高度的长约为 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数及勾股定理是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，，，再解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）当点共线时，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， 则， 答：手臂端点离操作台的高度的长约为． （2）解：手臂端点不能碰到点，理由如下： 由题意可知，如图，当点共线时，手臂端点能碰到的距离最远， ∴此时， ∵，， ∴， 即手臂端点不能碰到点． 37．（2024·河北廊坊·二模）嘉嘉使用桌上书架如图所示．嘉嘉发观，当书架与桌面的夹角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时舒适度不太理想．嘉嘉调整书架与桌面的夹角大小继续探究，最后发现当张角时（点是的对应点），舒适度较为理想． (1)书架在旋转过程中，求顶部边缘点到走过的路径长 (2)如图这个平面图形，如果嘉嘉的眼睛在处．当她看书上距离桌面高度为的点时，她向下看的俯角为，眼睛到桌面高度，求此时眼睛到点的距离，即的长度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】(1)边缘点到走过的路径长 (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，进而利用弧长公式求解即可． （）过点作，于点、，则四边形是矩形，，在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴边缘点到走过的路径长． （2）解：过点作，于点、，则四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵向下看的俯角为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、度直角三角形的性质、求弧长以及矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形、度直角三角形的性质是解题的关键． 38．（2024·河北唐山·二模）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A 的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．    (1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离的点G 处，恰好能被识别（头的顶部在仰角线）， 求张亮的身高约是多少厘米； (2)夕夕身高，头部高度为，踮起脚尖可以增高，此时夕夕能被识别吗?请计算说明．（精确到，参考数据：，） 【答案】(1)张亮的身高约厘米 (2)夕夕能被识别 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，涉及到的知识点有锐角三角函数中的正切值、矩形的性质，解题的关键在于是否能根据生活实际题结合数学相关知识．解题的重点在于熟练掌握相关概念、性质和全等方法． （1）根据正切值求出长度，再利用矩形性质得出，，从而求出结论． （2）过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，求出与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    则， 四边形 是矩形， ， 在中，． ． ， 张亮的身高约厘米． （2）解：夕夕能被识别，理由如下： 过点作的垂线分别交仰角、俯角线于点，，交水平线于点，如图所示，    同（1）知，四边形 是矩形， ， ， ， 夕夕能被识别． 39．（2024·河北石家庄·三模）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． (1)如图2，当时，，求投影探头的端点到桌面的距离； (2)如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转，当时，投影探头是否会与桌面OE发生碰撞？请说明理由． （结果精确到，参考数据，，，，） 【答案】(1) (2)不会，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）延长交于点，易得，在中，解直角三角形得出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案； （2）过点作，交的延长线于点，由题意得出，求出，在中，解直角三角形求出的长，再利用线段的和差关系计算即可得出答案． 【详解】（1）解：延长交于点， ，，， ， 在中，，， ， ，， 投影探头的端点到桌面的距离， 投影探头的端点到桌面的距离约为； （2）解：投影探头不会与桌面发生碰撞， 理由：过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， 在中，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离． 投影探头不会与桌面发生碰撞． 40．（2024·河北保定·二模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器．其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖．如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点A～H），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． (1)相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为______． (2)求的长． (3)求线段与的长，并比较大小． 【答案】(1) (2) (3)，的长为，的长 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、弧长公式、三角形的内角和定理、解直角三角形等知识，熟练掌握圆中相关性质是解答的关键． （1）根据八个方位将圆形八等分直接求解即可； （2）根据圆周角定理和三角形的内角和定理可求得，然后解直角三角形即可求解； （3）根据切线性质得到，再根据等腰直角三角形的判定与性质可求得；连接，根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求得的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵八个方位将圆形八等分， ∴相邻两个方位间所夹的圆心角的度数为， 故答案为： ． （2）解：∵为的直径， ∴． 由题意知， ∴， ∴． （3）解：∵为的切线， ∴． 由（2）知， ∴． 如图，连接，则． ∵， ∴，则的长为． ∵， ∴的长． 41．（2024·河北邯郸·二模）一款手动铡切刀的侧面示意图如图1所示，圆弧形刀刃和手柄构成刀身，点M，P，Q总在一直线上，与切割槽在转轴（点Q）处连接．延长支撑杆交切割槽于点K，当铡切刀绕点Q旋转时，与的另一个交点为T（图3），已知． (1)如图2，当与相切时，，求弦和的长； (2)如图3，在铡切刀从与相切的位置开始下降的过程中（点P未经过），判断的度数是否改变，若改变说明理由；若不改变，求出的度数． （结果保留一位小数，） 【答案】(1)，的长度； (2)的度数不改变，总为 【分析】（1）过点作，垂足为．过点作，作的垂直平分线，交于点，连接，利用锐角三角函数求出，再证明为等边三角形，根据弧长公式即可求解； （2）根据圆周角定理求解即可 【详解】（1）解：如图1，所在圆与相切于点，过点作，垂足为．过点作，作的垂直平分线，交于点，连接 所在圆的圆心为点． ， ． 在中，， ． 在中，， ． ， ， 为等边三角形， ， 的长度； （2）的度数不改变，总为． 如图2，由（1）可知，在铡切刀从与相切的位置开始下降的过程中，为等边三角形， ， 圆周角所夹弧所对的圆心角为， ， 的度数不改变，总为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，确定圆心，弧长公式，正确作出辅助线是关键． 42．（2024·河北石家庄·二模）为了提高学生的行车安全意识，某学校数学活动小组设计了如图所示的模拟公路单点测速实验：先在笔直车道旁取一点安置测速仪，再在车道上确定两点、，当车辆经过、两点时，测速仪就会自动拍摄车辆的照片，根据两张照片的时间差和的距离就可以测算出车速．测得点到车道的距离为，，.（参考数据：，，，，，） (1)求的长（每一步的计算结果均精确到）； (2)《道路交通安全法》规定：普通道路行驶的小型机动车超速未超不扣分，只罚款，超速超过但未超过扣分并罚款，超速超过以上，扣分并罚款．若该路段对汽车限速，某小型汽车从到用时，这辆车是否超速了？如果超速了，驾驶员将受到哪种处罚？ 【答案】(1) (2)驾驶员超速未超，不扣分，只罚款 【分析】（）过点作交于点，则，解和得 ，，再根据线段的和差关系即可求解； （）求出汽车的速度为，与限速比较即可判断，再求出超速的速度即可得出驾驶员将受到哪种处罚； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作交于点，则， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴； （2）汽车的速度为， ∵， ∴汽车超速了， ， ∵， ∴驾驶员超速未超，不扣分，只罚款． 43．（2024·河北沧州·三模）如图，，，，分别以点，点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，与相交于点． (1)求证：； (2)当直线与圆相切时，求的值； (3)当时，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，求角的正切值以及不规则图形的面积： （1）由得，，根据证明，得，由可得结论； （2）求出由勾股定理求出，从而可求出的值； （3）过作于，求出，根据阴影部分的面积的面积扇形的面积求解即可 【详解】（1）证明：， ，， 在和中， ， ， ， 又， ； （2）解：直线与圆相切， ， ， ， ， 在中，，， ， ； （3）解：过作于， ， ， ， ， 阴影部分的面积的面积扇形的面积． 44．（2024·河北邯郸·二模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）．现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知点坐标是，斜坡的坡角为．    (1)请直接写出小明在斜坡上的跑步速度． (2)求段关于的函数解析式； (3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过的时长．（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数图象的运用，行程问题，解直角三角形的运用，掌握一次函数图象的性质，解直角三角形的方法是解题的关键． （1）根据解直角三角形可求的值，根据无人机的速度可求出时间，由此即可求解； （2）运用待定系数法即可求解； （3）根据无人机与小明的路程，分别求值的解析式，根据一次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点坐标是，，无人机速度为，如图所示，作于点，    ∴，， 在中，， 无人机从的时间为：， ∴小明在斜坡上的跑步速度为； （2）解：， ∴， ∴，且， 设直线所在直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线所在直线的解析式为； （3）解：设直线的解析式为，且， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵无人机与小明之间距离不超过， ∴在段时，，即， 解得，； 在段时，， 解得，； ∴， ∴ ∴小明沿方向运动，无人机与小明之间距离不超过的时长为． 45．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，，，点是斜边的中点，点是边的中点，连接，点为线段上一点，作点关于直线对称点，连接、，设长为（）． (1)A的长为________． (2)求长度（用含的代数式表示）． (3)当点落在直线上时，求的值． (4)探究：直线会与的边或垂直吗？如果会，请直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)会，或 【分析】（1）根据正弦的定义解即可得到答案； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而得到，再由轴对称的性质可得； （3）先求出，再证明，得到，则；由轴对称的性质可得，解可得方程，解得； （4）当时，延长交于点G，由勾股定理得，则，由轴对称的性质可得，，则，求出则，解，得到，解得；当时，延长交于点M，则 ，则，解 得到，解中，得到，，进而得到 ，再解中得到，解得，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，， ， ∴， 故答案为：； （2）解：∵点D是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得 （3）解：如图，当点F落在直线上时， ∵点E是边的中点， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 解得； （4）解：当时，延长交于点G， 在中，， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵在中， ， ∴， 解得； 当时，延长交于点M，则 ， ∴， ∴， ∴中， ∴ ∵在中， ∴， ∴， ∴ ， 在中， ， ∴， 解得． 综上所述，x的值为1或3． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质等等，熟练掌握轴对称的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键． 46．（2024·河北唐山·二模）如图1，在中，，，为锐角，且．动点P从点A出发，沿边向点C运动，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段． (1)点B到的距离为 ； (2)当时，求的长； (3)如图2，当时，求的值； (4)若点P的运动速度为每秒1个单位长，直接写出点Q在区域（含边界）内的时长． 【答案】(1)8 (2)或10 (3)2 (4) 【分析】（1）过点作，在中，利用锐角三角函数，求出的长即可； （2）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可； （3）过点作，延长交的延长线于点，证明，根据，设，得到，，平行得到，进而得到，求出的值，再利用正切的定义求解即可； （4）求出点在上和在上时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作， 在，，， ∴， ∴到的距离为； （2）∵， ∴， 在中，， 在中， 当在点下方时：， 当在点上方时：； 综上：或10； （3）过点作，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，则：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）当点在上时，则：， 由（1）知：， ∴， ∴秒； 当点在上时，过点作，过点作，则：， 由（1）知：，则：， ∴， 同法（3）可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ∴点Q在区域（含边界）内的时长为秒． 【点睛】本题考查解直角三角形，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 47．（2024·河北石家庄·三模）综合与实践 【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接， ①求证：． ②当正方形的边长为，时，则__________． 【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①见解析②（2）（3）的长为或 【分析】（1）①由证明，可得结论； ②先求出，利用全等得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）通过证明，可得； （3）求出，设则，分三种情况解答，由勾股定理建立方程即可求出答案． 【详解】（1）①证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； ②四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：； （2）解：，， ， 根据直径所对的圆周角是，可得点，点，点，点在为直径的圆上， 点，点，点，点四点共圆， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①当在线段上时，由（2）知：， ， ， M为斜边的中点， ， 由（2）知， ， ， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ，， ， ， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去， ∴此时； ②如图，当在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， 或， 当时，，不符合题设，舍去； ∴此时； ③如图，当点在延长线上时， 同（2）可证：， ∴， ， ， 同（3）①可证：， ∴当是直角三角形时，只能是，此时， ， ， 设，则， ， ， ， ， 或，均不符合题设，舍去； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 48．（2024·河北邯郸·二模）如图1，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接，． (1)求证：； (2)若将绕点B按顺时针方向旋转，当边与重合时停止，求边扫过的面积； (3)将一个与完全重合的透明三角板进行如下操作． ①若将三角板沿射线方向平移，如图2，当点落在边上时，立刻将绕点顺时针旋转，点H在上，且，若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒，在整个运动过程中，求出点H在区域（含边界）内的时长； ②若将三角板沿射线方向平移，如图3，当点与①中H点重合时，立刻将绕点逆时针旋转，当点落在边上时停止，设旋转过程中分别交于点P，Q，若，直接写出旋转过程中的长（用含d的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，，又由即可证明； （2）利用矩形的性质和含30度角的直角三角形，求出的长及，利用扇形面积公式即可求解； （3）①根据题意，可知点H在区域内可分为两段：当点H落在边上和当落在线段上，进行求解即可； ②绕点逆时针旋转得到，点落在边上的处，交于点，交于点，过点P作的垂线，垂足为，由题意得出，解直角三角形求出，再求出，证明，利用相似的性质求出，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵F是点E关于的对称点， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，边与重合时，点A的对应点为， 矩形中，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 边扫过的面积是以的长为半径，圆心角为的扇形的面积， 边扫过的面积为：； （3）解：①根据题意，可知点H在区域内可分为两段： 当点H落在边上时，如图， ∵，， ∴， ∴； 此时平移的时间为（秒）； 当落在线段上时，如图，由①得，， 则； 此时从B到的平移时间为6秒； ∵， ∴， ∴绕点顺时针旋转时，当旋转到经过点H时，记此时的对应点为M， ∵，， ∴在直角三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转时点H在区域（含边界）内的时长为（秒）； 综上，在整个运动过程中，点H在区域（含边界）内的时长为 （秒）； ②如图，绕点逆时针旋转得到，点落在边上的处，交于点，交于点，过点P作的垂线，垂足为， ，，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质、解直角三角形、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、扇形面积、平移性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 49．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图1，在四边形中，，，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在射线上运动，连接并延长，将射线绕点P逆时针旋转，旋转角总与相等，当旋转后的射线与射线相交时，设交点为M．令，，点P的运动时间为． (1)当点P在线段上（点P不与端点重合）时，求证：． (2)如图2，当，且点P在线段上（点P不与端点重合）时，在线段上截取，连接，求证：． (3)如图3，当，且点P在的延长线上时，已知，， ①求出y与t的函数关系式； ②若交于点H，已知，直接写出t的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①；② 【分析】本题是一道几何综合题，主要考查三角形外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质．考查学生的推理能力、几何直观、空间观念． （1）由得到，由即可得到结论； （2）证明，即可得到结论； （3）①如图，在射线上截取连接，过点 G 作，垂足为点E，证明得到 进一步即可答案；②记与相交于点 N．利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． （2）当，且点 P 在线段上时，， 即． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． （3）①如图，在射线上截取连接，过点 G 作，垂足为点E． 由（1）的推理可知 由（2）的推理可知 ∵ ∴， ∵在中， 由题意得，， ②记与相交于点 N． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴. 试卷第2页，共87页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$