第1章 教考衔接1——集合的新定义问题(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第一册（人教A版）

一、真题展示 1．(湖北卷)设P，Q为两个非空数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(　　) A．9　　　　　　　 B．8 C．7 D．6 2．(重庆卷节选)对正整数n，记In＝{1,2，…，n}，Pn＝，求集合P7中元素的个数． 二、真题溯源 [教科书P15“阅读与思考”] 集合中元素的个数 在研究集合中，经常遇到有关集合中元素的个数问题．我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数． 某超市进了两次货，第一次进的货是圆珠笔、钢笔、橡皮、笔记本、方便面、汽水共6种，第二次进的货是圆珠笔、铅笔、火腿肠、方便面共4种，两次一共进了几种货？ 三、类法探究 集合中的新定义问题是指给出全新的数学概念、公式、运算、法则等，在此背景下完成某种推理或指定要求的集合问题．解决此类问题的解题思路：从新情境中获取信息，理清集合问题中新定义的具体内容，分析新定义的特点与本质，搭建相关的集合知识网络，进而将新定义的问题转化为熟悉的问题，从而使问题得到解决，也就是“以旧带新”法． 类型一　新定义 设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．已知集合T＝{1,2,3,5}，则T的“孤立元”是________；对给定集合S＝{1,2,3,4,5,6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有________个． [解析]　集合T＝{1,2,3,5}，依次判断每个元素是否为“孤立元”： 对于1,2∈T，不是“孤立元”； 对于2,1∈T,3∈T，不是“孤立元”； 对于3,2∈T，不是“孤立元”； 对于5,4∉T,6∉T，是“孤立元”， 所以T的“孤立元”是5. 由集合S中3个元素构成的所有集合有20个， 不含孤立元的集合有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，共4个，故含“孤立元”的集合有16个． [答案]　5　16 [反思感悟] 分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在. 类型二　新运算 已知集合A＝{0,2,3}，定义集合运算A※A＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则A※A＝________. [解析]　由题意知，集合A＝{0,2,3}， 则a与b可能的取值为0,2,3， ∴a＋b的值可能为0,2,3,4,5,6， ∴A※A＝{0,2,3,4,5,6}． [答案]　{0,2,3,4,5,6} [反思感悟] 新运算的题型就是以集合内容为背景，给出一个新的运算，要求学生在理解新的运算的基础上去解决相应的问题. 类型三　新法则 (多选)对于集合A，B，定义A＋B＝{x＋y|x∈A，y∈B}，下列选项正确的是(　　) A．A＋B＝B＋A B．(A＋B)＋C＝A＋(B＋C) C．若A＋A＝B＋B，则A＝B D．若A＋C＝B＋C，则A＝B [解析]　选项A中，集合A、B满足A＋B＝{x＋y|x∈A，y∈B}， ∴B＋A＝{y＋x|y∈B，x∈A}＝{x＋y|x∈A，y∈B}＝A＋B，∴A正确； 选项B中，(A＋B)＋C＝{x＋y＋z|x∈A，y∈B，z∈C}， A＋(B＋C)＝{x＋y＋z|x∈A，y∈B，z∈C}， ∴(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)，B正确； 选项C中，当A＝{1,5}，B＝{2,4}时， 满足{x1＋x2|x1∈A，x2∈A}＝{y1＋y2|y1∈B，y2∈B}，但A＝B不成立，∴C错误； 选项D中，当A＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，C＝{x|x＝n，n∈Z}时， 满足{x＋z|x∈A，z∈C}＝{y＋z|y∈B，z∈C}，但A＝B不成立，∴D错误； 综上，以上正确的选项是A、B，故选AB. [答案]　AB 学科网（北京）股份有限公司 $$