精品解析：湖北省武汉市硚口区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023～2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 2. 下列调查中，适合全面调查方式的是（ ） A. 检测东湖的水质情况 B. 调查某批次的灯泡的使用寿命 C. 了解长江中的鱼的种类 D. 了解某班学生的视力情况 3. 第二象限的点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 5. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，潜望镜中的两面镜子，互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个小于3的正无理数___________． 12. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为______度． 13. 如图，，平分，则的大小是______． 14. 老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后老张养兔数比买入种兔数增加了4只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数少于老李养兔数的，则一年前老张至少买了______只种兔． 15. 已知两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是______． 16. 已知关于x，y的方程组下列四个结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②若，则； ③无论m取什么实数，的值始终不变； ④存在实数m使得． 其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程组 （1） （2） 18. 求满足不等式组的整数解． 19. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 20. 如图，，C点在上，，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求和的大小． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，已知，现将平移至，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F． （1）画出，直接写出点E的坐标是______，点F的坐标是______； （2）点P在y轴上，使的值最小，画出点P； （3）若Q为直线上一动点，直接写出线段的最小值； （4）点M在线段上，使的面积为12，画出点M． 22. 某商店准备采购甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． （1）求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元； （2）若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ （3）若甲种玩具每件售价降低元，乙种玩具售价不变，在（2）的采购方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，求a的值． 23. 如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． （1）直接写出a，b，c的值； （2）若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； （3）如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； （4）如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 计算：（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】， ． 故选：． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，数量掌握定义和正确计算是解答本题的关键． 2. 下列调查中，适合全面调查方式的是（ ） A. 检测东湖的水质情况 B. 调查某批次的灯泡的使用寿命 C. 了解长江中的鱼的种类 D. 了解某班学生的视力情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 【详解】解：A、检测东湖的水质情况，应采用抽样调查，故此选项不合题意； B、调查某批次的灯泡的使用寿命，破坏性较强，应采用抽样调查，故此选项不合题意； C、了解长江中的鱼的种类，应采用抽样调查，故此选项不合题意； D、了解某班学生的视力情况，适宜用全面调查，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 第二象限的点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点在各个象限的符合特征；由点到坐标轴的距离得，，结合象限符号特征，即可求解；掌握象限符号特征及“到轴的距离为，到轴的距离为”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ，， ， ， 点第二象限， ， ， ， 故选：B． 4. 若是关于x和y的二元一次方程的解，则a的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故选：A． 5. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式性质，熟练掌握不等式性质：1．不等式两边同时加上或减去同一个数不等号不变；2．不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号不变； 3．不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向是解题的关键．根据不等式性质逐项判定即可． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，潜望镜中的两面镜子，互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，得到． 由平行线的性质推出，而，，得到． 【详解】解：， ， ，， ． 故选：B． 7. 如图，直线，于点E．若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，与交于点，根据平行线的性质，求出的度数，再直角三角形的两锐角互余即可求出． 【详解】解：延长，与交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的性质是解题的关键． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种 【答案】B 【解析】 【分析】设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x的数量分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设采购A种图书x本，B种图书y本，C种图书z本，其中且均为整数，根据题意得， ， 整理得，， ①当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； ②当时，， ∴ ∵且均为整数， ∴当时，，∴； 当时，，∴； 当时，，∴； 综上，此次共有6种采购方案， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键． 10. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个小于3的正无理数___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可. 【详解】解：∵， ∴ 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键． 12. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，角度的和差． 根据对顶角相等得到，再根据角的差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 13. 如图，，平分，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，先证明，，再结合角平分线的定义可得答案； 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； 故答案为： 14. 老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后老张养兔数比买入种兔数增加了4只，老李养兔数比买入种兔数的2倍少1只，老张养兔数少于老李养兔数的，则一年前老张至少买了______只种兔． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用；设一年前老张买了x只兔子，则可表示出老张与老李的兔子数，根据不等关系：老张养兔数少于老李养兔数的，列出不等式并求解即可，注意x取整数． 【详解】解：设一年前老张买了x只兔子，则一年后老张的兔子数为只，老李的兔子数为只， 由题意，得：， 解得：； 由于x取整数，则最小取； 答：一年前老张至少买了12只种免． 15. 已知两点，将线段平移，平移后对应线段的一个端点落在轴上，另一个端点落在经过点，且平行于轴的直线上，则点对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据平移后点或点在轴上，再结合平移的性质即可解决问题． 【详解】解：当平移后点的对应点在轴上时， ， 解得． 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 所以点对应点的坐标为． 当平移后点的对应点在轴上时， ， 因为点的对应点落在经过点，且平行于轴的直线上， 所以， 则， 所以点对应点的坐标为． 故答案为：或 16. 已知关于x，y的方程组下列四个结论： ①当时，方程组的解也是方程的解； ②若，则； ③无论m取什么实数，的值始终不变； ④存在实数m使得． 其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，求不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．①把m看作已知数表示出方程组的解，把代入求出与的值，代入方程检验即可；②把与代入求出m的值，即可作出判断；③把与代入中计算得到结果，判断即可；④把与代入求出m的值，判断即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 当时，，， 把，代入得：， ∴当时，方程组的解也是方程的解，故①正确； 把，代入得， ， 解得：， ∴时，；故②错误； ， ∴无论m取什么实数，的值始终不变，故③正确； 当时，， 解得：， ∴存在实数m使得，故④正确； 综上分析可知：正确的结论是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把②代入①得， ， ， 把代入②得， ， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， ②得③， 得， ， 把代入①得， ， 原方程组的解为． 18. 求满足不等式组的整数解． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．根据不等式组解出解集再得到整数解． 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， 故不等式组的整数解有：． 19. 为落实“双减”政策．优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）按照完成时间分成五组：A组．“”，B组．“”，C组．“”，D组．“”，E组“”，将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的总人数是_______人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是________度； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100， 补全的条形统计图如下图所示： （2）72 （3）1710人 【解析】 【分析】（1）根据C组人数及所占比例得出总人数，确定D组的人数即可补全统计图； （2）用360度乘以B组人数所占的比例即可； （3）总人数乘以不超过90分钟学生的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：人， ∴D组的人数为： ， 【小问2详解】 ， 故答案为：； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】题目主要考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体及求扇形的圆心角等，理解题意，根据扇形统计图与条形统计图获取相关信息是解题关键． 20. 如图，，C点在上，，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求和的大小． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质进行证明即可； （2）根据平行线的性质得出，根据，求出，，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ， ， ， ， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，已知，现将平移至，点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F． （1）画出，直接写出点E的坐标是______，点F的坐标是______； （2）点P在y轴上，使的值最小，画出点P； （3）若Q为直线上一动点，直接写出线段的最小值； （4）点M在线段上，使的面积为12，画出点M． 【答案】（1）作图见解析；；， （2）见解析 （3） （4）见解析 【解析】 【分析】（1）根据点A对应点D，作出点B、C的对应点E、F，然后顺次连接即可；根据图形写出写出点E的坐标和点F的坐标即可； （2）根据两点之间线段最短，连接，则与y轴的交点即为点P； （3）过点A作与点Q，连接、，根据平移可知：，求出，根据，求出结果即可； （4）取格点、H，连接，，延长交与点M． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形，点E的坐标是，点F的坐标是； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求作的点； 【小问3详解】 解：过点A作与点Q，连接、，如图所示： ∵垂线段最短， ∴此时最小， 根据平移可知：， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：取格点、H，连接，，延长交与点M，则点M即为所求作的点，如图所示： 根据格点特点可知：，， ∴． 【点睛】本题主要考查了平移作图，坐标与图形，三角形面积的计算，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握平移的性质，在网格中求三角形的面积． 22. 某商店准备采购甲、乙两种玩具360件，已知购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元．其中甲种玩具的售价为130元/件，乙种玩具的售价为90元/件． （1）求甲、乙两种玩具每件的进价分别为多少元； （2）若乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，请通过计算说明该商店有几种采购方案？ （3）若甲种玩具每件售价降低元，乙种玩具售价不变，在（2）的采购方案中，该商店销售这360件玩具获得的最大利润为7048元，求a的值． 【答案】（1）甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元 （2）5种 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组与不等式组的应用，一次函数的应用； （1）设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元．利用购进40件甲种玩具和30件乙种玩具，需要5700元；购进20件甲种玩具和40件乙种玩具，需要4600元，再建立方程组解题即可； （2）设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件，利用乙种玩具数量不少于甲种玩具数量的3.5倍，且利润不低于8720元，再建立不等式组解题即可； （3）设总利润为元．则，再结合一次函数的性质解答即可； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种玩具每件的进价分别为元，元． 依题意可得： 解得： 答：甲、乙两种玩具每件的进价分别为90元，70元． 【小问2详解】 解：设该商店购进甲种玩具件，则依题意知购进乙种玩具件， 依题可得 解不等式组得： 为整数， ． 故该商店有5种采购方案． 【小问3详解】 设总利润为元．则 ， 当时，， 解得：合题意． 23. 如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． （1）求证：； （2）如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①；②存在，17或或或 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，分类讨论，明确角与角之间的关系． （1）由对顶角的定义得到，结合，根据同旁内角互补即可证明； （2）①分别过点K，G作，则 ，推出，根据．分别为的角平分线，得到，，进而得到，即可求出结果；②由①中结论，求出，，分，，第二次且在右侧，，第二次且在左侧，五种情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 【小问2详解】 解：①分别过点K，G作， ， ， ， ．分别为的角平分线， ，， ， ， ， ， ； ②， ，，， ， 由①知，，， ，，，， ，， ，， 如图，当时， ， ， （符合题意）； 如图，当时， ， 由①知， ，， ， （符合题意）； 如图，当第二次，且在右侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， ， （不符合题意）； 如图，当时， ， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 如图，当第二次且在左侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 综上，m的值为17或或或，的两边恰好分别平行于的两边． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． （1）直接写出a，b，c的值； （2）若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； （3）如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； （4）如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； 【小问4详解】 如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $