第16讲 直线与圆的位置关系（三大题型归纳+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第16讲 直线与圆的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 直线与圆位置关系的判定 3 题型02 直线与圆相切的有关问题 6 题型03 直线截圆所得弦长问题 9 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 20 创新拓展 30 一、直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __个 __个 __个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d__r d__r d__r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ__0 Δ__0 Δ__0 注意点： 直线与圆的位置关系常用几何方法判断 二、直线截圆所得弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2＋d2＝r2， 即AB＝________. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB＝ ＝________________，或AB＝__________________(直线l的斜率k存在且不为0)． 注意点： (1)弦长公式的前提是判别式大于零． (2)斜率不存在时AB＝|y1－y2| 题型01直线与圆位置关系的判定 【解题策略】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【典例分析】 【例1】已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【变式2】（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是 ． 【变式3】已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 题型02 直线与圆相切的有关问题 【解题策略】 　求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条 【典例分析】 【例2】课本例2　自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【变式3】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 题型03 直线截圆所得弦长问题 【解题策略】 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【典例分析】 课本例3　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 【例3】(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB； (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 . 【变式3】直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程． 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期中）若直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 3．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 6．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知直线，圆的方程为，则下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 三、填空题 7．（22-23高二上·四川雅安·期中）直线与圆O：的位置关系是 ． 8．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）直线与圆的位置关系为 . 9．（21-22高二上·陕西安康·期末）已知圆C:，直线，则直线与圆C的位置关系是 四、解答题 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：． (1)写出圆C的标准方程； (2)当m满足什么条件时，直线l和圆C相交． 11．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 12.（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·辽宁·期中）已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（22-23高二·全国·课后作业）直线与圆的位置关系是 ． 8．（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ． 9．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若经过坐标原点O且互相垂直的两条直线和与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的取值范围是 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 11．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）圆内有一点为过点P且倾斜角为的弦 (1)判断点与圆C的位置关系 (2)当时，求弦AB的长 (3)当P为弦AB靠近A的三等分点且点A在第一象限，求直线AB方程 【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西南昌·期中）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（22-23高二上·湖南常德·期末）直线与圆的位置关系是 . 3．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 三、解答题 4．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线l：和圆O：相交于A，B两点. (1)当且时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标； (2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且半径为1，点到直线的距离为. (1)求圆的方程； (2)若点在第二象限，试判断圆与圆的位置关系. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 直线与圆的位置关系 目录 题型归纳 1 题型01 直线与圆位置关系的判定 3 题型02 直线与圆相切的有关问题 6 题型03 直线截圆所得弦长问题 9 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 20 创新拓展 30 一、直线与圆位置关系的判定 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 两个 一个 零个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 注意点： 直线与圆的位置关系常用几何方法判断 二、直线截圆所得弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2＋d2＝r2， 即AB＝2. (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB＝ ＝|x1－x2|，或AB＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． 注意点： (1)弦长公式的前提是判别式大于零． (2)斜率不存在时AB＝|y1－y2| 题型01直线与圆位置关系的判定 【解题策略】 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系 【典例分析】 【例1】已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 解　方法一　由 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0， 判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2) ＝－4(b＋2)(b－2)． 当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点． 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点． 当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，直线与圆没有公共点． 方法二　圆的半径r＝，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝. 当d＜r，|b|<2，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点． 当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点． 当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点． 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知直线和圆，则直线l与圆C（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相交且过圆心 【答案】A 【分析】计算圆心到直线的距离，将这个距离和半径比较即可. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，即， 所以直线与圆相切. 故选：A. 【变式2】（21-22高二上·重庆黔江·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】由直线方程可得直线过定点，判断定点与圆的位置关系即可求解. 【详解】直线，变形为：， 所以直线过定点，设该点为， 由圆：知圆心，半径， 所以， 所以定点在圆内， 所以直线与圆相交. 故答案为：相交 【变式3】已知直线方程为mx－y－m－1＝0，圆的方程为x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，直线与圆： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线方程mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4， 即圆心为C(2,1)，半径r＝2. 圆心C(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 题型02 直线与圆相切的有关问题 【解题策略】 　求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x0，y0)在圆上． ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程． ②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. (2)点(x0，y0) 在圆外． ①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程． ②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条 【典例分析】 【例2】课本例2　自点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程． 解　方法一　当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件． 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0. 如图，因为直线与圆相切，所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径，从而＝1，解得k＝0或k＝－. 因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0. 方法二　当直线l垂直于x轴时，直线l：x＝－1与圆相离，不满足条件． 当直线l不垂直于x轴时，可设直线l的方程为 y－4＝k(x＋1)． 因为直线l与圆相切，所以方程组 仅有一组解． 由方程组消去y，得到关于x的一元二次方程 (1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0， 依题意，这个一元二次方程有两个相等的实数根，所以可得判别式 Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得k＝0或k＝－. 因此，所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B 【变式2】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解. 【详解】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程； （2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得. 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或. 题型03 直线截圆所得弦长问题 【解题策略】 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式． (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况 【典例分析】 课本例3　求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长． 解　方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点的坐标就是方程组的解． 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)． 从而知直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 所以OM＝＝， 从而AB＝2AM＝2＝2＝2. 【例3】(1)求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB； (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程． 解　(1)联立直线l与圆C的方程，得解得或所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长AB＝＝. (2)圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离 d＝＝3. ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 由点到直线的距离公式， 得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二下·广东湛江·开学考试）直线被圆截得的弦长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 所以直线被圆截得的弦长为． 故选：C． 【变式2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）直线与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】 【分析】设出，坐标，根据数量积关系与勾股定理即可求解. 【详解】设、，线段的中点坐标为， 则， 且∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 故答案为： 【变式3】直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4，求l的方程． 解　根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 方法一　联立方程组 消去y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得k＞0. 又x1＋x2＝－， x1x2＝， 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2)． 则AB＝ ＝ ＝ ＝ ＝4.两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意． 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 方法二　如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半． 在Rt△AHO中，OA＝5， AH＝AB＝×4＝2， 则OH＝＝. ∴＝， 解得k＝或k＝2. ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广东广州·期中）若直线与圆交于两点，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合垂径定理求弦长. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 所以. 故选：D. 2．（23-24高二上·四川成都·期末）若直线平分圆，则实数的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】列出所满足的条件，由直线过圆心求得的值. 【详解】可化为，则， 又直线平分圆， 则直线经过圆心. 代入直线得，解得或. 因为不满足，故 故选：C. 3．（23-24高二下·湖南益阳·阶段练习）直线截圆所得弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断直线所过的定点，再根据点与圆的位置关系，以及弦长公式，即可求解. 【详解】直线化简为， 联立，得， 所以直线恒过定点， 点满足，所以点在圆内， 所以当点是弦的中点时，此时弦长最短， 圆心和定点的距离为1，所以最短弦长为. 故选：B 4．（23-24高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】圆的圆心，半径为， 若直线和圆相交， 则，解得， 所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件. 故选：B. 二、多选题 5．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线和圆，则（    ） A．直线恒过定点 B．存在使得直线与直线垂直 C．直线与圆相交 D．直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对：由可得，， 令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误； 对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为， 此时直线与直线垂直，满足题意，正确； 对C:因为定点到圆心的距离为， 所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确； 对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为， 此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确； 故选：. 6．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知直线，圆的方程为，则下列表述正确的是（    ） A．当实数变化时，直线恒过定点 B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为 C．当时，圆关于直线对称 D．当时，直线与圆没有公共点 【答案】ACD 【分析】选项A，将直线化成，即可判断出结果的正误；选项B，根据选项条件得直线方程为：，再利用平行线间的距离公式，即可求解；选项C，根据条件，得出直线过圆心，即可判断出选项C的正误；选项D，求出圆心到直线的距离，再利用直线与圆的位置作出判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，由直线的方程，可化为， 直线恒经过定点，故选项A正确， 对于选项B，因直线与平行，所以，则直线方程为：， 则两条直线的距离为，故选项B错误， 对于选项C，圆的方程为， 则圆的标准方程为，所以圆心， 当，即 时，直线经过圆心，所以圆关于直线对称，故选项C正确， 对于选项D，当时，直线，圆心到直线的距离， 所以直线与圆没有公共点，故选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题 7．（22-23高二上·四川雅安·期中）直线与圆O：的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离和半径比较大小即可． 【详解】因为圆的方程为．所以圆心为，半径为1， 直线化为， 又因为圆心到直线的距离，所以相交． 故答案为：相交. 8．（23-24高二上·江西九江·阶段练习）直线与圆的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】判断出直线过定点，且定点在圆内可得答案. 【详解】由得， 因为可得解得， 所以直线过定点， 又因为，可得在圆内， 所以直线与圆总相交. 故答案为：相交. 9．（21-22高二上·陕西安康·期末）已知圆C:，直线，则直线与圆C的位置关系是 【答案】相交 【分析】由直线的方程可得直线过定点，进而可得点在圆内部，即可得到位置关系. 【详解】直线的方程可化为，令，可得， 所以直线过定点， 又圆的方程可化为， ， 点在圆内，所以直线与圆相交. 故答案为：相交. 四、解答题 10．（22-23高二上·云南昆明·期中）已知圆C：和直线l：． (1)写出圆C的标准方程； (2)当m满足什么条件时，直线l和圆C相交． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用配方法化方程为标准方程即得. （2）利用圆的圆心到直线的距离小于半径，求解不等式即得. 【详解】（1）圆C：的方程化为：， 所以圆C的标准方程为. （2）由（1）知圆的圆心，半径， 由，解得， 所以当时，直线l和圆C相交. 11．（23-24高二上·福建南平·期末）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆心坐标为，由题意，解方程组得圆心，进一步求得半径即可； （2）求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得即可得解. 【详解】（1）设圆心坐标为， 由于圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点， 可得，解得，即圆心坐标为， 由于圆与轴相切于点，则半径. 所以圆的方程为. （2）依题意，圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交于两点， 所以弦长， 所以 12.（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆． (1)求直线与圆相交所得的弦长； (2)求圆关于直线对称所得的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果. 【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段， 因为圆圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 则， 所以直线与圆相交所得的弦长为. （2）设圆关于直线对称所得的圆为圆， 由题意可得圆心与圆心关于直线对称， 设圆心，则，解得， 则，则圆的方程为 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二下·江西·阶段练习）以直线：和：的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出交点，得到圆心坐标，由点到直线距离得到半径，从而得到圆的方程. 【详解】联立方程组，解得，即所求圆的圆心坐标为， 所以圆心到直线的距离， 故所求圆的方程为． 故选：A 2．（23-24高二上·辽宁·期中）已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】D 【分析】易得点在圆上，故切线只有一条，且与直线垂直，根据的值，可求出切线的斜率，继而求得倾斜角. 【详解】因为在圆O上，则切线只有一条， 圆心为，所以， 所以过M的切线l的斜率为， 设切线的倾斜角为，则， 由于，故， 即， 故选：D． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆，过点作圆的切线.则该切线的一般式方程为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑过的直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，结合圆心到直线的距离等于半径得到方程，求出直线方程. 【详解】的圆心为，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，故不是圆的切线， 当过的直线斜率存在时，设直线方程为， 则，解得， 则直线方程为，化为一般式为. 故选：A 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程. 【详解】圆，即，圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 由圆与圆关于直线对称， 可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得， 经检验，满足题意，则点的坐标为， 设圆心为坐标为，则，整理得， 即圆心的轨迹方程为. 故选：D. 二、多选题 5．（23-24高二下·浙江·期中）若直线与圆相交于两点，则的长度可能等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BCD 【分析】根据直线过定点，可得，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】设圆心到直线的距离为， 由于直线恒过原点，且，故， 又，即， 故选：BCD． 6．（23-24高二上·福建厦门·期中）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，分为切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线的方程． 【详解】圆的圆心为，半径， 若切线的斜率不存在，此时切线的方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，得，解得， 所以切线方程为， 综上可知，切线方程为或． 故选：BC． 三、填空题 7．（22-23高二·全国·课后作业）直线与圆的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，得到位置关系. 【详解】圆，即， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，故直线与圆的位置关系是相切. 故答案为：相切 8．（2024·全国·模拟预测）对于任意的，且，均有定直线与圆相切，则直线的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据圆心在直线且是与圆相切的一条定直线，即可根据二倍角公式求解切线斜率，进而可求解. 【详解】由得， 圆心，半径，显然直线与圆相切， 注意到圆心在定直线上，设直线的倾斜角为， 则另一条定直线的倾斜角为，且该直线过定点， 故该直线为，即．综上，直线为或． 故答案为：或 9．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）若经过坐标原点O且互相垂直的两条直线和与圆相交于A，C，B，D四点，则四边形面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将圆方程化为标准方程即知其圆心和半径，然后分别设和的方程为和，再利用点到直线的距离公式并结合勾股定理将弦长表示为关于的函数，最后代入并求解对应表达式的取值范围即可. 【详解】 如图，将圆方程化为标准方程得到， 从而圆心为，半径为. 设圆心为，则. 由于直线和均过原点，且互相垂直，记直线的倾斜角是，则， 且和的方程分别是和. 由点到直线的距离公式，知圆心到直线即的距离为， 圆心到直线即的距离为. 分别记的中点为，则，，，， 根据勾股定理，有， . 设四边形的面积为，由于，知. 从而我们有： ， 由于，故可取一个固定的实数，使得，. 从而 ， 设， 由于是函数的一个周期，故在条件下的取值范围就是在可取任意实数时的取值范围. 而当可取任意实数时，的取值范围是， 所以的取值范围是， 即的取值范围是. 这便说明四边形ABCD的面积的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将和的方程分别设为和，由此便可避免额外讨论或斜率不存在的情形，且基于和的某种对称性，这样得出的表达式也更具备对称性，处理手段更多. 四、解答题 10．（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程： (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解； （2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解. 【详解】（1）据点可设直线方程为. 圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为， 从而. 所以， 得. 这就说明或，所以所求直线的方程为或. （2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为， 所以该圆的方程是，即. 而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为. 所以，解得. 故所求的圆的方程为或. 11．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）圆内有一点为过点P且倾斜角为的弦 (1)判断点与圆C的位置关系 (2)当时，求弦AB的长 (3)当P为弦AB靠近A的三等分点且点A在第一象限，求直线AB方程 【答案】(1)圆外 (2) (3) 【分析】（1）求得点到圆心的距离，即可判断； （2）先求直线AB的方程，再求圆心到直线的距离，即可求解； （3）取弦AB中点D，设，设直线方程为，利用圆心到直线的距离，构建出方程组，即可求解. 【详解】（1）圆，故圆心为，半径， 则， 所以点在圆外； （2）依题知直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长为； （3）取弦AB中点D，设 设直线方程为， 由圆心O到直线的距离为OD，， ， ， 即所求直线方程为.   【创新拓展】 一、单选题 1．（22-23高二上·江西南昌·期中）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 二、填空题 2．（22-23高二上·湖南常德·期末）直线与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【分析】由圆的一般方程可求得圆心和半径，利用点到直线距离公式可求得圆心到直线距离小于半径，由此可得结论. 【详解】由圆方程知：圆心，半径， 圆心到直线的距离，直线与圆相交. 故答案为：相交. 3．（23-24高二上·北京延庆·期末）已知圆，求经过点的圆的切线方程 ． 【答案】 【分析】由题可知切线的斜率存在，设出切线方程利用圆心到切线的距离为半径可求斜率，从而得到切线方程. 【详解】由题可知切线的斜率存在，设切线方程为，即， ，解得，所以切线方程为. 故答案为：. 三、解答题 4．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）已知直线l：和圆O：相交于A，B两点. (1)当且时，过点A，B分别作圆O的两条切线，求两切线的交点坐标； (2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在点满足 【分析】（1）求出交点A，B坐标，由过切点的半径与切线垂直得切线斜率从而得切线方程，两切线方程联立方程组可解得交点坐标； （2）假设存在满足题意，设出A，B坐标由已知得，由直线方程与圆方程联立 ，消元后利用韦达定理，代入，由恒等式知识可得． 【详解】（1）由，可得，代入圆的方程解得， 所以，，圆O上过点A的切线为， 由，得，所以切线的方程为， 化简得，同理过点B的切线为， 将两方程联立可得两切线交点坐标为. （2）假设轴上存在点满足题意，设，，， 则，即，整理得，又，， 代入上式可得，， 整理得，① 由，得， ，，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，. 故轴上存在点满足. 【下节预览】 1、 解答题 1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知圆的圆心在直线上，且半径为1，点到直线的距离为. (1)求圆的方程； (2)若点在第二象限，试判断圆与圆的位置关系. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】由题意，设设，根据点到直线的距离公式建立关于a的方程，解之即可求解； （2）由（1），确定两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系即可求解. 【详解】（1）由题意知，设，则圆， 由点到直线的距离为，得， 解得或， 所以圆的方程为，或. （2）依题意，圆，其圆心为，半径为， 圆，其圆心为，半径为， ， 当，即时，圆与圆内含； 当，即时，圆与圆内切； 当，即时，圆与圆相交； 当，即时，圆与圆外切； 当，即时，圆与圆外离. 综上，当时，圆与圆内含； 当时，圆与圆内切； 当时，圆与圆相交； 当时，圆与圆外切； 当时，圆与圆外离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$