第一讲 代数公式及因式分解 讲义-2024-2025学年高一上学期数学暑假初高中衔接

第一讲 代数公式及因式分解 知识点讲解： 一．乘法公式： 1．知识巩固 （1）平方差公式： （2）完全平方公式： （3）高频应用变式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 2．拓展衔接 （1）立方和公式： （2）立方差公式： （3）两数和的立方公式： （4）两数差的立方公式： （5）三数和平方公式： （6） ， （7）． 二．因式分解 1．知识巩固 （1）因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解． 注意：因式分解的最后结果必定为“乘积”的形式． （2）提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式． 注意： ①公因式可能是单项式，也可能是多项式． ②提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律． 如： （3）公式法： ①平方差公式： ②完全平方公式： ③立方和公式： ④立方差公式： ⑤两数和的立方公式： ⑥两数差的立方公式： ⑦三数和平方公式： 2.拓展衔接 因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形，我们已学过提取公因式法和公式法等分解因式的方法，下面我们继续学习其他分解因式的方法． 1．二次三项式 多项式，称为字母x的二次三项式，其中称为二次项，bx为一次项，c为常数项．例如，和都是关于x的二次三项式． 在多项式中，如果把y看作常数，就是关于x的二次三项式；如果把x看作常数，就是关于y的二次三项式． 在多项式中，把ab看作一个整体，即，就是关于ab的二次三项式．同样，多项式，把x＋y看作一个整体，就是关于x＋y的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax＋b)(cx＋d)竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式x2+(a+b)x+ab，其常数项ab与一次项系数a+b可以通过“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到 ． 因为 因为， 所以． 这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）推广衔接 对于二次项系数不是1的二次三项式(，，都是整数且)来说，如果存在四个整数，使，，且，那么．（它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定） 学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同． 二次项系数不为1的二次三项式． 条件：（1）， （2）， （3）． 分解结果：=． ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 3．分组分解法 观察多项式xm+xn+ym+yn，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式． 观察多项式的各项，前两项有公因式x，后两项有公因式y，分别提取后得到x（m+n）+y（m+n）．这时又有了公因式（m+n），因此能把多项式xm+xn+ym+yn 分解因式． 分解过程是 xm+xn+ym+yn=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）． 如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式． 先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法，用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性． 4．求根公式法 对于有些二次三项式，若用十字相乘法不易凑出十字，可以解一元二次方程，当时，设方程的两个根分别为，，则． 5．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法、求根公式法等． 对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 例题讲解： 例1.化简： 例2.已知，，，求，的值． 例3.化简：． 例4.已知，，求下列各式： （1）；（2）． 变式练习： 1．化简：． 2．化简：（1）；（2）． 3．运用立方和或立方差公式化简： （1）；（2）． 4．已知，求证：． 5．设，，对于任意，比较与的大小关系． 6．求函数的最大值． 7．当时，求代数式的值． 例题讲解： 例1.分解因式：． 例2.分解因式：． 例3.分解因式：． 例5.分解因式：． 例6.分解因式：． 例7.分解因式：． 例8.在实数范围内分解因式：． 例9.当时，．请根据这一事实，将分解因式． 变式练习： 1．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 2．分解因式： （1）； （2）； （3）． 3．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 4．因式分解： （1）； （2）． 5．因式分解：． 6．因式分解：． 7．因式分解：． 8．在实数范围内因式分解：． 9．在实数范围内因式分解：． 答案与解析 例题讲解： 例1.化简： 【解答】解： ． 例2.已知，，，求，的值． 【解答】解：； ， ， ， ． 例3.化简：． 【解答】解：原式 ． 例4.已知，，求下列各式： （1）；（2）． 【解答】解：（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴， 即． ∵， ∴． 再由（1）的结论，得． ∴ ． 变式练习： 1．化简：． 【解答】解： ． 2．化简： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 3．运用立方和或立方差公式化简： （1）； （2）． 【解答】解：（1） ； （2） ． 4．已知，求证：． 【解答】解：【证法1】左边 ． 由，得， 故右边． 故等式成立． 【证法2】左边 ． 由，得， 故右边． 故等式成立． 5．设，，对于任意，比较与的大小关系． 【解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．求函数的最大值． 【解答】解：由题意，得 ． 故函数的最大值为． 7．当时，求代数式的值． 【解答】解： ， 当时， 原式． 例题讲解： 例1.分解因式：． 【分析】将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5． 由于6=2×3=(﹣2)×(﹣3)=1×6=(﹣1)×(﹣6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5． 【解答】解： = =． 例2.分解因式：． 【分析】 【解答】解：原式= =． 例3.分解因式：． 【分析】 【解答】解：=． 例4.分解因式：． 【分析】 【解答】解： =． 例5.分解因式：． 【解答】解： 【解法1】 ． 【解法2】 ． 例6.分解因式：． 【解答】解： ． 例7.分解因式：． 【分析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解． 【解答】解： ． 例8.在实数范围内分解因式：． 【解答】解：解方程，得， 故 ． 例9.当时，．请根据这一事实，将分解因式． 【解答】解： ． 变式练习： 1．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 1．【解答】解：（1）=； （2）=； （3）=； （4）=； （5）=； （6）=； （7）=； （8）=． 2．分解因式： （1）； （2）； （3）． 2．【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可； （3）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解． 【解答】解：（1）； （2）； （3） ． 3．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 3．【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先提公因式，再用公式法进行因式分解即可； （2）先用完全平方公式再用平方差公式进行因式分解即可； （3）分组分解法因式分解即可； （4）平方差公式法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 4．因式分解： （1）； （2）． 4．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答； （2）先分组，再根据完全平方公式和平方差公式分解即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 5．因式分解：． 5．【答案】． 【分析】先把后三项作为一组，利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 6．因式分解：． 6．【答案】． 【分析】先把前三项作为一组，提取公因式，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 7．因式分解：． 7．【分析】首先求出的根，进而分解因式得出即可． 【解答】解：令， 解得：，， 故原式． 8．在实数范围内因式分解：． 8．【答案】． 【分析】先求出方程的两个根，再进行因式分解即可． 【解答】解：在方程中， ，，， △， ， ，， ． 9．在实数范围内因式分解：． 9．【答案】． 【分析】将原式变形后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$