第2章 直线和圆的方程 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

[时间：120分钟，满分：150分] 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．斜率为2的直线的倾斜角α所在的范围是(　　) A．0°＜α＜45° B．45°＜α＜90° C．90°＜α＜135° D．135°＜α＜180° 解析　∵k＝2＞1，即tan α＞1，∴45°＜α＜90°. 答案　B 2．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则点N的坐标是(　　) A．(－2，－3) B．(2,1) C．(2,3) D．(－2，－1) 解析　利用排除法．由N在直线x－y＋1＝0上，排除A、B，由kMN＝2，排除D．故选C． 答案　C 3．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 解析　弦心距最大为＝，此时|AB|的最小值为2＝4，故选B． 答案　B 4．设点A为圆C：(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆C的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x－1)2＋y2＝2 C．y2＝2x D．y2＝－2x 解析　由题意，知圆心C(1,0)到点P的距离为，所以点P在以(1,0)为圆心，为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是(x－1)2＋y2＝2，故选B． 答案　B 5．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n等于(　　) A．0 B．1 C．－1 D．2 解析　由题意，所给两条直线平行，所以n＝－2. 由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝， 解得m＝2或m＝－8(舍去)，则m＋n＝0. 答案　A 6．已知圆C经过A(0,0)，B(2,0)，且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为(　　) A．(x－1)2＋(y－1)2＝4 B．(x－)2＋(y－)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5 解析　因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C(1，m)，又圆心在第一象限，所以∠ACB为直角，所以△ABC为等腰直角三角形，所以|AC|＝＝.因为m>0，所以m＝1，所以圆心坐标为(1,1)，圆的半径为，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 答案　C 7．(2024·九省联考)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则(　　) A．E是一个半径为的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 D．E是两条平行直线 解析　设P(x，y)，由＝(1，－3)，则Q(x－1，y＋3)， 由Q在直线l：x＋2y＋1＝0上，故x－1＋2(y＋3)＋1＝0， 化简得x＋2y＋6＝0，即P的轨迹为直线E且与直线l平行， E上的点到l的距离d＝＝，故A、B、D错误，C正确．故选C． 答案　C 8．已知P为圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上一点，则点Q(cos α，sin α)到P点的距离的最大值为(　　) A．4 B．8 C．5|sin α| D．|3sin α＋4cos α| 解析　由(x－3)2＋(y－4)2＝4知圆心C1为(3,4)，半径为r1＝2， 又Q(cos α，sin α)，所以Q点的轨迹方程为x2＋y2＝1， 则圆心C2为(0,0)，半径r2＝1，故|C1C2|＝＝5， 所以max＝＋r1＋r2＝5＋2＋1＝8. 故选B． 答案　B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是(　　) A．圆M的圆心为(4，－3) B．圆M被x轴截得的弦长为8 C．圆M的半径为25 D．圆M被y轴截得的弦长为6 解析　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.显然选项C不正确，A、B、D均正确．故选ABD． 答案　ABD 10．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－3)2＝2，M，N分别为圆C1，C2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是(　　) A．圆C1与圆C2相切 B．圆心C1，C2到直线l的距离相等 C．|MN|的最小值为2 D．|PM|的最小值为 解析　对于A选项，圆C1的圆心为C1(－1,0)，半径r1＝，圆C2的圆心为C2(2,3)，半径r2＝，∵圆心距|C1C2|＝＝3>r1＋r2，∴两圆外离，故A错误；对于B选项，圆心C1到直线l的距离d1＝＝，圆心C2到直线l的距离d2＝＝，d1＝d2，故B正确；对于C选项，|MN|min＝|C1C2|－r1－r2＝，故C错误；对于D选项，∵d1>r1，∴直线l与圆C1相离，则|PM|min＝d1－r1＝，故D正确．故选BD． 答案　BD 11．如图所示，在8×6的长方形区域(含边界)中有A，B两点，对于该区域中的点P，若其到A的距离不超过到B的距离的一半，则称P处于A的控制下．例如原点O满足|OA|＝≤|OB|＝5，即有O点处于A的控制下．同理若对于该区域中的点P，其到B的距离不超过到A的距离的一半，则称P处于B的控制下，则下列说法正确的有(　　) A．点(4,2)处于A的控制下 B．若点P不处于A的控制下，则其必处于B的控制下 C．若P处于A的控制下，则≤ D．图中所有处于A的控制下的点构成的区域面积为8＋5π 解析　由图可知，A(2,3)，B(8,6)，设C(4,2)，则|CA|＝，|CB|＝4， 满足|CA|≤|CB|，故A正确； 点不处于A的控制下，则|PA|>|PB|， 即|PB|<2|PA|， 例如取点P(5,3)，则|PA|＝3，|PB|＝3，故|PA|>|PB|，又|PB|>|PA|，故点不处于B的控制下， 即点P既不处于A的控制下，也不处于B的控制下，故B错误； 若P处于A的控制下，则|PA|≤|PB|， 设P(x，y)(0≤x≤8,0≤y≤6)， 则≤， 化简整理得，x2＋(y－2)2≤20， 作出图象，如图， 由图可知，当点在矩形且在圆及圆内部分满足处于A的控制下， 由图可知，当点处于O，C，D时，|PA|有最大值，故C正确； 由C知，处于A的控制下的点构成的区域面积，可以看作是圆与矩形的面积之和，如图， 故面积为×20π＋4×2＝8＋5π，故D正确． 故答案为ACD． 答案　ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．点M到x轴和到点N(－4,2)的距离都等于10，则点M的坐标为________． 解析　设M(x，y)， 则|y|＝＝10. 解得或 答案　(2,10)或(－10,10) 13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________． 解析　要使圆上有且仅有4个点到l的距离为1， 只需原点O到直线的距离小于1， ∴＜1， ∴－13＜c＜13. 故填(－13,13)． 答案　(－13,13) 14.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与y轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆x2＋(y－2)2＝r2(r＞0)与圆O交于B，C两点，若P是圆O上的动点，且PB，PC分别交y轴于点M，N，则S△POM·S△PON的最大值为________． 解析　设P(x0，y0)(－2≤x0≤2)，B(xB，yB)， 则C(－xB，yB)，且x＋y＝4，x＋y＝4， 直线PB：y－y0＝(x－x0)， 直线PC：y－y0＝(x－x0)． 令x＝0， 得yM＝，yN＝， ∴yM·yN＝ ＝＝＝4， ∴S△POM·S△PON＝|x0|·|yM|··|x0|·|yN| ＝x·|yM·yN|＝x≤4，所以S△POM·S△PON的最大值为4. 答案　4 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y＋a＝0. (1)若l1⊥l2，求实数a的值； (2)当l1∥l2时，求直线l1与l2之间的距离． 解析：(1)由l1⊥l2知a＋3(a－2)＝0，解得a＝. (2)当l1∥l2时，有解得a＝3. 故l1：3x＋3y＋1＝0，l2：x＋y＋3＝0，即3x＋3y＋9＝0，则直线l1与l2之间的距离d＝＝. 16．(15分)已知圆C经过两点P(－1，－3)，Q(－3,1)，且圆心在直线x＋2y－4＝0上，直线l的方程为(k－1)x＋2y＋5－3k＝0. (1)求圆C的方程； (2)证明：直线l与圆C恒相交． 解析　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由条件得解得 所以圆C的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. (2)证明　由(k－1)x＋2y＋5－3k＝0，得k(x－3)－(x－2y－5)＝0， 令得 即直线l过定点M(3，－1)， 由32＋(－1)2－4×3－2×(－1)－20<0，知点M(3，－1)在圆内，所以直线l与圆C恒相交． 17．(15分)在①圆心C在直线y＝x＋1上；②圆的半径为2；③圆过点M(，2)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 问题：(1)已知圆C过点A(2,1)且圆心在y轴上，若满足条件________，求圆C的方程； (2)在(1)的条件下，直线l：ax＋y－a－2＝0与圆C交于P，Q两点，求弦长|PQ|的最小值及相应的a值． 解析　(1)若选条件①，由题意，联立方程解得所以圆心C(0,1)． 设半径为r，则r＝|AC|＝2.则圆C的方程为x2＋(y－1)2＝4. 若选条件②，设圆心C(0，b)，由题意知|AC|＝＝2，所以b＝1. 圆心C(0,1)，半径为2，所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝4. 若选条件③，设圆心C(0，b)，由题意知|AC|＝|MC|， 即有＝，解得b＝1， 圆心为C(0,1)，且半径为 ＝2， 所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝4. (2)由(1)知圆的方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为C(0,1)，半径r＝2. 直线l过定点D(1,2)，要使弦长|PQ|最短，则CD⊥PQ，所以kCD·kPQ＝－1. 因为kCD＝＝1，所以kPQ＝－1， 直线l的斜率也就是直线PQ的斜率为－a，所以－a＝－1，a＝1. 因为|CD|＝，所以|PQ|＝2＝2，所以弦长|PQ|的最小值为2. 18．(17分)已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，圆B：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0，且圆B始终平分圆A的周长． (1)求动圆B的圆心的轨迹方程； (2)当圆B的半径最小时，求圆B的标准方程． 解析　(1)把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线l的方程为2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0， 由题意知直线l经过圆A的圆心(－1，－1)， 因而a2＋2a＋2b＋5＝0. 设动圆B的圆心为(x，y)，则由圆B的方程：x2＋y2－2ax－2by＋a2－1＝0可得B(a，b)，即x＝a，y＝b，则所求轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0. (2)圆B的方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2，其半径为. 由(1)知a2＋2a＋2b＋5＝0， 故2b＋4＝－(a＋1)2≤0， 所以b≤－2，因而≥，即b＝－2时，圆B的半径最小，此时a＝－1. 故所求圆B的标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 19．(17分)已知过原点O的动直线l与圆C：(x＋1)2＋y2＝4交于A，B两点． (1)若|AB|＝，求直线l的方程； (2)在x轴上是否存在定点M(x0,0)，使得当l变动时，总有直线MA，MB的斜率之和为0？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由． 解析　(1)设圆心C到直线l的距离为d， 则d＝＝＝， 当l的斜率不存在时，d＝1，不合题意； 当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx， 由点到直线的距离公式，得＝， 解得k＝±，故直线l的方程为y＝±x. (2)存在定点M，且x0＝3. 理由如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2. 当l的斜率不存在时，由对称性， 可得∠AMC＝∠BMC，k1＋k2＝0， 符合题意； 当l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx， 代入圆C的方程， 整理得(k2＋1)x2＋2x－3＝0， 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以k1＋k2＝＋ ＝ ＝， 当2x0－6＝0，即x0＝3时，有k1＋k2＝0， 所以存在定点M(3,0)符合题意，此时x0＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$