第10讲 函数的单调性讲义-2025年暑假初升高数学衔接知识自学

2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的单调性 教学目标 1．理解函数的单调性定义，会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性，掌握函数最值得求法； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：函数单调性的定义及其几何特征；用定义证明函数的单调性；函数最大（小）值的含义及其几何意义；会求一些简单函数的最值； 难点：用定义证明函数的单调性；求较复杂函数的最值。 教学内容 函数的单调性 知识点一：函数单调性的相关概念 1、单调函数与单调区间的概念 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果任意，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增，如右图.区间为函数的单调增区间．特别地，当函数在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果任意，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减，如右图.区间为函数的单调减区间．特别地，当函数在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 2、用定义证明（判断）函数单调性的步骤： 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点二：单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点三：单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 知识点四：函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f（x）其定义域为D，如果存在x0∈D，f（x）＝M，使得对于任意的x∈D，都有f（x）≤M，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值，即当x＝x0时，f（x0）是函数y＝f（x）的最大值，记作ymax＝f（x0）. （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在x0∈D，f（x）＝M，使得对于任意的x∈D，都有f（x）≥M，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最小值，即当x＝x0时，f（x0）是函数y＝f（x）的最小值，记作ymin＝f（x0）. （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 考点一：求函数的单调区间 【例1-1】下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（ ） A． B． C． D． 【例1-2】函数的单调递减区间为 ． 【变式训练】 1、已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ） A． B．和 C． D．和 2、函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 3、函数的一个单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 4、函数，在区间上都是增函数，则在区间上，下列说法中： ①是增函数；②是增函数；③是增函数；④是增函数． 所有正确说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点二：定义法证明函数的单调性 【例2】已知函数.判断函数在上的单调性，并证明。 【变式训练】 1、证明：函数f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数． 2、证明函数f（x）＝在区间（－3，＋∞）上是减函数． 考点三：利用单调性解不等式 【例3】函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1、已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点四：求函数的最值 【例4-1】已知函数 （1）画出函数的图像并写出函数的单调区间； （2）根据函数的图像求出函数的最小值． 【例4-2】函数的值域为 ． 【例4-3】函数的值域为（ ） A．[0,1） B． C． D． 【例4-4】函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 1、函数f（x）在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　） A．－2，f（2）　　　　　　　　 B．2，f（2） C．－2，f（5） D．2，f（5） 2、已知函数f（x）＝，x∈[3，5]． （1）判断函数f（x）的单调性，并证明； （2）求函数f（x）的最大值和最小值． 3、已知函数f（x）＝ . （1）判断函数f（x）在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； （2）求函数f（x）在[－3，－1]上的最大值． 【题型1 定义法证明函数的单调性】 1、设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数。 2、判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. 3、利用定义证明函数在区间上为减函数. 【题型2 判断函数的单调性】 1、（多选）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 2、（多选）下列函数在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 3、已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 【题型3 求函数的单调区间】 1、如图为的图象，则它的单调递减区间是 . 2、函数的增区间为 . 3、函数的单调递减区间是 . 【题型4 利用单调性解不等式】 1、已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2、已知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围． 【题型5 根据单调性求函数的最值】 1、已知函数f（x）＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞）．（1）试判断它的单调性；（2）试求它的最小值. 2、已知，则的值域为 ． 3、设函数. （1）当时，求函数在区间的最大值和最小值： （2）设函数在区间的最小值为，求. 一、函数单调区间的求法？ 二、单调区间与函数最值得联系？ — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新高一暑假衔接讲义 授课主题 函数的单调性 教学目标 1．理解函数的单调性定义，会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性，掌握函数最值得求法； 2．经历自主探究的过程，提高计算能力，分析和解决问题的能力，渗透数形结合，转化的思想； 3．体验数学学科的特点，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。 教学重难点 重点：函数单调性的定义及其几何特征；用定义证明函数的单调性；函数最大（小）值的含义及其几何意义；会求一些简单函数的最值； 难点：用定义证明函数的单调性；求较复杂函数的最值。 教学内容 函数的单调性 知识点一：函数单调性的相关概念 1、单调函数与单调区间的概念 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果任意，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增，如右图.区间为函数的单调增区间．特别地，当函数在定义域上单调递增时，我们就称它是增函数． 如果任意，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减，如右图.区间为函数的单调减区间．特别地，当函数在定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 单调增区间和单调减区间统称为单调区间． 2、用定义证明（判断）函数单调性的步骤： 3、常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 当时，在R上单调递增；当时，在R上单调递减. 反比例函数 当时，在和上单调递减； 当时，在和上单调递增. 二次函数 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 知识点二：单调函数的运算性质 若函数与在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： （1）与（C为常数）具有相同的单调性. （2）与的单调性相反. （3）当时，与单调性相同；当时，与单调性相反. （4）若≥0，则与具有相同的单调性. （5）若恒为正值或恒为负值，则当时，与具有相反的单调性； 当时，与具有相同的单调性. （6）与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 知识点三：单调性定义的等价形式 （1）函数在区间上是增函数： 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. （2）函数在区间上是减函数： 任取，且，都有； 任取，且，； 任取，且，； 任取，且，. 知识点四：函数的最大（小）值 1、函数的最大值 （1）定义：对于函数y＝f（x）其定义域为D，如果存在x0∈D，f（x）＝M，使得对于任意的x∈D，都有f（x）≤M，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最大值，即当x＝x0时，f（x0）是函数y＝f（x）的最大值，记作ymax＝f（x0）. （2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。 2、函数的最小值 （1）定义：对于函数y＝f（x），其定义域为D，如果存在x0∈D，f（x）＝M，使得对于任意的x∈D，都有f（x）≥M，那么，我们称M是函数y＝f（x）的最小值，即当x＝x0时，f（x0）是函数y＝f（x）的最小值，记作ymin＝f（x0）. （2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。 考点一：求函数的单调区间 【例1-1】下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，在R上单调递减，A错误； B选项，在R上单调递增，满足要求，B正确； C选项，在上单调递减，C错误； D选项，在上单调递减，D错误.故选：B 【例1-2】函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【解析】令，解得， 设，， 外函数为增函数，则复合函数的减区间即为内函数的减区间， ，对称轴为，其开口向下，故其减区间为. 故答案为：. 【变式训练】 1、已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（ ） A． B．和 C． D．和 【答案】B 【解析】由图象知：该函数的单调增区间为和.故选：B 2、函数的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵函数1，定义域为{x|x≠0}， 且y的单调递减区间为（﹣∞，0），（0，+∞）， 故函数的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故选：D． 3、函数的一个单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，函数为偶函数， 当时，；当时，； 可画出函数图像，图下图所示： 所以函数的单调递减区间为、，故选：A. 4、函数，在区间上都是增函数，则在区间上，下列说法中： ①是增函数；②是增函数；③是增函数；④是增函数． 所有正确说法的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为函数，在区间上都是增函数， 所以在区间上是增函数，故①正确； 对于②：令，，，显然、在上单调递增， 当时在上单调递减，故②错误； 对于③、④：令，，， 显然、在上单调递增， 则在上单调递减，故③错误； 则在上单调递减，故④错误；故选：A 考点二：定义法证明函数的单调性 【例2】已知函数.判断函数在上的单调性，并证明。 【答案】函数在上单调递减，理由见解析 【解析】函数在上单调递减；理由如下： 取，规定， 则， 因为，， 所以， 所以， 所以函数在上单调递减. 【变式训练】 1、证明：函数f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数． 【解析】设0<x1<x2<1，则Δx＝x1－x2<0 f（x1）－f（x2）＝－＝（x1－x2）＋＝（x1－x2）＋＝， ∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0，x1x2－1<0，x1x2>0. ∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）． ∴f（x）＝x＋在（0,1）上是减函数． 2、证明函数f（x）＝在区间（－3，＋∞）上是减函数． 【证明】　设x1，x2是区间（－3，＋∞）上任意两个实数，且x1<x2，则 f（x1）－f（x2）＝－＝， ∵－3<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋3>0，x2＋3>0. ∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）． 故f（x）在（－3，＋∞）上是减函数． 考点三：利用单调性解不等式 【例3】函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意,， 不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减， 又，所以,解不等式得， 则正实数的取值范围为.故选：B. 【变式训练】 1、已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以由， 因为是定义在上的增函数， 所以有，故选：A 2、已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得：当时，， 则函数在上单调递减，且 当时，，则函数在上单调递减，且， 所以函数在上是减函数， 又，所以，解得：， 实数的取值范围是.故选：C. 考点四：求函数的最值 【例4-1】已知函数 （1）画出函数的图像并写出函数的单调区间； （2）根据函数的图像求出函数的最小值． 【解】（1）函数的图像如图所示． 由图像可知f（x）的单调递增区间为（－∞，0）和[0，＋∞），无递减区间． （2）由函数图像可知，函数的最小值为f（0）＝－1. 【例4-2】函数的值域为 ． 【答案】 【解析】由对勾函数的单调性可知， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 又 所以当时，函数有最大值， 故函数的值域为． 【例4-3】函数的值域为（ ） A．[0,1） B． C． D． 【答案】D 【解析】令，则， 可得， 且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增， 可知当时，取到最小值2， 所以的值域为， 即函数的值域为.故选：D. 【例4-4】函数，的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 当时，单调递增，， 当时，单调递增，， 故函数，的值域是．故选：C． 【变式训练】 1、函数f（x）在区间[－2，5]上的图像如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是（　　） A．－2，f（2）　　　　　　　　 B．2，f（2） C．－2，f（5） D．2，f（5） 解析：选C.由函数的图像知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f（5）． 2、已知函数f（x）＝，x∈[3，5]． （1）判断函数f（x）的单调性，并证明； （2）求函数f（x）的最大值和最小值． 【解】　（1）f（x）是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且x1<x2， f（x1）－f（x2）＝－＝， 因为3≤x1<x2≤5， 所以x1－x2<0，（x1＋2）（x2＋2）>0， 所以f（x1）－f（x2）<0， 即f（x1）<f（x2）． 所以f（x）在[3，5]上为增函数． （2）由（1）知，f（x）在[3，5]上为增函数， 则fmax＝f（5）＝，fmin＝f（3）＝. 3、已知函数f（x）＝ . （1）判断函数f（x）在[－3，－1]上的单调性，并用定义法证明； （2）求函数f（x）在[－3，－1]上的最大值． 解：（1）函数f（x）在[－3，－1]上为增函数． 理由：设－3≤x1＜x2≤－1， f（x1）－f（x2）＝－ ＝（x1－x2）＋ ＝（x1－x2）， 由－3≤x1＜x2≤－1可得x1－x2＜0，x1x2＞1， 即有f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）， 可得f（x）在[－3，－1]上为增函数． （2）因为函数f（x）在[－3，－1]上递增， 所以f（x）的最大值为f（－1），即为－2. 【题型1 定义法证明函数的单调性】 1、设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数。 【答案】证明见解析； 【解析】证明：任取， 因为 在上是单调减函数 2、判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明. 【答案】在区间上单调递减，证明见解析 【解析】在区间上单调递减． 证明：设任意的且， 则． ∵， ∴，，， ∴，即， ∴在区间上单调递减． 3、利用定义证明函数在区间上为减函数. 【答案】证明见解析 【解析】任取且， 则， 因为且，可得， 所以，即，即， 所以函数是上的减函数. 【题型2 判断函数的单调性】 1、（多选）以下函数在其定义域上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A选项，，由于反比例函数为减函数， 故为减函数，故A错误； 对于B选项，的对称轴为，开口向上， 故为增函数，故B正确； 对于C选项，由于在上是增函数， 又在定义域上单调递增， 故由复合函数的单调性得在定义域上单调递增，故C正确； 对于D选项，为减函数，故D选项错误.故选：BC. 2、（多选）下列函数在区间上是减函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于选项A，为开口向下的二次函数且在区间上是减函数； 对于选项B，在区间上是增函数； 对于选项C，在上是增函数； 对于选项D，在区间上是减函数．故选：AD. 3、已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数 【答案】A 【解析】选项，函数在上是增函数，在上是减函数，故选项正确； 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但为实数）在上不一定是增函数， 例如在上是增函数，但在上不是增函数，故排除选项. 故选：A 【题型3 求函数的单调区间】 1、如图为的图象，则它的单调递减区间是 . 【答案】和 【解析】由单调性定义可得的单调递减区间为和. 故答案为：和 2、函数的增区间为 . 【答案】 【解析】，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 3、函数的单调递减区间是 . 【答案】和 【解析】当或时，，对称轴为， 当时，，对称轴为， 作出的图象如图所示， 由图可知单调递减区间为， 故答案为：和 【题型4 利用单调性解不等式】 1、已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为上的减函数， 所以由，得：， 即，即，解得：， 所以实数的取值范围为，故选：B. 2、已知函数为定义在上的减函数，且，试求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得． 故实数m的取值范围为. 【题型5 根据单调性求函数的最值】 1、已知函数f（x）＝x＋＋2，其中x∈[1，＋∞）．（1）试判断它的单调性；（2）试求它的最小值. 解：（1）函数f（x）＝x＋＋2， 设1≤x1＜x2， f（x1）－f（x2）＝（x1－x2）＋（－）＝（x1－x2）（1－）＝（x1－x2）， ∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1， ∴2x1x2－1＞0，∴f（x1）－f（x2）＜0. 即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[1，＋∞）上单调递增． （2）从而当x＝1时，f（x）有最小值. 2、已知，则的值域为 ． 【答案】 【解析】令，则，因为，可得，可得， 根据对勾函数的性质，可得函数在上单调递减，单调第增， 所以当时，取得最小值， 由当时，；当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 3、设函数. （1）当时，求函数在区间的最大值和最小值： （2）设函数在区间的最小值为，求. 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2） 【解析】（1）当时，，其对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 故函数在区间的最大值为，最小值为； （2）对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：. 一、函数单调区间的求法？ 二、单调区间与函数最值得联系？ — - 1 - — 学科网（北京）股份有限公司 $$