第4章 指数函数与对数函数 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

一、指数与对数的运算 指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要问题类型，也是高考的必考内容． 指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂，其次若出现分式则要注意分子、分母的因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式．换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧． 计算下列各题． (1) －×80.25－(－2 005)0； [解析]　(1)原式－1＝22×33＋2－7－2－1＝100. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋(lg 2)2＋lg 0.01 ＝3lg 2·lg 5＋3lg 5＋3(lg 2)2－2 ＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2 ＝3－2＝1. 二、指数函数、对数函数的图象问题 1．题型为选择题或填空题，主要考查识别指数函数、对数函数、幂函数的图象，利用图象解决一些数学问题． 2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1,0)． 3．识别函数的图象从以下几个方面入手 (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值． [题组训练] 1．(1)已知a＞1，b＜－1，则函数y＝loga(x－b)的图象不经过(　　) A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)对a＞0且a≠1的所有正实数，函数y＝ax＋1－2的图象一定经过一定点，则该定点的坐标是________． (3)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________(填序号)． 解析　(1)∵a＞1，∴函数y＝loga(x－b)(b＜－1)的图象就是把函数y＝logax的图象向左平移|b|个单位长度，如图．由图可知函数y＝loga(x－b)图象不经过第四象限，所以选D. (2)当x＝－1时，y＝a0－2＝－1， 所以该定点的坐标是(－1，－1)． (3)因为lg a＋lg b＝lg(ab)＝0，所以ab＝1，即b＝，则f(x)＝ax，g(x)＝logax.当a＞1时，在各自的定义域内，f(x)是增函数，g(x)是增函数，所以②正确；0＜a＜1时，在各自的定义域内，f(x)是减函数，g(x)是减函数，所以①③④都不正确． 答案　(1)D　(2)(－1，－1)　(3)② 三、指数函数、对数函数性质的应用(题点多探　多维探究) 角度1　比较大小问题 指数式与对数式的大小比较是基本初等函数中的一类重要题目类型，其主要方法有以下三种： (1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解； (2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． (1)已知a＝212，b＝－0.5，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜b＜a　　　　 B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a (2)比较下列各组数的大小． ①40.9,80.48，－1.5； ②log2 0.4，log3 0.4，log4 0.4. (1)[解析]　因为 且y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以a＞b＞20＝1. 又c＝2log52＝log54＜1， 因此a＞b＞c. [答案]　A (2)[解析]　①40.9＝21.8,80.48＝21.44，－1.5＝21.5. 因为y＝2x在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以40.9>－1.5>80.48. ②因为对数函数y＝log0.4 x在(0，＋∞)上是减函数，所以log0.4 4<log0.4 3<log0.4 2<log0.4 1＝0. 又幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是减函数， 所以<<， 即log2 0.4<log3 0.4<log4 0.4. 角度2　指数函数与对数函数性质的对比 指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系． (1)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a变化时，函数的图象和性质也随之变化． (2)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)的图象恒过定点(1,0)． (3)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)具有相同的单调性． (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1，x＞0)互为反函数，两函数图象关于直线y＝x对称． 指数函数与对数函数的综合问题 [规范答题] (12分)已知函数f(x)＝lg(ax－bx)(常数a>1>b>0)． (1)求y＝f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的单调性； (3)当a，b满足什么关系时，f(x)在(1，＋∞)上恒取正值？ [审题指导]　(1)由真数大于零，求其定义域． (2)利用指数、对数函数的性质判断单调性． (3)利用(2)的结论，求a，b满足的关系式． [规范解答]　(1)由ax－bx>0， 得x>1，(1分) 由a>1>b>0，得>1①. 故x>0. 即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(3分) (2)由(1)知f(x)的定义域为(0，＋∞)． ∵a>1>b>0， ∴函数y＝ax－bx在(0，＋∞)上是增函数， 即任意x1>x2>0. 都有y1>y2>0.(5分) 所以lg y1>lg y2， 即f(x1)>f(x2)， 即f(x)在(0，＋∞)上是增函数②.(7分) (3)由(2)知f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在(1，＋∞)上也是增函数． ∴当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．(10分) ∴只需f(1)≥0， 即lg(a－b)≥0， 即a－b≥1. 故当a≥b＋1时， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值③.(12分) 四、函数的零点与方程的根 根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，思考时要多加注意． [题组训练] 2．(1)设函数y＝x3与y＝x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A．(0,1) 　 B．(1,2) 　 C．(2,3) 　 D．(3,4) (2)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　(1)构造f(x)＝x3－x－2，f(x)的零点就是x0.又f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，f(3)＝，f(4)＝，从而有f(1)·f(2)＜0，所以x0∈(1,2)． (2)因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，令f(x)＝ex＋x－3＝0，则ex＝－x＋3，分别画出函数y＝ex和y＝－x＋3的图象，如图所示：有一个交点，所以x＞0时，函数f(x)有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点个数为3个． 答案　(1)B　(2)C 五、函数模型的应用 1．对函数模型的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力． 2．函数模型实际应用的示意图 某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如表所示： 月数 1 2 3 4 污染度 60 31 13 0 污染度为0后，该工厂停止整治，但污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)＝20|x－4|(x≥1)；g(x)＝(x－4)2(x≥1)；h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度． (1)请问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由； (2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60. [解析]　(1)选择函数h(x)＝30|log2x－2|(x≥1)模拟比较合理．理由如下： 因为f(2)＝40，g(2)≈26.7，h(2)＝30， f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)＝30|log23－2|≈12.6， 由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理． (2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60. 学科网（北京）股份有限公司 $$