第1章 空间向量与立体几何 阶段测评1 空间向量(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

阶段测评(一)　空间向量 一、选择题(每小题5分，共50分) 1．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是(　　) A．圆 B．直线 C．平面 D．线段 解析　点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面． 答案　C 2．设＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为(　　) A． B． C． D． 解析　连接OP，CP，∵＝＝，∴＝－＝，∴＝＝.故选A． 答案　A 3．已知长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝3，BC＝4，AA′＝5，＝λ，若A′P⊥BC′，则λ＝(　　) A． B． C． D． 解析　以D为原点，DA，DC，DD′所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A′(4,0,5)，B(4,3,0)，C′(0,3,5)，设P(a，b，c)，则＝(a－4，b－3，c)，λ＝λ(－4，0,5)＝(－4λ，0,5λ)．∵＝λ， ∴解得 ∴P(4－4λ，3,5λ)，∴＝(－4λ，3,5λ－5)， ∵A′P⊥BC′，∴·＝16λ＋25λ－25＝0，解得λ＝.故选C． 答案　C 4．已知平面α的法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(x，3,0)在平面α内，且点P(－2,1,4)到平面α的距离为，则实数x的值为(　　) A．－1 B．－11 C．－1或－11 D．－21 解析　由题意得＝(x＋2,2，－4)，而点P到平面α的距离d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11.故选C． 答案　C 5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，△PAB是等腰三角形，点E是棱PB的中点，则异面直线EC与PD所成角的余弦值是(　　) A． B． C． D． 解析　因为底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直．以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AD＝1，AB＝，△PAB是等腰三角形，所以A(0,0,0)，B(，0,0)，C(，1,0)，D(0,1,0)，P(0,0，)．因为点E是棱PB的中点，所以E，所以＝，＝(0,1，－)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以异面直线EC与PD所成角的余弦值是. 答案　B 6．在三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是(　　) A． B． C． D． 解析　解法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(0,4,0)，P(0,4，4)， ∴＝，＝(4,0,0)，＝. 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 则即 令y＝，则z＝－1， ∴m＝，∴点C到平面PAB的距离为＝. 解法二　∵PC⊥底面ABC， ∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC， ∴AB⊥PA， ∵AC＝AB＝4， ∴BC＝4， ∴PC＝4，PB＝8， 在Rt△PAB中，PA＝＝4， 令点C到平面PAB的距离为d， ∵VP­ABC＝VC­PAB， ∴××4×4×4＝××4×4×d， ∴d＝. 答案　A 7．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为(　　) A．0 B． C． D． 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，E(2,1,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)， 所以＝(－2,0，－2)， 设F(m,0,0)(0≤m≤2)，则＝(m－2，－1,0)， 设异面直线B1C与EF所成的角为θ， 则cos θ＝＝＝， 当异面直线B1C与EF所成角最小时，cos θ最大，即当m＝0时，cos θ＝＝＝.故选C． 答案　C 8．(多选)下列命题是真命题的有(　　) A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β D．平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1 解析　∵a＝(1，－1,2)，b＝，∴a·b＝1×2＋(－1)×1＋2×＝0，则a⊥b，∴直线l与m垂直，故A正确．∵a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B错误．∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，∴n1与n2不共线，∴α∥β不成立，故C错误．∵点A(1,0，－1)，B(0，1,0)，C(－1,2,0)，∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴即解得u＋t＝1，故D正确． 答案　AD 9.(多选)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则正确的选项为(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1平行 解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为3，则E(1，0,1)，F(2,1,0)，A1(3，0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0,0,0)，B(3,3,0)，D1(0，0,3)； ∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)，＝(－3，0，－3)， ∵·＝0，·＝0， ∴EF⊥AC，EF⊥A1D，B正确，A错误． 由＝(－3，－3,3)，＝－， 故选项D正确，C错误． 答案　BD 10.(多选)如图在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BB1的中点，则(　　) A．直线FC1与底面ABCD所成的角为30° B．平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为 C．直线FC1与直线AE的距离为 D．直线FC1到平面AB1E的距离为 解析　以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)．对于A，∵F，C1(0,1,1)，∴＝，易知平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，设直线FC1与底面ABCD所成的角为θ，则sin θ＝＝＝.故A错误；对于B，∵A(1，0,0)，B1(1,1,1)，E，∴＝(0,1,1)，＝，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝2，得n＝(1，－2，2)，设平面AB1E与底面ABCD的夹角为α，则cos α＝＝，∴平面AB1E与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确；对于C，连接FE，∵＝，＝，∴∥，∴FC1∥AE.又＝(－1，－1,0)， ∴直线FC1与直线AE的距离d＝·＝×＝，故C正确；对于D，∵FC1∥AE，AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，连接AF，则＝，又平面AB1E的一个法向量为n＝(1，－2,2)，∴直线FC1与平面AB1E的距离h＝＝＝，故D正确．故选BCD． 答案　BCD 二、填空题(每小题5分，共20分) 11．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,1，t)，B(2,2,4)，P(0,0,5)，若平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，则直线AB的一个方向向量为________． 解析　∵A(1,1，t)，B(2,2,4)，∴＝(1,1，4－t)，又平面ABC的一个法向量为m＝(3,1，－1)，∴·m＝3＋1－4＋t＝0，解得t＝0，∴直线AB的一个方向向量为＝(1,1,4)． 答案　(1,1,4) 12.如图，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，λ的值为________． 解析　如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，1,0)，∴N. 又P(λ，0,1)，∴＝. 平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)． 设直线PN与平面ABC所成的角为θ， 则sin θ＝＝， ∴当λ＝时，(sin θ)max＝，此时角θ最大． 答案　 13．《九章算术》中的“邪田”意为直角梯形，上、下底称为畔，高称为正广，非高腰边称为邪．在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为邪田，两畔CD，AB的长分别为1,3，正广AD长为2，PD⊥平面ABCD，则邪田ABCD的邪长为________；邪所在直线与平面PAD所成角的大小为________． 解析　如图，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，则CE＝AD＝2，BE＝AB－CD＝2，∴邪田ABCD的邪长BC＝＝＝4. 以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面PAD的一个法向量为n＝(0,1,0)． 又C(0,1,0)，B(2，3,0)，则＝(2，2,0)． 设邪所在直线与平面PAD所成角为θ， 则sin θ＝＝＝，∴θ＝， ∴邪所在直线与平面PAD所成角的大小为. 答案　4　 14．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为________． 解析　如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，E(1,2,0)，＝(－1，－2,2)． 设P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z)，＝λ，λ∈[0,1]，所以(x－1，y－2，z)＝λ(－1，－2,2)． 解得x＝1－λ，y＝2－2λ，z＝2λ，所以P(1－λ，2－2λ，2λ)． 设点P在直线CC1上的射影为Q，得Q(0,2,2λ)， 所以＝＝， 当λ＝时，||min＝. 答案　 三、解答题(本题共4个小题，共30分) 15.(7分)如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点． (1)求证：MN⊥平面A1BC． (2)求直线BC1和平面A1BC所成角的大小． 解析　(1)证明　根据题意知CA，CB，CC1两两垂直，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AC＝BC＝CC1＝a，则B(0，a,0)，B1(0，a，a)，C(0，0,0)，C1(0,0，a)，A1(a,0，a)，M，N， 所以＝(a，－a，a)，＝(a,0，a)， ＝. 于是·＝0，·＝0， 即MN⊥BA1，MN⊥CA1. 又BA1∩CA1＝A1，故MN⊥平面A1BC． (2)因为MN⊥平面A1BC，则为平面A1BC的一个法向量，又＝(0，－a，a)，则cos〈，〉＝＝＝，所以〈，〉＝60°. 故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°. 16.(7分)如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. (1)求直线BF与平面ABCD所成的角； (2)求点A到平面FBD的距离． 解析　设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD；作ON∥AF，以O为原点，OD，OA，ON所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， (1)由已知得A(0,1,0)，B，C(0，－1，0)，D(，0,0)，F(0,1,2)， 因为z轴垂直于平面ABCD， 因此可令平面ABCD的一个法向量为m＝(0,0,1)， 设直线BF与平面ABCD所成的角为θ， 又＝， 则有sin θ＝＝＝＝，即θ＝， 所以直线BF与平面ABCD所成的角为. (2)因为＝，＝， 设平面FBD的法向量为n＝(x，y，z)， ⇒ 令z＝1，得n＝(0，－2,1)， 又＝(0,0,2)， 所以点A到平面FBD的距离 d＝＝＝. 17．(8分)(2024·天津卷)如图，已知直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AD⊥AB, AB∥CD, AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． (1)求证D1N∥平面CB1M； (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； (3)求点B到平面CB1M的距离． 解析　(1)第1步：建立空间直角坐标系，写出相关点和向量的坐标 以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意得，B(2,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)， B1(2,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0，1,2)， 则M(0,1,1)，N， 所以＝，＝(1，－1,2)，＝(－1,0,1)． 第2步：求平面CB1M的法向量n 设平面CB1M的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝1，得z1＝1，y1＝3，则n＝(1,3,1)． 第3步：证明⊥n，从而得到线面平行 ·n＝·(1,3,1)＝－＝0， 所以⊥n，显然D1N⊄平面CB1M，所以D1N∥平面CB1M.(另解：也可以取B1C的中点E，连接NE，ME，通过证明D1N∥ME得到D1N∥平面CB1M) (2)第1步：求平面BB1C1C的法向量 易知＝(1，－1,2)，＝(－1,1,0)， 设平面BB1C1C的法向量为m＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝1，得y2＝1，z2＝0，则m＝(1,1,0)． 第2步：求两平面夹角的余弦值 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝＝＝， 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为. (3)第1步：求 易知＝(0,0,2)． 第2步：求点到平面的距离 设点B到平面CB1M的距离为d， 则d＝＝＝， 所以点B到平面CB1M的距离为. 18.(8分)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点． (1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小； (2)当AB＝3，AD＝2时，求平面AGE与平面ACG的夹角的大小． 解析　(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE， AB∩AP＝A，AB，AP⊂平面ABP， 所以BE⊥平面ABP. 又BP⊂平面ABP，所以BE⊥BP. 又∠EBC＝120°，因此∠CBP＝30°. (2)以B为原点，BE，BP，BA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(1，，3)，C， 故＝(2,0，－3)，＝，＝(2,0,3)， 设m＝(x1，y1，z1)是平面AGE的一个法向量． 由可得 取z1＝2，可得平面AGE的一个法向量m＝(3，－，2)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量． 由，可得 取z2＝－2，可得平面ACG的一个法向量n＝(3，－，－2)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 因此平面AGE与平面ACG的夹角为60°. 学科网（北京）股份有限公司 $$