第7讲 基本不等式讲义-2025年暑假初升高数学衔接知识自学

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 基本不等式 教学目标 1．理解并掌握基本不等式的公式，会运用基本不等式求最值； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：基本不等式≤； 难点：用基本不等式的变式如≥，（a，b∈R＋）证明不等式。 教学内容 基本不等式 知识点一：重要的不等式 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）. 【微点拨】1.公式适用于任何实数范围；2. 当且仅当时取等号“=”；3.公式来源于 . 知识点二：基本不等式 1、基本不等式 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，） 【微点拨】基本不等式≥（a>0，b>0） （1）不等式成立的条件：a，b都是正数． （2）“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 2、利用基本不等式求最值的条件 利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等 （1）x，y都是正数 （2）积xy（或和x+y）为定值 （3）x与y必须能够相等（等号能够取到） 3、常用结论 （1）若，则（当且仅当时取“=”） （2）若，则（当且仅当时取“=”） （3）若，则（当且仅当时取“=”） （4）若ab＜0，则 特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=” 考点一：对基本不等式的理解 【例1-1】下列说法中错误的是（　　） A．不等式a+b≥2恒成立 B．若a，b∈R+，则2 C．若a，b∈R+，满足a+2b＝1，则8 D．存在a∈R，使得a2成立 【例1-2】（多选）已知正数，，则下列不等式中恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1. 下列不等式恒成立的是（       ） A． B． C． D． 2．（多选题）下列说法中正确的有（　　） A．不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．若a，b∈（0，+∞），则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则 3．若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ） A．2 B．1 C． D． 4．已知，，，且，，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点二：凑配法求最值　 【例2-1】设实数满足，则函数的最小值为（       ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2-2】若，则的最大值是 （ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．当时，的最大值为（       ） A． B． C． D． 2．若，则的最大值是 （ ） A． B． C． D． 3．已知，求的最大值 . 4．（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数（＞﹣2），求此函数的最小值及此时的值. 考点三：乘“1”型 【例3-1】已知,则的最小值是（ ） A．2 B． C．4 D． 【例3-2】若正数，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．5 D．25 【变式训练】 1．已知，，，则的最小值是（       ） A．1 B．2 C．4 D．6 2. 已知，，则的最小值为_______________； 考点四：二次商式求最值 【例4-1】求下列函数的最小值 （1）； （2）. 【例4-2】的最大值为______. 【变式训练】 1．函数的最大值为（       ） A．3 B．2 C．1 D．-1 2. 若 ，则有（       ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 考点五：基本不等式的实际应用 【例5】某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为平方米的三级污水处理池，如图所示.已知池外墙造价为每米元，中间两条隔墙造价为每米元，池底造价为每平方米元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为（ ） A．米，米 B．米，米 C．米, 米 D．米，米 【变式训练】 1．某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买吨，已知每次的运费为4万元/次，一年总的库存费用为万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量为 _____________ ； 2．某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米． （Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积； （Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 1、当时，的最小值为（       ） A．3 B． C． D． 2、若a，b都为正实数且，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 3、设正实数满足，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 4、若为正实数，且，则的最小值为（       ） A． B． C．3 D． 5、已知，则的最大值为（       ） A． B． C．0 D．2 6、已知，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 7、设，且，则的最小值是（       ） A． B．8 C． D．16 8、已知，，且，则的最小值为（       ） A．24 B．25 C．26 D．27 9、已知a，b＞0，且a＋2b＝1，则的最小值为（     ） A．6 B．8 C．9 D．10 10、若，则函数的最小值为（       ） A．4 B．6 C． D． 11、已知正实数x，则的最大值是（       ） A． B． C． D． 12、已知，且，则的最小值为____________. 13、设，求的最大值 . 14、当时，函数的最小值为___________． 15、经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：． （1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.01） （2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 16、为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）． （1）将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数； （2）该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 一、本次课我学到了什么？ 二、本次课我需要更努力的地方？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 基本不等式 教学目标 1.理解并掌握基本不等式的公式,会运用基本不等式求最值; 2.经历自主探究的过程,提高计算能力,分析和解决问题的能力,渗透数形结合,转化的思想; 3.体验数学学科的特点,提高学习数学的兴趣,树立学好数学的信心。 教学重难点 重点:基本不等式≤; 难点:用基本不等式的变式如≥,(a,b∈R+)证明不等式。 教学内容 基本不等式 知识点一:重要的不等式 如果,那么(当且仅当时取等号“=”). 【微点拨】1.公式适用于任何实数范围;2. 当且仅当时取等号“=”;3.公式来源于 . 知识点二:基本不等式 1、基本不等式 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”). 推论:(,) 【微点拨】基本不等式≥(a>0,b>0) (1)不等式成立的条件:a,b都是正数. (2)“当且仅当”的含义: ①当a=b时,≥的等号成立, 即a=b =; ②仅当a=b时,≥的等号成立, 即= a=b. 2、利用基本不等式求最值的条件 利用基本不等式求最值,必须同时满足以下三个条件:一正、二定、三相等 (1)x,y都是正数 (2)积xy(或和x+y)为定值 (3)x与y必须能够相等(等号能够取到) 3、常用结论 (1)若,则(当且仅当时取“=”) (2)若,则(当且仅当时取“=”) (3)若,则(当且仅当时取“=”) (4)若ab<0,则 特别说明:以上不等式中,当且仅当时取“=” 考点一:对基本不等式的理解 【例1-1】下列说法中错误的是( ) A.不等式a+b≥2恒成立 B.若a,b∈R+,则2 C.若a,b∈R+,满足a+2b=1,则8 D.存在a∈R,使得a2成立 【答案】A 【解析】解:对于A,当a<0,b<0时,不等式a+b≥2不成立,故选项A错误; 对于B,因为a,b∈R+,则,当且仅当a=b时取等号,故选项B正确; 对于C,因为a>0,b>0且a+2b=1,所以,当且仅当a=2b时取等号,故选项C正确; 对于D,当a=1时,a2成立,故选项D正确. 故选:A. 【例1-2】(多选)已知正数,,则下列不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】对A,,,当且仅当时等号成立,故A正确; 对B,,,当且仅当时等号成立,故B正确; 对C,,即,故C错误; 对D,,,,即,当且仅当时等号成立,故D错误.故选:AB. 【变式训练】 1. 下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】对于A选项,当时,不等式显然不成立,故错误; 对于B选项,成立的条件为,故错误; 对于C选项,当时,不等式显然不成立,故错误; 对于D选项,由于,故,正确. 故选:D 2.(多选题)下列说法中正确的有( ) A.不等式恒成立 B.存在a,使得不等式成立 C.若a,b∈(0,+∞),则 D.若正实数x,y满足x+2y=1,则 【答案】BCD 【解析】解:不等式恒成立的条件是a≥0,b≥0,故A不正确; 当a为负数时,不等式成立.故B正确; 由基本不等式可知C正确; 对于, 当且仅当,即,时取等号,故D正确. 故选:BCD. 3.若实数a,b满足,则ab的最大值为( ) A.2 B.1 C. D. 【答案】D 【解析】∵,, ∴,即,当且仅当时等号成立, ∴. 故选:D. 4.已知,,,且,,则的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】由知,,,, 当且仅当时取等号.故的最小值为4故选:B 考点二:凑配法求最值 【例2-1】设实数满足,则函数的最小值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】, 函数,当且仅当,即时取等号. 因此函数的最小值为3. 故选:A. 【例2-2】若,则的最大值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】由,即,所以,时取“=”,所以正确选项为D 【变式训练】 1.当时,的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,,又 ,当且仅当,即时等号成立, 所以的最大值为 故选:B 2.若,则的最大值是 ( ) A. B. C. D. 【解析】由,即,所以,时取“=”,所以正确选项为D 3.已知,求的最大值 . 【答案】 【解析】,则,由基本不等式可得, 当且仅当时,即当时,等号成立, 因此,当时,求的最大值为. 4.(1)求函数的最小值及此时的值; (2)已知函数(>﹣2),求此函数的最小值及此时的值. 【答案】(1)函数的最小值为5,此时;(2)函数的最小值为5,此时. 【解析】(1)∵, ∴, 当且仅当即时,等号成立. 故函数的最小值为5,此时; (2)令, 将代入得: , ∵, ∴, 当且仅当, 即, 即时,等号成立. 故函数的最小值为5,此时. 考点三:乘“1”型 【例3-1】已知,则的最小值是( ) A.2 B. C.4 D. 【答案】C 【解析】(当且仅当,即时取等号)的最小值为故选: 【例3-2】若正数,满足,则的最小值是( ) A. B. C.5 D.25 【答案】C 【解析】正数,满足,则,当且仅当时取等号.的最小值是5.故选:C. 【变式训练】 1.已知,,,则的最小值是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 【答案】C 【解析】解:因为,,,所以,当且仅当,即,时取等号; 故选:C 2. 已知,,则的最小值为_; 【答案】 【解析】采用常数1的替换,,当即时等号成立,所以答案为. 考点四:二次商式求最值 【例4-1】求下列函数的最小值 (1); (2). 【答案】(1)3;(2)10. 【解析】(1) ∵(当且仅当,即x=1时取等号) 的最小值为3; (2)令,则, 当且仅当即t=3时取等号 y的最小值为10 【例4-2】的最大值为_. 【答案】 【解析】令,则,, 所以,当且仅当,即时,等号成立.所以的最大值为. 故答案为:. 【变式训练】 1.函数的最大值为( ) A.3 B.2 C.1 D.-1 【答案】D 【解析】 , 当且仅当,即等号成立. 故选:D. 2. 若 ,则有( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值 D.最小值 【答案】A 【解析】因,则, 于是得,当且仅当,即时取“=”, 所以当时,有最大值. 故选:A 考点五:基本不等式的实际应用 【例5】某工厂拟建一个平面图形为矩形,且总面积为平方米的三级污水处理池,如图所示.已知池外墙造价为每米元,中间两条隔墙造价为每米元,池底造价为每平方米元(池壁的厚度忽略不计,且污水处理池无盖).若使污水处理池的总造价最低,那么污水处理池的长和宽分别为( ) A.米,米 B.米,米 C.米, 米 D.米,米 【答案】C 【解析】设污水池的宽为米,则长为米,总造价为,则(元),当且仅当时,即当时,总造价最低,此时,污水池的宽为米,长为米.故选:C. 【变式训练】 1.某公司一年需要购买某种原材料400吨,计划每次购买吨,已知每次的运费为4万元/次,一年总的库存费用为万元,为了使总的费用最低,每次购买的数量为 _ ; 【答案】20吨 【解析】由题意,总的费用,当时取“=”,所以答案为20吨。 2.某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为6400立方米,深度为4米.池底每平方米的造价为120元,池壁每平方米的造价为100元.设池底长方形的长为x米. ( )求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积; ( )怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少? 【答案】( )见解析;( )池底设计为边长米的正方形时,总造价最低,其值为元. 【解析】( )设水池的底面积为S1,池壁面积为S2, 则有 (平方米).池底长方形宽为米,则 S2=8x+8 =8(x+). ( )设总造价为y,则 y=120 1 600+100 8≥192000+64000=256000.当且仅当x=,即x=40时取等号. 所以x=40时,总造价最低为256000元. 答:当池底设计为边长40米的正方形时,总造价最低,其值为256000元. 1、当时,的最小值为( ) A.3 B. C. D. 【答案】D 【解析】由(当且仅当时等号成立.) 可得当时,的最小值为故选:D 2、若a,b都为正实数且,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,都为正实数,,所以, 当且仅当,即时,取最大值.故选:D 3、设正实数满足,则的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由基本不等式可得,即,解得, 当且仅当,即,时,取等号,故选:C. 4、若为正实数,且,则的最小值为( ) A. B. C.3 D. 【答案】D 【解析】因为为正实数,,所以, 当且仅当,即,时取等号.所以的最小值为.故选:D 5、已知,则的最大值为( ) A. B. C.0 D.2 【答案】C 【解析】时,(当且仅当时等号成立) 则,即的最大值为0.故选:C 6、已知,,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,, 所以(当且仅当,即时取等号), 即的最小值为4.故选:D. 7、设,且,则的最小值是( ) A. B.8 C. D.16 【答案】B 【解析】由题意,故 则 当且仅当,即时等号成立故选:B 8、已知,,且,则的最小值为( ) A.24 B.25 C.26 D.27 【答案】B 【解析】因为,,且, 所以, 当且仅当,即,,等号成立.所以的最小值为25,故选:B 9、已知a,b>0,且a+2b=1,则的最小值为( ) A.6 B.8 C.9 D.10 【答案】C 【解析】∵a+2b=1,∴==9, 当且仅当时即时等号成立,故选:C. 10、若,则函数的最小值为( ) A.4 B.6 C. D. 【答案】B 【解析】因为.所以. 当且仅当“”即时取“=”.故选:B. 11、已知正实数x,则的最大值是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为,又因为,所以, 所以,当且仅当时,即时等号成立, 所以,即y的最大值是.故选:D. 12、已知,且,则的最小值为_. 【答案】 【解析】由题意得:, 当且仅当 时取得等号,故答案为: 13、设,求的最大值 . 【答案】1 【解析】∵,∴∴ 所以 当且仅当,即时等号成立 所以的最大值为 14、当时,函数的最小值为_. 【答案】 【解析】因为,则,则, 当且仅当时,等号成立, 所以,当时,函数的最小值为. 故答案为:. 15、经观测,某公路段在某时段内的车流量(千辆/小时)与汽车的平均速度(千米/小时)之间有函数关系:. (1)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.01) (2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内? 【答案】(1)平均速度时,最大为; (2)平均速度应控制在到范围内. 【解析】(1), , 当且仅当,即时,等号成立, 平均速度时,最大,最大为. (2)由,,. ,平均速度应控制在到范围内. 16、为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在2022年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是1万件.已知2022年生产该产品的固定投入为6万元,每生产1万件该产品需要再投入12万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分). (1)将该厂家2022年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数; (2)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大? 【答案】(1);(2)2022年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大 【解析】(1)由题意有,得 故 ∴ (2)由(1)知: 当且仅当即时,有最大值. 答: 2022年的年促销费用投入2.5万元时,该厂家利润最大. 一、本次课我学到了什么? 二、本次课我需要更努力的地方? 1 学科网(北京)股份有限公司 $$