精品解析：江西省景德镇市乐平市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

江西省景德镇市乐平市2023-2024学年度下学期期末考试 七年级 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗花是我国传统的一种剪纸艺术，以下窗花图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 4. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动到点M处停止．设点R运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 6. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. C. D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. __________． 8. 如图，在中，，点D、E分别在边、上(均不与点A、B、C重合)，且，若，则 _______度． 9. 在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲港出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港。设行驶后，与乙港的距离为，与的关系如图所示，下列结论：①甲港与丙港的距离是；②船在中途休息了；③船的行驶速度是；④的值为2．其中正确的是______．（只填序号） 10. 已知的展开式中不含有和的项，那么________． 11. 设a是从集合｛1，2，3，……，｝中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是_________． 12. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 先化简再求值：，其中 ，． 14. 甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？ （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 15. 如图，已知，．试说明的理由． 16. 如图，中，于D，于E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在轴上找一点，使得的和最小． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 港口、、依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从、两港出发，匀速驶向港，甲、乙两船与港的距离（海里）与行驶时间（时）之间的关系如图所示． （1）在图中表示的自变量是______，因变量是______；用字母表示 （2）甲船的平均速度为______海里时，乙船的平均速度为______海里时； （3）甲、乙两船在途中相遇了______次， ______； （4）求甲、乙两船距离港距离相等的时间． 19. 两个边长分别为和的正方形按如图1所示的方式放置，其末叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示：______；______． （2）若，，求的值． 20. 如图，AD//BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F． （1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数； （2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，∴ ，． ∵ ． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，求的度数． 深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示） 22. 阅读下面的材料并填空： ①(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝×； ②(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝　 　×　 　； ③(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝　 　＝ ； 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： (1﹣)(1﹣)(1﹣)……(1﹣)(1﹣)(1﹣). 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省景德镇市乐平市2023-2024学年度下学期期末考试 七年级 数学 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 窗花是我国传统的一种剪纸艺术，以下窗花图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项B的图形沿着一条直线翻折后，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形； 故选B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据实数的运算法则，同底数幂的乘法，积的乘方法则逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不正确，不符合题意； B．，正确，符合题意； C． ，故不正确，不符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选B． 3. 如图，已知，，如果只添加一个条件（不加辅助线）使，则添加的条件不能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可求解． 【详解】解：A、∵，，， ∴，故选项A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，又，， ∴，故选项B不符合题意； C、∵，，， ∴，故选项C不符合题意； D、添加不能证明，故选项D符合题意， 故选：D． 4. 在单词statistics(统计学)中任意选择一个字母,字母为“s”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，任意选择一个字母有10种等可能的结果，字母为“s”有3种等可能的结果，然后根据概率公式求解即可． 【详解】解：由题意知，概率为， 故选C． 【点睛】本题考查了简单的概率计算．解题的关键在于明确字母“s”的可能的结果与任意选择一个字母的所有可能的结果． 5. 如图1，在矩形中，动点R从点N出发，沿方向运动到点M处停止．设点R运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图2所示，则矩形的周长是（ ） A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图像的应用，矩形的性质，读懂函数图像是解题的关键． 根据图像分析，当，可求得，当时，可求得，进而利用勾股定理求得对角线的长度． 【详解】根据图像当，的面积y逐渐增大， 可知，， 当时，的面积不变， 可知：， 矩形的周长是． 故选C． 6. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则,由题意得、，据此即可求解． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则, ∴ ∵点H为的中点， ∴ ∵图2的阴影部分面积， ∴ 故： ∴图1的阴影部分面积 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 7. __________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键．积的乘方等于各因数乘方的积，即（m为正整数）．特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识．先根据幂的乘方变形，再逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 8. 如图，在中，，点D、E分别在边、上(均不与点A、B、C重合)，且，若，则 _______度． 【答案】30 【解析】 【分析】先求出，再证明，得到，进而可求出的度数． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为30． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键． 9. 在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲港出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港。设行驶后，与乙港的距离为，与的关系如图所示，下列结论：①甲港与丙港的距离是；②船在中途休息了；③船的行驶速度是；④的值为2．其中正确的是______．（只填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】由船行驶的函数图像可以看出，船从甲港出发，到达乙港，到达丙港，进而解答即可． 【详解】解：甲港与丙港的距离是，故①错误； 根据图像，船在途中没有休息，故②错误； 船的行驶速度是，故③错误； ，故④正确． 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查了函数图像的读图能力，要根据函数图像的性质和图像上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确结论． 10. 已知的展开式中不含有和的项，那么________． 【答案】42 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式进行展开，然后问题可求解． 【详解】解： = =； ∵展开式中不含有和的项， ∴， 解得：， ∴． 11. 设a是从集合｛1，2，3，……，｝中任意抽取的一个数，则的末位数字是7的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题意计算，找到规律即可求解． 【详解】解：∵…4个一循环， 又， ∴的末位数字是7的概率是， 故答案为：． 12. 如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，故②正确， ∴，故①正确， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形就解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（共5小题，每小题6分，共30分） 13. 先化简再求值：，其中 ，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据整式的混合运算计算括号内的，再根据多项式除以单项式计算，然后代入求值． 【详解】解：原式 当，时，原式. 14. 甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负． （1）若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？ （2）若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）因为甲先摸出了“石头”后无放回，所以袋子中还有14张卡片，其中乙摸出石头和布皆可获胜，据此求解即可． 【小问1详解】 若甲先摸，共有15张卡片可供选择，其中写有“石头”的卡片共3张， 故甲摸出“石头”的概率为． 【小问2详解】 若甲先摸且摸出“石头”，则可供乙选择的卡片还有14张，其中乙只有摸出卡片“锤子”或“布”才能获胜，这样的卡片共有8张， 故乙获胜的概率为． 15. 如图，已知，．试说明的理由． 【答案】 解：， ， ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】根据得出，再利用等量代换得出，即可判定，再利用平行的性质得出，进而得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查平行线的性质和判定定理，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 16. 如图，中，于D，于E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴(ASA)； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，再结合已知条件和直角相等即可得到答案； （2）根据得到,得出，再根据即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 17. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）作出关于轴对称的图形，并写出点的坐标． （2）在轴上找一点，使得的和最小． 【答案】（1） 即为所求： 的坐标为； （2）点即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了轴对称变换的性质，轴对称最短路径问题： （1）根据关于y轴对称点的横坐标变为相反数，纵坐标不变的规律得出点的坐标，顺次连接即可； （2）将A点关于y轴的对称点与点C连接交y轴于点P，则点P即为所求； 熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据轴对称变换的性质得到，，，依次连接即可， 【小问2详解】 解：将A点关于y轴的对称点与点C连接交y轴于点P，如图所示： 此时轴上点，使得的和最小． 四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分） 18. 港口、、依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从、两港出发，匀速驶向港，甲、乙两船与港的距离（海里）与行驶时间（时）之间的关系如图所示． （1）在图中表示的自变量是______，因变量是______；用字母表示 （2）甲船的平均速度为______海里时，乙船的平均速度为______海里时； （3）甲、乙两船在途中相遇了______次， ______； （4）求甲、乙两船距离港距离相等的时间． 【答案】（1）； （2） （3）； （4）小时或小时 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，理解题意结合方程思想是解题的关键． （1）根据函数的定义解答即可； （2）根据甲、乙的图象去分析出甲、乙的行驶过程，从而求出速度； （3）根据（2）的结论列式求解； （4）分类列方程求解． 【小问1详解】 解：在图中表示的自变量是，因变量是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：甲船的平均速度为：海里时， 乙船的平均速度为海里时， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：甲、乙两船在途中相遇了次，， 故答案为：，； 【小问4详解】 解：当甲还没有到地时：， 解得：， 当甲到达地后：， 解得：， 所以甲、乙两船距离港距离相等的时间为小时或小时． 19. 两个边长分别为和的正方形按如图1所示的方式放置，其末叠合部分（阴影）面积为，若再在图1中大正方形的左下角摆放一个边长为的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示：______；______． （2）若，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积之间的关系，即可用含a、b的代数式表示、； （2）将（1）中的数据代入中化简，转化为含有和的式子，代入求值即可． 【小问1详解】 解：根据图1可得：， 根据图2可得：， 故答案为：；； 【小问2详解】 解： ， ，， ． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式与几何图形，能够运用数形结合，恰当进行代数式的变形是解答本题的关键． 20. 如图，AD//BC，AB⊥BC，AB＝AD，连接AC，过点D作DE⊥AC于E，过点B作BF⊥AC于F． （1）若∠ABF＝63°，求∠ADE的度数； （2）请直接写出线段BF、EF、DE三者间的数量关系． 【答案】（1）∠ADE＝27° （2）BF+EF＝DE 【解析】 【分析】（1）证明△ABF≌△DAE，可得∠ABF＝∠DAE，由∠AED＝90°可求出∠ADE的度数； （2）由△ABF≌△DAE可得BF＝AE，DE＝AF，则可得结论BF+EF＝DE． 【小问1详解】 ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴∠ABC＝∠BAD＝90°， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFA＝∠AED＝90°， ∴∠ABF+∠BAF＝∠BAF+∠DAE＝90°， ∴∠ABF＝∠DAE， ∵AB＝AD， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴∠ABF＝∠DAE=63º， ∵∠AED＝90°， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝90°﹣63°＝27°； 【小问2详解】 BF+EF＝DE理由如下： ∵△ABF≌△DAE， ∴BF＝AE，DE＝AF， ∴DE＝AF＝AE+EF＝BF+EF． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 五、解答题（共2小题，每小题9分，共18分） 21. 阅读理解：如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点A作，∴ ，． ∵ ． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将 “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用：（2）如图2，已知，求的度数． 深化拓展：（3）如图3，已知，点C在点D的右侧，，平分，点B是直线上的一个动点（不与点A重合），，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．若，请你求出的度数．（用含n的代数式表示） 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得到．结合平角的定义，得到．等量代换解答即可． （2）延长，交的延长线于点G，根据平行线的性质，三角形外角性质，平角的定义计算即可． （3）分点B在点A的左侧和右侧，两种情况，利用平行线的性质，三角形外角性质，平角定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，分类思想，角的平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，． ∵． ∴． 故答案为：；． （2）如图，延长，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵，， ∴ ． （3）如图，当点B在点A的左边时， 延长，交的延长线于点M， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 如图，当点B在点A的右边时， 延长，交于点N， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 22. 阅读下面的材料并填空： ①(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝×； ②(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝　 　×　 　； ③(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝　 　＝ ； 利用上面的材料中的方法和结论计算下题： (1﹣)(1﹣)(1﹣)……(1﹣)(1﹣)(1﹣). 【答案】②，；③(1﹣)(1+)；. 【解析】 【分析】观察材料可得规律为：，裂项相消即可计算出结果. 【详解】解： ①(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝ ， ②(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝× ， ③(1﹣)(1+)＝1﹣，反过来，得1﹣＝(1﹣)(1+)＝， 则(1﹣)(1﹣)(1﹣)……(1﹣)(1﹣)(1﹣)， ＝×××××…××， ＝． 【点睛】本题考查了材料阅读题中的规律问题，正确发现题目中的规律是解题关键. 六、解答题（本大题共12分） 23. （1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）略 （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $