精品解析：广东省揭阳市2023-2024学年高一下学期教学质量测试数学试卷

揭阳市2023—2024学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和虚部的概念即可. 【详解】，则其虚部为， 故选：B. 2. 已知由小到大排列的4个数据的极差是它们中位数的2倍，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差和中位数的关系列式计算. 【详解】由小到大排列的4个数据1，3，4，，则， 这4个数据的极差为，中位数为， 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 所以，解得． 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊余弦值的通式表示，结合充分不必要条件的判断即可求解. 【详解】由，则，故充分性成立， 由，则，无法推出，故必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 4. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算以及数乘运算即可得到结果. 【详解】因为为平行四边形， 则有， ∴. 故选：C. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解. 【详解】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线， 其对称轴左侧的图象是下降的， ∴，故， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 6. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解. 【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等， 设该正六棱台的上下底面积分别为，高为， 则，，， 故. 故选：D 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，，由其单调性结合图象得出大小关系. 【详解】构造函数，， 所以，， 因为均为上增函数，则函数，为增函数. 函数，与函数的图象，如下图所示： 由图可知，. 又，， 所以. 综上，. 故选：C 8. 在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出，再根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 如图所示，则的面积为， 即，因为，． ． 当且仅当，结合得时等号成立， 所以，的最小值为． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用正弦定理得，再利用面积法得到，最后根据基本不等式中的乘“1”法即可. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 【答案】AC 【解析】 【分析】由模长的计算可得A正确；由向量垂直的坐标表示可得B错误；由投影向量的模的计算可得C正确；由向量的夹角公式可得D错误. 【详解】A：由题意可得，故A正确； B：因为， 所以，故B错误； C：在上的投影向量的模为，故C正确； D：与的夹角的余弦值为，所以夹角不是钝角，故D错误； 故选：AC. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 若的图象关于直线对称，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得，再利用正弦型函数的性质，结合代入法、整体法逐一判断各项正误. 【详解】对A，由 ，最小正周期，A错； 对B，由，即是对称中心，B对； 对C，由，则，显然在区间上单调递增，C对； 对D，由题意，故，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 函数是奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解. 【详解】对于A：因为且， 令，则，解得， 令，则， 令，，则，解得，故A正确； 对于B：令，可得， 即， 所以 ，故B正确； 对于C：令，且，则， 可得， 若时，时，，此时函数为单调递增函数； 若时，时，，此时函数为单调递减函数， 所以函数不一定有最大值，故C错误； 对于D：令，可得，可得， 即，所以函数是奇函数，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则的所有元素之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出集合B，再求，然后可得. 【详解】由题知，， 所以， 所以的所有元素之和为. 故答案为：. 13. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性，可求出时的值域，进而可知当时，有恒成立，最后结合指数的运算即可求解. 【详解】当时，，此时， 因为函数的值域为， 所以当时，有恒成立， 即在时恒成立， 所以，解得. 故答案为：. 14. 一个三棱锥形木料，其中底面是的等腰直角三角形，底面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用几何体的特征，先作出二面角的平面角，计算出长，再利用直角四面体的外接球直径公式就是补形为长方体的同一顶点三条棱长的平方和的算术平方根，再由表面积公式计算即可. 【详解】 由是的等腰直角三角形，取的中点为，则， 又因为底面，底面，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又因平面，所以， 即就是二面角的平面角， 因为二面角的大小为，所以， 又因为，，所以， 由于这个四面体是直角四面体，它可以补形为一个长方体， 从而可得它的外接球半径满足： 则三棱锥的外接球表面积为： 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记的内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）首先判断，即可求出，最后根据及两角和的正弦公式计算可得. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理， 因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得，所以， 所以， 所以 . 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面. （1）设分别为的中点，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形性质可得为的中点，即可得到，从而得证； （2）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，连接，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 连接，因为底面为平行四边形，为的中点， 所以，且为的中点， 由为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接，因为为等边三角形， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 连接，所以为直线与平面所成角， 因为为等边三角形，，所以， 又平面，故，在中，因为， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 17. 某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？ （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 【答案】（1）依次抽取人、人 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由频率分布直方图的频率求法求得，两个区间样本中的学生人数，按照分层抽样的方法即可求得结果； （2）利用列举法及古典概型的概率公式即可求得所求概率； （3）根据题意，利用频率分布直方图的面积即频率，可求得使后段区间频率为时的区间左端点，即所求最低分数线. 【小问1详解】 依题意，设区间中应抽人，区间中应抽人，得 成绩在区间样本中的学生人数为：； 成绩在区间样本中的学生人数为：； 所以，解得， 所以区间中应抽人，区间中应抽人. 【小问2详解】 由（1）得，不妨记区间中人为，区间中人为， 则从中抽取2名学生（注意分先后）的基本事件为共20件， 其中第二个交流分享的学生成绩在区间[90,100]（记为事件）的基本事件为 共12件， 故，即第二个交流分享的学生成绩在区间的概率为. 【小问3详解】 由频率分布直方图易得，的频率为，的频率为， 所以成绩良好的最低分数线落在区间中，不妨记为， 故，解得， 所以成绩良好的最低分数线为. 18. 已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，从而得到关于、的方程组，解得即可； （2）按照定义法证明单调性的步骤取值、作差、化简、定号、下结论即可； （3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得. 【小问1详解】 因为是定义域上的奇函数，且， 所以， 所以，解得，即． 经检验，奇函数，满足题意，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数上单调递减． 当，且， 则，，∴， ∴，即， 所以函数在上单调递增． 【小问3详解】 由题意知， 令，则， 由（2）可知函数在上单调递减， ∴， 因为函数的对称轴方程为， ∴函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的，都有恒成立， ∴， 即，解得， 又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）设点为的费马点，若，求的最小值； （3）设点为的费马点，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的范围，求出的范围，即可得解； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得，再由基本不等式计算可得； （3）由（1）结论可得，设，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式即可求得答案. 【小问1详解】 因为，又，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，，，由 得：，整理得， 则， 又，所以，所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为； 【小问3详解】 由（1）知，所以三角形的三个角都小于， 故由点为的费马点得， 设， 则由得； 由余弦定理得， ， ， 故由得， 即，而，故， 当且仅当，结合，解得时，等号成立， 又，即有，解得或（舍去）， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，从而结合（1）的结论可解答第二问，解答第三问的关键在于设，推出，结合费马点含义，利用余弦定理推出，然后利用基本不等式即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 揭阳市2023—2024学年度高中一年级教学质量测试 数学 本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处. 2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄皱，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 7 2. 已知由小到大排列的4个数据的极差是它们中位数的2倍，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 中国南北朝时期数学家､天文学家祖冲之､祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ） A. 24 B. C. D. 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 在上的投影向量的模为 D. 与的夹角为钝角 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点成中心对称 C. 在区间上单调递增 D. 若的图象关于直线对称，则 11. 已知函数的定义域为，且，若，则（ ） A. B. C. 有最大值 D. 函数是奇函数 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则所有元素之和为__________. 13. 若函数的值域为，则实数的取值范围为__________. 14. 一个三棱锥形木料，其中底面是等腰直角三角形，底面，二面角的大小为，则三棱锥的外接球表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记内角所对的边分别为，已知. （1）求； （2）若，求. 16. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面. （1）设分别为的中点，证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. 某校举办“奋进新征程，建功新时代”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图： （1）用分层随机抽样的方法从这两个区间共抽取5名学生，则每个区间分别应抽取多少人？ （2）在（1）的条件下，该校决定在这5名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； （3）现需根据学生成绩制定评价标准，评定成绩较高的前70%的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线.（精确到1） 18. 已知是定义域上的奇函数，且. （1）求的解析式； （2）判断并用定义证明在区间上的单调性； （3）设函数，若对任意的，，求实数的最小值. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出的，该问题是“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小."意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）设点为的费马点，若，求的最小值； （3）设点为的费马点，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$