专题10相似图形【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（北京专用）

专题10 相似图形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平行线分线段成比例 （5年2考） 2023·北京：平行线分线段成比例 2022·北京：矩形性质、勾股定理、平行线分线段成比例 相似图形这一部分知识包括：平行线分线段成比例、比例的基本性质、相似三角形的判定与性质、位似、相似三角形的实际应用等，考法多样，与全等三角形类似相似也是我们解决几何综合、代几综合等压轴题的重要手段。 考点01 平行线分线段成比例 1. （2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    【答案】 【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而. 【详解】，   ，， ， ， ， ， ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键. 2. （2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据勾股定理求出BC，以及平行线分线段成比例进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 3. （2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可证，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为： ． 4. （2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 5. （2024·北京·模拟预测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质．根据题意求出，再根据相似三角形的判定和性质计算即可． 【详解】解：，， ， ∵， ∴， ， 故答案为：． 6. （2024·北京延庆·模拟预测）如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7. （2024·北京·三模）如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查线段中点，平行四边形性质，三角形相似判定与性质，根据点为的中点，得出，根据平行四边形性质，得出，，可证，利用相似三角形性质得出，根据等高三角形面积比得出即可． 【详解】解：点为的中点， ， 在平行四边形中，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 8. （2024·北京石景山·二模）如图，在中，，，，则的长为 ．    【答案】 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，先证明，得到，再进一步得到，即可求出长，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9. （2024·北京海淀·二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，所有真命题的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了本题主要考查中位线，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据中位线的判定和性质可判定命题①，根据相似三角形的判定和性质可判定命题②③． 【详解】解：∵是的中点， ∴， 命题①，若，则点是的中点 ∴，故命题①真命题； 命题②，若， ∴，， 当时，，可得，故命题②假命题； 命题③，若， ∴， ∴， ∴， ∴点为中点，则，故命题③真命题； 综上所述，真命题的序号为①③， 故答案为：①③ ． 10. （2024·北京·一模）如图，在中，点E在上，交于点F．若，则的值为 ． 【答案】/0.75 【分析】此题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，先求出，再证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 11. （2024·北京房山·二模）如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，首先证明是等边三角形，得，求得，再证明，可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 12. （2024·北京房山·一模）如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为 ．    【答案】/ 【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ， ，分别为，的中点， 是是中位线， ， ， 故答案为：． 13. （2024·北京丰台·一模）如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键．根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论． 【详解】解：是的中位线，， ，， ， ， ， ∴． 故答案为：10． 14. （2024·北京石景山·一模）如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，掌握定理正确推理论证是本题的解题关键． 根据平行四边形性质，易得，设的长为，根据，，即可求出的长． 【详解】解：设的长为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ，，， ， ， 又， 即， 解得， 故的长为． 15. （2024·北京西城·一模）如图， 在中，点在边上，，的延长线交于点．若，， 则 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，，推出，得到，而，于是得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16. （2024·北京通州·一模）如图，点E是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为 ．    【答案】12 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出． 由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 17. （2024·北京·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵和均为直角， ， ， ， ， ， 故答案为：． 18. （2024·北京昌平·二模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        图1              图2 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的应用．过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据，得出，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∵， ， ， ，， ， 解得：， 故答案为：3． 19. （2024·北京朝阳·一模）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， 即， 解得， 则教学楼高度， 故答案为：． 20. （2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：由题意得：A的坐标为或， ∴A的坐标为或， 故答案为：或． 21. （2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 22. （2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定和性质是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 23. （2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 【答案】(1)， (2)43 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到是本题的关键． （1）由同一时刻测量，可得，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于、的方程； （2）已经求得，将代入任一个方程，可求得的值，即得钟楼的高度． 【详解】（1）由同一时刻测量，可得， 第一次测量：，化简得，， 第二次测量：，化简得，， 故答案为：，； （2）对于，代入， 得，， 解得：， 钟楼米， 故答案为：43． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 相似图形 考点 五年考情（2020-2024） 命题趋势 考点1 平行线分线段成比例 （5年2考） 2023·北京：平行线分线段成比例 2022·北京：矩形性质、勾股定理、平行线分线段成比例 相似图形这一部分知识包括：平行线分线段成比例、比例的基本性质、相似三角形的判定与性质、位似、相似三角形的实际应用等，考法多样，与全等三角形类似相似也是我们解决几何综合、代几综合等压轴题的重要手段。 考点01 平行线分线段成比例 1. （2023·北京·中考真题）如图，直线AD，BC交于点O，.若，，.则的值为 ．    2. （2022·北京·中考真题）如图，在矩形中，若，则的长为 ． 3. （2024·北京海淀·二模）如图，在中，分别在边上，．若，，则的值为 ． 4. （2024·北京朝阳·二模）如图，在中，E是上一点，，的延长线与的延长线相交于点F，若，则的长为 ． 5. （2024·北京·模拟预测）如图，直线，交于点，，若，，，则的值为 ． 6. （2024·北京延庆·模拟预测）如图，中，延长至，使得．若，则的长为 ． 7. （2024·北京·三模）如图，在平行四边形中，点M为边的中点，与相交于点N，已知，那么等于 ． 8. （2024·北京石景山·二模）如图，在中，，，，则的长为 ．    9. （2024·北京海淀·二模）在中，为边的中点，为边上一点，连接．给出下面三个命题： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 上述命题中，所有真命题的序号是 ． 10. （2024·北京·一模）如图，在中，点E在上，交于点F．若，则的值为 ． 11. （2024·北京房山·二模）如图，在菱形中，点在边上，与交于点．若，，则的值为 ．    12. （2024·北京房山·一模）如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为 ．    13. （2024·北京丰台·一模）如图，是的中位线，点F在上，，连接并延长，与的延长线交于点M．若，则线段的长为 ． 14. （2024·北京石景山·一模）如图，在中，点在上且，与交于点．若，则的长为 ． 15. （2024·北京西城·一模）如图， 在中，点在边上，，的延长线交于点．若，， 则 ． 16. （2024·北京通州·一模）如图，点E是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为 ．    17. （2024·北京·二模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点在同一水平线上，与相交于点D．测得，则树高 m． 18. （2024·北京昌平·二模）图1是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为6cm，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图2所示，此时液面宽度为 cm．        19. （2024·北京朝阳·一模）在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度 ． 20. （2024·北京门头沟·二模）如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图像扩大为原的2倍，则点A的坐标为 ． 21. （2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为 ． 22. （2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为米，他的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端，此时旗杆底端到点的距离为米，小丽的眼睛点到地面的距离为米． 23. （2024·北京东城·一模）每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米． 测量数据（精确到0.1米）如表所示： 直杆高度 直杆影长 的长 第一次 1.0 0.6 15.8 第二次 1.0 0.7 20.1 (1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______； (2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$