精品解析：广东省深圳市龙岗区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

龙岗区2023-2024学年八年级第二学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置上．同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效． 4．非选择题题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交加． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称和中心对称图形定义，掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解决的关键．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转，如果旋转前后的图形能完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个多项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不是整式的乘法运算，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 、，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意； 故选：． 3. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查尺规作图线段垂直平分线以及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作图方法和线段垂直平分线性质是解决问题的关键．根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一性质即可得到答案． 【详解】解：在中， 分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接， 是线段的垂直平分线， ，， ， ， 故选：B 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是先解不等式再画数轴，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：∵解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：C． 5. 用个如图全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，正多边形的内角和．先计算出正六边形一个内角为，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：正六边形的一个内角为：， ，且正六边形是由个全等纸片拼接得到的， ， 故选：C． 6. 数学创新小队制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行，将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点O处．如图所示，现将测量三角板底边紧贴被测物体表面，保持测量三角板与被测物体的截面在同一平面．若被测物体的截面为（平行于水平面），此时铅锤线（图中箭头的线）在量角器上对应的刻度为，那么倾斜角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查垂直的定义，平行线的性质，由平行线的性质，垂直的定义得到，，由对顶角的性质得到即可求解． 【详解】 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 7. 为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，正确列出方程． 设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则设走乙路线的平均速度为千米/时，根据题意列出方程即可． 【详解】解：设设走甲路线的平均速度为x千米/时，则走乙路线的平均速度为千米/时， 依题意，可列方程为， 故选：A． 8. 某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（ ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算．解题的关键是理解题意的能力，首先明白每天要服用的药量，然后根据分几次服用，可求出最小药量和最大药量． 若每天服用2次，则所需剂量为之间，若每天服用3次，则所需剂量为之间，故一次服用这种药的剂量在之间． 【详解】解：若每天服用2次，则所需剂量在之间，若每天服用3次，在所需剂量在之间， ∴依次服用这种药的剂量在之间， ∴， 故选：D． 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由图可知，随的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故选项B正确，不符合题意； C、把代入得，解得，故与的交点为，由图象可知：当时，，故选项C错误，符合题意； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 10. 如图，在中，，，，的平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的特征，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；延长交的延长线于，由直角三角形的特质及余角的性质得，由等腰三角形的判定及性质得，，由，即可求解；掌握等腰三角形的判定及性质，构建等腰是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将等边绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，则旋转角的度数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形性质，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件．根据分式值为0的条件得出，即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴ 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，，， ，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形对角线互相平分得到，，据此利用勾股定理可得，进而可得答案． 【详解】解：在中，，， ∵，， ∴在中，， ∴， 故答案为：10． 14. 如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，证明，得出，，证明四边形为矩形，得出，，证明四边形为矩形，得出，，求出即可． 【详解】解：过点F作于点G，延长，过点A作于点H，过点E作于点N，作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握矩形的判定和性质． 15. 定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，． 举例：为十字分式方程，可化为， ∴，． 为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义，利用完全平方公式变形求值，分式的加法，理解十字分式方程的定义是解题关键． 先根据十字分式方程的定义求出，的值，再化简代入计算即可求解． 【详解】解：十字分式方程的两个解分别为：，， ∴，， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分解因式， （1）先提公因式，再运用平方差公式进行分解因式，即可作答． （2）先整理原式得，再提公因式，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，时，分式分母为0， ∴， ∴原式． 18. 已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换前 变换后 （1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出； （2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ； （3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ． 【答案】（1）,画图见解析 （2） （3）平行四边形；20 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，平行四边形的判定与性质； （1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可； （2）由平移的性质可得答案； （3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可； 【小问1详解】 解：∵，； ∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位； ∵， ∴， 如图，如图所示： 【小问2详解】 解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为； 【小问3详解】 解：由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形的面积为； 19. 阳光合作社在党委政府的精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． （1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 【答案】（1）元/千克 （2）元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元，利用数量＝总价÷单价，结合两次购进蓝莓的数量相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． （2）设每千克蓝莓的售价是元，利用利润＝销售单价×销售数量－进货总价，结合利润不低于元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该水果店第一次购进蓝莓每千克元，则该水果店第二次购进蓝莓每千克元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：水果店第一次购进蓝莓的进价为元/千克． 【小问2详解】 设每千克蓝莓的售价是元， 根据题意得：， 解得：， 即y的最小值为． 答：要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是元． 20. 如图， （1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形． ①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）②和③；证明见解析 （2）①见解析；②，理由见解析 【解析】 【分析】（1）选择②③；由，可得，则，可证，进而结论得证； （2）①作角平分线如图1；②由是平行四边形，可得，由平分，，可得，则，即． 【小问1详解】 解：选择②③；证明如下； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 ①解：作角平分线如图1； ②解：，理由如下； ∵是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，作角平分线，角平分线的定义，等角对等边．熟练掌握平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，作角平分线，角平分线的定义，等角对等边是解题的关键． 21. 【背景】如图是某品牌的饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 【答案】（1）， （2）秒 （3） （4）， 【解析】 【分析】（1）先根据等量关系“速度乘时间等于体积”列式即可． （2）根据（1）求出的温水的体积，开水体积，列不等式求解即可． （3）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可求出的值． （4）根据等量关系“开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度”列出等式，代入数值，即可列出关于的函数关系式，再根据不等式，代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵温水水流速度， ∴当从饮水机接温水秒时，温水的体积是， ∴再接开水，接满的水杯时，开水的体积为， 故答案为，． 【小问2详解】 解：由上可得温水的体积是，开水的体积为， 当所接的温水的体积不少于开水体积的倍时， 可得 解得 ∴则至少应接温水秒． 【小问3详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 【小问4详解】 解：由题意可得，当水杯中温度是时，温水的体积是，开水的体积为，开水降低的温度为，温水升高的温度为， ∴ 解得： 若要使杯中温度达到最佳水温时， 则有 代入，可得， 故答案为， 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用、代数式、一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，正确列出关系式是解题的关键． 22. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 【答案】（1） （2） （3）①或3；② 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可得：，在中，根据勾股定理可得，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （2）延长交延长线于点M，可得，从而得到，在中，根据勾股定理可得， 设，则，在中，根据勾股定理，即可求解； （3）①分三种情况讨论，即可求解；②作于点H，证明，可得，在中，根据勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵将沿折叠得到， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ， 解得：，即； 【小问2详解】 解：延长交延长线于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， 中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：，即； 【小问3详解】 解：①情况1：，即； 情况2：如图1，当时，作于点H，则， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 情况3：如图2，当四边形为正方形时，此时，， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， 此时点D在上，且为的中点， 此时，符合题意， ∴； 综上所述，的长为或3； ② 如图，作于点H， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，图形的折叠和旋转问题，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想和类比思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙岗区2023-2024学年八年级第二学期质量监测试题 数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损；考生务必用规定的笔将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡指定位置上．同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区．请保持条形码整洁、不污损． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上．不按以上要求作答的答案无效． 4．非选择题题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5．请保持答题卡的整洁，不折叠、不破损．考试结束后，将答题卡交加． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 剪纸艺术是中国最传统的民间艺术之一，先后入选中国非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．以下剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用个如图的全等纸片拼接出如图的正六边形，则图2中的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 数学创新小队制作简易工具来测量物体表面的倾斜程度，方法如下：将刻度重新设计的量角器固定在等腰直角三角板上，使量角器的刻度线与三角板的斜边平行，将用细线和铅锤做成的铅锤线顶端固定在量角器中心点O处．如图所示，现将测量三角板底边紧贴被测物体表面，保持测量三角板与被测物体的截面在同一平面．若被测物体的截面为（平行于水平面），此时铅锤线（图中箭头的线）在量角器上对应的刻度为，那么倾斜角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 为大力发展交通事业，某市建成多条快速通道．李某开车从家到单位有两条路线可选择，甲路线为全程24 千米的普通道路，乙路线包含快速通道，全程 15 千米，走乙路线比走甲路线的平均速度提高，时间节省20分钟，求走乙路线和走甲路线的平均速度分别是多少．设走甲路线的平均速度为x千米/时，依题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 某种药品的说明书上贴有如图所示的标签，一次服用药品的剂量设为x，则x的取值范围是（ ） 用法用量：口服，每天，分次服用 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ A. B. C. D. 9. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 随x的增大而减小 B. C. 当时， D. 方程组的解为 10. 如图，在中，，，，平分线交于点E，过点C作，垂足为D，连接，则的面积是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，将等边绕点按逆时针方向旋转到的位置，若，则旋转角的度数是______． 12. 若分式的值为0，则x的值为______． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，，， ，则_______． 14. 如图，在中，，，，点D在内部且为等边三角形，E、F分别是、的中点，则的长为______． 15. 定义：形如（m，n不为零）的方程为“十字分式方程”，它的两个解分别为，． 举例：为十字分式方程，可化为， ∴，． 十字分式方程，可化为， ∴，． 应用：若十字分式方程的两个解分别为，，则______． 三、解答题（本题共7小题，共55分） 16. 分解因式 （1）； （2）． 17. 先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 18. 已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换前 变换后 （1）平移后点的坐标是 ，并在网格坐标系中画出； （2）若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为 ； （3）连接，，则四边形的形状是 ，其面积为 ． 19. 阳光合作社在党委政府精心指导下，大力发展生态水果蓝莓，助推乡村经济发展．在蓝莓上市期间，某水果店第一次用元购进蓝莓销售；由于蓝莓深受人们喜欢，第一次购进的蓝莓很快售完．该水果店又用元购进这种蓝莓，所购数量与第一次购进数量相同，但每千克的价格比第一次购进的贵了元． （1）该水果店第一次购进蓝莓的进价为多少元/千克？ （2）假设该水果店两次购进的蓝莓按相同的售价全部售完，要使总利润不低于元，则每千克蓝莓的售价至少是多少元？ 20. 如图， （1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程； （2）若四边形是平行四边形． ①实践与操作：利用尺规作平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） ②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 21. 【背景】如图是某品牌饮水机，此饮水机有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 【主题】如何接到最佳温度的温水． 【素材】温水水流速度是， 水杯容积：． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量．即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度． 生活经验：饮水最佳温度是（包括与），这一温度最接近人体体温． 【操作】先从饮水机接温水秒，再接开水，直至接满的水杯为止．（备注：接水期间不计热损失，不考虑水溢出的情况） 【问题】 （1）接到温水的体积是　　　，接到开水的体积是 ；（用含的代数式表示） （2）若所接的温水的体积不少于开水体积的倍，则至少应接温水多少秒？ （3）若水杯接满水后，水杯中温度是，求的值； （4）记水杯接满水后水杯中温度为，则关于的关系式是　　　；若要使杯中温度达到最佳水温，直接写出的取值范围是 ． 22. 已知，在中，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得到，点C的对应点为D． 【特例感知】 （1）如图1，当点D落在上时，求的长； 【类比迁移】 （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出长； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$