专题2.3 有理数的减法（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.3 有理数的减法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的减法 1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 【要点提示】 （1） 任意两个数都可以进行减法运算． （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 【知识点二】有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a+b=a-(-b)． 【要点提示】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的减法运算 【例1】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】（2024·天津南开·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若，且，则 ． 【题型2】有理数减法运算的实际应用 【例2】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）省泰州附中开展“读经典书，作儒雅人”活动，活动中某班流动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作+3；如果某天借出26本，就记作．国庆假前一周图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +4 +8 +16 （1）该班级星期五借出多少本图书； （2）该班级星期二比星期五少借出多少本图书？ 【变式1】（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）2023年12月26日早上，测得北京气温是，上海是，上海比北京高 ． 【题型3】有理数加减混合运算 【例3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【变式2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）计算： 【题型4】有理数加减混合运算中的简便运算 【例4】（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【题型5】有理数加减混合运算的实际应用 【例5】（2024六年级下·上海·专题练习）在一次抗洪救灾中，解放军驾驶冲锋舟在一条东西方向的河流中抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，规定向东为正，当天航行路程如下：（单位 14，，18，，13，，， (1)地在地的什么位置，距地多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.45升，开始出发时，油箱中有油30升，问中途是否需要加油？若需要加油需加多少升，为什么？ 【变式1】（2024·吉林长春·二模）小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 2、拓展延伸 【例1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．    （1）若，求的值； （2）当点为原点，且时，求“”所表示的数． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 有理数的减法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的减法 1.定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，减法是加法的逆运算． 【要点提示】 （1） 任意两个数都可以进行减法运算． （2）几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 【知识点二】有理数的减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a+b=a-(-b)． 【要点提示】将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的减法运算 【例1】（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加法和减法运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加法运算法则求解即可；（2）-（4）（2）根据有理数的加法运算法则求解即可； 解：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【变式1】（2024·天津南开·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，利用有理数的减法法则，绝对值的意义对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论． 解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）若，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了有理数减法和绝对值，解题关键是先根据绝对值的意义确定字母的值，再计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 【题型2】有理数减法运算的实际应用 【例2】（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）省泰州附中开展“读经典书，作儒雅人”活动，活动中某班流动图书角平均每天借出图书30本，如果某天借出33本，就记作+3；如果某天借出26本，就记作．国庆假前一周图书馆借出图书记录如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +4 +8 +16 （1）该班级星期五借出多少本图书； （2）该班级星期二比星期五少借出多少本图书？ 【答案】(1)该班级星期五借出46本图书 (2)该班级星期二比星期五少借出22本图书 【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的加减运算的应用，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键； （1）根据题意可得：该班级星期五借出的图书，然后进行计算即可解答； （2）根据题意可得：该班级星期二比星期五少借出的图书，然后进行计算即可解答． （1）解：由题意得：（本）， ∴该班级星期五借出46本图书； （2）由题意得：（本）， ∴该班级星期二比星期五少借出22本图书． 【变式1】（22-23七年级上·山西太原·阶段练习）去年月小明到银行开户，存入元，下表为小明从月到月的存款情况：（“”表示存入，“”表示支出） 月份 与上一月比较（元） 截至去年月，小明账号上共有（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】根据已知可求得从月到 月的存款情况即可． 解：月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 月份存入的钱：（元）， 故选：． 【点拨】此题考查了有理数加减运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 【变式2】（23-24六年级下·上海杨浦·期中）2023年12月26日早上，测得北京气温是，上海是，上海比北京高 ． 【答案】19 【分析】本题考查有理数的减法的实际运用，用上海的气温减去北京的气温计算即可，掌握有理数的减法法则是解题的关键． 解： 故答案为：19． 【题型3】有理数加减混合运算 【例3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1)5 (2)1 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减法的运算法则分别计算即可； （2）先求绝对值，根据有理数加减法的运算法则分别计算即可． （1）解：原式； ； （2）解： ． 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·上海青浦·期末）计算： 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的计算，可以把带分数拆成整数和分数，再计算即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 解：， 故答案为：． 【题型4】有理数加减混合运算中的简便运算 【例4】（23-24七年级上·重庆江北·阶段练习）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）去括号，再计算加减即可． （2）去括号，通分，再计算加法即可． 解：（1） （2） 【变式1】（23-24七年级上·福建漳州·期中）计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 解：． 故选：D． 【变式2】（21-22七年级上·广东江门·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】根据有理数加减的运算法则求解即可． 解： ． 【点拨】本题主要考查有理数的加减运算及简便算法，牢记有理数加减的运算性质是解题的关键． 【题型5】有理数加减混合运算的实际应用 【例5】（2024六年级下·上海·专题练习）在一次抗洪救灾中，解放军驾驶冲锋舟在一条东西方向的河流中抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，规定向东为正，当天航行路程如下：（单位 14，，18，，13，，， (1)地在地的什么位置，距地多远？ (2)若冲锋舟每千米耗油0.45升，开始出发时，油箱中有油30升，问中途是否需要加油？若需要加油需加多少升，为什么？ 【答案】(1) (2)需要加6.45升，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正数和负数， （1）把这些正数和负数全部相加进行计算，即可解答； （2）把这些正数和负数的绝对值全部相加进行计算，即可解答． （1）解：由题意得：， 地在地的东边，距地； （2）解： ， （升， （升． 中途需要加油，需加6.45升． 【变式1】（2024·吉林长春·二模）小明在一条东西向的跑道上先向东走了米，又向西走了米，规定向东为正，向西为负．这一过程在数轴上如图所示，则小明现在的位置A表示的数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算等知识．熟练掌握相反意义的量，在数轴上表示有理数，有理数的加减运算是解题的关键． 由题意知，，进而可得A表示的数为． 解：由题意知，， ∴A表示的数为， 故选：B． 【变式2】（23-24六年级下·全国·假期作业）对于任意有理数，，定义新运算：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，理解的运算方法，列出算式是解题的关键．根据的运算方法列出算式，再根据加减运算进行计算即可． 解：根据定义新运算：， 可得． 故答案为：． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 【例2】（2023·山东滨州·中考真题）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 解：， 故答案为：． 【点拨】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 2、拓展延伸 【例1】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，整数，，在数轴上分别对应点，，．    （1）若，求的值； （2）当点为原点，且时，求“”所表示的数． 【答案】(1)． (2)“”表示的数是． 【分析】本题考查的知识点是用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数加减法运算，解题关键是理解如何用数轴上的点表示有理数． （1）依图得及三点间的距离后即可求解； （2）由为原点可得，结合图中三点间的距离即可得、，代入即可求解． （1）解：依图得：，且点和点之间距离为个单位长度，点和点之间距离为个单位长度， ， ，， ． （2）解：为原点， ，，， ， ． 故“”表示的数为． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$