专题2.1（1） 有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解）基础知识专项突破讲与练-2025-2026学年七年级数学上册（人教版）

专题2.1（1）有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解） 1、 【学习目标】 （1）理解有理数加、减法法则，掌握运算规则，能准确进行各类有理数的加减运算。 （2）灵活运用加法交换律与结合律，简化有理数加减运算过程。 （3）能将生活实际问题转化为数学模型，运用有理数加减运算解决问题。 （4）感悟数形结合、转化、分类讨论等数学思想，提升逻辑思维与运算能力。 2、 【考点题型目录】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数加法运算..............................................................1 【题型2】有理数减法运算..............................................................2 【题型3】有理数加减法混合运算........................................................2 【考点二】运算法则的理解 【题型4】有理数加法法则的理解........................................................3 【题型5】有理数减法法则的理解........................................................3 【考点三】灵活运用运算律 【题型6】有理数加减中的简便运算......................................................4 【考点四】问题抽象与建模 【题型7】有理数加减混合运算的应用....................................................4 【考点五】体会数学思想 【题型八】数轴、绝对值与有理数加减运算问题............................................5 3、 【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数加法运算 【知识储备1】有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）按有理数加法法则进行运算，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 （1） （2） 【题型2】有理数减法运算 【知识储备2】有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即：． 【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）按有理数减法法则进行运算，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型3】有理数加减法混合运算 【例题3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式2】（24-25七年级上·重庆渝北·期中）计算： （1）； （2）． 【考点二】运算法则的理解 【题型4】有理数加法法则的理解 【例题4】（24-25七年级上·广东惠州）下列说法中，正确的是（　　） A．两个有理数的和一定大于每个加数 B．若，则且 C．两个负数的和一定小于每一个加数 D．若互为相反数，则 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（　　） A．同号两个数相加的和，一定是正数 B．同号两个数相加的和，一定不是0 C．异号两个数相加的和，一定是负数 D．异号两个数相加的和，一定是0 【变式2】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【题型5】有理数减法法则的理解 【例题5】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 【变式1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 【变式2】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 【考点三】灵活运用运算律 【知识储备3】有理数加法运算律 1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b＝b+a 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c＝a+（b+c） 特别注意：进行运算律时，不要漏掉符号. 【题型六】有理数加减中的简便运算 【例题6】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）用简便方法进行运算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】计算题 （1） （2） （3） （4） 【变式2】阅读下面的计算方法： 计算： 解：原式 上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算： ． 【考点四】问题抽象与建模 【知识储备4】洞察生活中涉及有理数加法与减法的实际问题情境，准确地将实际问题抽象转化为数学模型，运用所学的有理数运算知识进行求解，最终解决实际问题。 【题型七】有理数加减混合运算的应用 【例题7】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）： （1）联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ （2）若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【变式1】某中学图书馆上周的书籍借出记录如表所示（超过册记为正，少于册记为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （1）上周星期五借出多少册书？ （2）上周星期四比星期三多借出几册书？ （3）上周平均每天借出多少册书？ 【变式2】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有一种游戏，它的规则如下： 从若干张“△”和“○”卡片中分别抽取2张，若抽到“△”卡片就加上卡片上的数；若抽到“○”卡片就减去卡片上的数．4张卡片上的数经过运算后大的获胜．已知小明和小丽的起始数均为0，抽到的卡片如下： 试判断谁会胜出． 【考点五】体会数学思想 【知识储备5】体会数形结合思想，借助数轴来直观理解有理数的运算过程和结果，通过在数轴上表示数的移动来理解加法与减法的含义；体会分类讨论思想，在探讨有理数加法法则时，对同号、异号、与 0 相加等不同情况进行分类研究. 【题型八】数轴、绝对值与有理数加减运算问题 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 【变式1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． （2）若x表示一个有理数，则的最小值 ． （3）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【例题9】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【变式1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【变式2】（23-24七年级上·重庆綦江·）已知，，为非零的实数，且不全为正数，则的所有可能结果的绝对值之和等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1（1）有理数的加法与减法（知识梳理与题型分类讲解） 1、 【学习目标】 （1）理解有理数加、减法法则，掌握运算规则，能准确进行各类有理数的加减运算。 （2）灵活运用加法交换律与结合律，简化有理数加减运算过程。 （3）能将生活实际问题转化为数学模型，运用有理数加减运算解决问题。 （4）感悟数形结合、转化、分类讨论等数学思想，提升逻辑思维与运算能力。 2、 【考点题型目录】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数加法运算..............................................................1 【题型2】有理数减法运算..............................................................3 【题型3】有理数加减法混合运算........................................................5 【考点二】运算法则的理解 【题型4】有理数加法法则的理解........................................................7 【题型5】有理数减法法则的理解........................................................8 【考点三】灵活运用运算律 【题型6】有理数加减中的简便运算......................................................9 【考点四】问题抽象与建模 【题型7】有理数加减混合运算的应用...................................................12 【考点五】体会数学思想 【题型八】数轴、绝对值与有理数加减运算问题...........................................14 3、 【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基础运算 【题型1】有理数加法运算 【知识储备1】有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）按有理数加法法则进行运算，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； （5） 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）（2）（3）（4）（5）根据有理数的加法法则计算即可得解； （5）（互为相反数的两个数相加得0）． 【变式1】（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）0.8；（4）． 【分析】此题主要考查有理数的加法运算，解题的关键是熟知其运算法则． （1）根据有理数的加运算法则即可求解，取负号，绝对值47减35； （2）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值3.75化为，减； （3）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值化为3.5，3.5减2.7； （4）根据有理数的加运算法则即可求解，取正号，绝对值减． 解：（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）计算 （1） （2） 【答案】（1）32；（2） 【分析】本题主要考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数的加法运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法法则可进行求解； （2）根据有理数的加法交换律和结合律可进行求解． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型2】有理数减法运算 【知识储备2】有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【例题2】（2024七年级上·浙江·专题练习）按有理数减法法则进行运算，并说明理由. （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的减法运算，直接利用有理数的减法运算法则进行计算即可，能够正确计算是解题的关键． 解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数减法运算，掌握有理数减法运算法则成为解题的关键． （1）直接运用有理数减法运算法则计算即可； （2）先化简为加，然后再通分，最后加减即可； （3）先通分，最后加减即可； （4）直接运用有理数减法运算法则计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解：． 【题型3】有理数加减法混合运算 【例题3】（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2）1.5 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. （1）先化简绝对值，再计算减法即可； （2）先去括号，再计算加减即可. 解：（1）解： ； （2）解： . 【变式1】（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键． （1）先化简符号，再计算即可； （2）先化简符号，再计算即可； （3）直接加减计算即可； （4）先通分，再计算，再约分即可． 解：（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【变式2】（24-25七年级上·重庆渝北·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合计算． （1）根据有理数的加减混合计算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合计算法则求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【考点二】运算法则的理解 【题型4】有理数加法法则的理解 【例题4】（24-25七年级上·广东惠州）下列说法中，正确的是（　　） A．两个有理数的和一定大于每个加数 B．若，则且 C．两个负数的和一定小于每一个加数 D．若互为相反数，则 【答案】C 【分析】根据有理数加减运算的意义和举反例的方法逐项判断即可解答 解：A. 若两个有理数中有一个有理数为负，则两个有理数的和小于另一个加数，故A不符合题意；     B. 若，则且或a、b互为相反数，故B不符合题意； C. 两个负数的和一定小于每一个加数，说明正确，故C满足题意；     D. 若互为相反数，则或． 故选C． 【点拨】本题主要考查了有理数加法的意义，理解有理数加法的意义和举反例的方法是解答本题的关键． 【变式1】（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（　　） A．同号两个数相加的和，一定是正数 B．同号两个数相加的和，一定不是0 C．异号两个数相加的和，一定是负数 D．异号两个数相加的和，一定是0 【答案】B 【分析】逐一进行分析即可． 解：同号两数相加，取相同的符号；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号． A中，同号两个数相加的和，不一定是正数，也可能是负数，故错误； B中，同号两个数相加的和，一定不是0，故正确； C中，异号两个数相加的和，不一定是负数，也可能是正数，也可能是0，故错误； D中，异号两个数相加的和，不一定是负数，也可能是正数，也可能是0，故错误； 故选：B． 【点拨】本题主要考查有理数加法的有关结论，掌握有理数加法的运算法则是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·广东惠州·期中）如果，且，则下列说法中可能成立的是（　　） A．a、b为正数，c为负数 B．a、c为正数，b为负数 C．b、c为正数，a为负数 D．a、b、c均为负数 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的加法的意义，根据有理数的加法计算法则确定出a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号，是解题的关键． 解：∵，且， ∴a、b、c中最少有一个正数，最少有一个负数，且不能同号，不能同号， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故A． 【题型5】有理数减法法则的理解 【例题5】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 【答案】C 【分析】根据有理数的减法逐项判断． 解：A、两个负数相减，不一定等式绝对值相减，错误，例如：-2-（-1）=-2+1=-1；|-2|-|-1|=2-1=1； B、两个负数的差不一定大于零，错误，例如：（-3）-（-1）=-3+1=-2； C、负数减去正数，等于负数加上这个正数的相反数，即加上一个负数，正确； D、正数减去负数，等于两个正数相减，错误； 故选C． 【点拨】本题是对有理数减法的考查，要知道减去一个数等于加上这个数的相反数． 【变式1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面几种说法，正确的是（   ） A．两个数的和一定比这两个数中任何一个都大 B．两个数的差一定比这两个数中任何一个都小 C．两个数的和是负数，这两个数一定都是负数 D．两个数的差是负数，被减数一定小于减数 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算法则，逐一进行判断即可． 解：A、两个数的和不一定比这两个数中任何一个都大，比如任何数加上0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； B、两个数的差不一定比这两个数中任何一个都小，比如任何数减去0都等于本身，故原说法错误，不符合题意； C、两个数的和是负数，这两个数不一定都是负数，比如一个负数和0的和还是负数，故原说法错误，不符合题意； D、两个数的差是负数，被减数一定小于减数，故原说法正确，符合题意； 故选D． 【变式2】（23-24七年级上·河南平顶山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．两个负数相减，等于绝对值相减 B．两个负数的差一定大于零 C．负数减去正数，等于两个负数相加 D．正数减去负数，等于两个正数相减 【答案】C 【分析】根据有理数的减法逐项判断． 解：A、两个负数相减，不一定等式绝对值相减，错误，例如：-2-（-1）=-2+1=-1；|-2|-|-1|=2-1=1； B、两个负数的差不一定大于零，错误，例如：（-3）-（-1）=-3+1=-2； C、负数减去正数，等于负数加上这个正数的相反数，即加上一个负数，正确； D、正数减去负数，等于两个正数相减，错误； 故选C． 【点拨】本题是对有理数减法的考查，要知道减去一个数等于加上这个数的相反数． 【考点三】灵活运用运算律 【知识储备3】有理数加法运算律 1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b＝b+a 2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（a+b）+c＝a+（b+c） 特别注意：进行运算律时，不要漏掉符号. 【题型六】有理数加减中的简便运算 【例题6】（24-25七年级上·辽宁锦州·阶段练习）用简便方法进行运算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）0； （2）； （3）； （4）； 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，注意明确有理数混合运算法则． 解：（1）解： （符号相同的两个数分别结合为一组） （互为相反数的和为0） ； （2）解： （将和为零的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ； （3）解： （将分母相同的两个数分别结合为一组） ； （4）解： （将分母相同的三个数，和为整数的两个数分别结合为一组） ． 【变式1】计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）. 【分析】本题主要简化符号，然后运用加法交换律和结合律进行加减运算，即可求解； 解：（1） （简化符号） ； （2） （简化符号） （用加法交换律和结合律进行加减运算） ； （3） （简化符号，带分数化为假分数） （用加法交换律和结合律进行加减运算） ； （4） （简化符号） （用加法交换律和结合律进行加减运算） ． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，加法运算律，掌握运算法则及运算律是解题的关键． 【变式2】阅读下面的计算方法： 计算： 解：原式 上面的解法叫拆项法． 请你运用这种方法计算： ． 【答案】 【分析】读懂题意，根据材料中的拆项法运算即可得到答案． 解： ． 【点拨】本题考查阅读理解，读懂题意，理解题目材料中所给的拆项法，现学现用是解决问题的关键． 【考点四】问题抽象与建模 【知识储备4】洞察生活中涉及有理数加法与减法的实际问题情境，准确地将实际问题抽象转化为数学模型，运用所学的有理数运算知识进行求解，最终解决实际问题。 【题型七】有理数加减混合运算的应用 【例题7】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）： （1）联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？ （2）若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 【答案】（1）没到达，离教育基地还差430米；（2）分钟 【分析】本题考查了有理数正负数的应用，加减混合运算，熟练掌握法则是解题的关键． （1）计算各运动量值的和，比较计算结果与1500米的大小，判断计算即可． （2）计算各运动量值的绝对值的和，除以运动的速度计算即可． 解：（1）∵（米） ∵， ∴没到达， ∵， ∴他离教育基地还差430米． （2）∵（米）， （分钟） ∴他此次行程共用了分钟． 【变式1】某中学图书馆上周的书籍借出记录如表所示（超过册记为正，少于册记为负）： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 （1）上周星期五借出多少册书？ （2）上周星期四比星期三多借出几册书？ （3）上周平均每天借出多少册书？ 【答案】（1）上周星期五借出册书；（2）上周星期四比星期三多借出册书；（3）上周平均每天借出册书 【分析】本题考查了有理数的混合运算和正数、负数等知识点，解此题的关键是根据题意列出算式． （1）根据题意得出算式100 +求出即可; （2）求出的值即可; （3）求出、0、、、的平均数，再加上100即可． 解：（1）（册） 答：上周星期五借出册书． （2）（册） 答：上周星期四比星期三多借出册书． （3）（册） 答：上周平均每天借出册书． 【变式2】（23-24七年级上·四川自贡·阶段练习）有一种游戏，它的规则如下： 从若干张“△”和“○”卡片中分别抽取2张，若抽到“△”卡片就加上卡片上的数；若抽到“○”卡片就减去卡片上的数．4张卡片上的数经过运算后大的获胜．已知小明和小丽的起始数均为0，抽到的卡片如下： 试判断谁会胜出． 【答案】小丽会胜出 【分析】本题考查有理数的加减混合运算；根据游戏规则分别计算出小明和小丽所抽卡片上数字之和，比较大小即可得． 解：小明所抽卡片上的数字计算结果为： ； 小丽所抽卡片上的数字计算结果为： ∵， ∴小丽会胜出． 【考点五】体会数学思想 【知识储备5】体会数形结合思想，借助数轴来直观理解有理数的运算过程和结果，通过在数轴上表示数的移动来理解加法与减法的含义；体会分类讨论思想，在探讨有理数加法法则时，对同号、异号、与 0 相加等不同情况进行分类研究. 【题型八】数轴、绝对值与有理数加减运算问题 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示的数轴中，点表示1，点表示，试回答下列问题： （1）、两点之间的距离是 ； （2）观察数轴，与点的距离为5个单位长度的点表示的数是 ； （3）若将数轴折叠，使点与表示的点重合，则点与表示数 的点重合； （4）若数轴上，两点之间的距离为2026（点在点的左侧），且，两点经过（3）中折叠后互相重合，则、两点表示的数分别是 和 ． 【答案】 3 6或/或6 0 1012 【分析】本题考查了数轴的相关知识，解答此题的关键是利用了数轴上两点间的距离，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用． （1） 根据两点间的距离公式即可得到结论； （2）分在点A的左边和右边两种情况解答； （3）设点B对应的数是x，然后根据中心对称列式计算即可得解； （4）根据中点的定义求出的一半，然后分别列式计算即可得解． 解：（1）解：A、B之间的距离是； 故答案为：3； （2）观察数轴可知：点A表示的数为1， ∴与点A的距离为5的点表示的数是6或； 故答案为：6或； （3）∵点A表示的数1与表示的点重合， ∴对折点是表示的点， ∵， ∴点B与表示数0的点重合； 故答案为：0； （4）∵M、N两点之间的距离为2026且互相重合， ∴， ∵由（3）知对折点为，点在点的左侧， ∴点M表示的数为，点N表示的数为； 故答案为：；1012． 【变式1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义以及有理数的加减法，熟练掌握基本知识是解题的关键；根据绝对值的意义以及有理数的加减法，数形结合求解即可． 解：．， ，， ， 故本选项不符合题意； ．，， ， 故本选项不符合题意； ．， ， 故本选项符合题意； ．， ， 故本选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离． 利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为 ． （2）若x表示一个有理数，则的最小值 ． （3）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉例如：，，，． 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ； ． ③计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③ 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，绝对值的几何意义，化简绝对值，有理数的加减计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据绝对值的几何意义可得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和，据此结合数轴求解即可； （3）①②仿照题意去绝对值即可；③先仿照题意去绝对值，再计算加减法即可． 解：（1）解：由题意得，数轴上表示x和的两点之间的距离表示为； （2）解：由题意得，表示的是数轴上表示数x的点到表示数1的点和数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为； （3）解：； ； ③ ． 【例题9】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 【变式1】（24-25六年级上·上海青浦·期中）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过2秒后，甲、乙之间的距离是4，那么此时甲所在位置表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用；先得出，表示的数分别为和，根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是4，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 解：根据数轴可得，表示的数分别为和， ∵乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过2秒后，乙所在位置表示的数为 ∵经过2秒后，甲、乙之间的距离是4， ∴此时甲所在位置表示的数是或 故答案为：或． 【变式2】（23-24七年级上·重庆綦江·）已知，，为非零的实数，且不全为正数，则的所有可能结果的绝对值之和等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】分中有一个正数两个负数、有两个正数一个负数、都是负数三种情况，从而可求出的所有可能结果，再求出它们的绝对值之和即可得． 解：由题意，分以下三种情况： （1）当中有一个正数两个负数时，不妨设， 则； （2）当中有两个正数一个负数，不妨设， 则；s （3）当都是负数时， 则； 综上，的所有可能结果为， 因此，它们的绝对值之和为， 故选：A． 【点拨】本题考查了化简绝对值、有理数的加减运算，依据题意，正确分情况讨论是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$