精品解析：湖北省恩施州2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2024年恩施州七年级下学期期末学业质量监测考试 数学试题卷 本试题卷共6页，全卷满分120分，用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.考生答题全部写在答题卷上，答在试题卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号码是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上． 3.选择题作答必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫来黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，，中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. 9的平方根是3 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. 平方根等于本身的数是0和1 3. 已知，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A B. C. D. 5. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 检查用于发射卫星的运载火箭的各零部件 B. 了解恩施州七年级学生身高 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况 6. 已知 是二元一次方程的一组解，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 7. 下列不等式变形正确是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有理数和数轴上的点是一一对应的 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 9. 如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则（　　） A. B. C. D. 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 的立方根是___________． 12. 某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 1 4 6 7 2 已知跳远距离为1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为_______． 13. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 ___________尺，竿长 ___________尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 14. 已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为______． 三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：. 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 18. 已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 19. 将理由补充完整． 已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （　　　　　　）， （等量代换）， 　　　　　　（　　　　　　） 　　　　　　（　　　　　　） 又∵（已知） 　　　　　　（　　　　　　） （　　　　　　） 20. 2024年4月23日是第29个世界读书日，当天恩施州举办了“书香恩施·全民读书日”活动，同时随机对恩施州七年级部分学生进行“你最喜欢的课外读物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调查，并绘制成如图所示统计图．图1中A代表“喜欢人文类”的人数，B代表“喜欢社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D代表“喜欢艺术类”的人数．已知A为350人，且对应扇形圆心角的度数为．请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数是　　　　　人． （2）请补全图2中条形统计图． （3）恩施州七年级约有学生36000人，估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数． 21. 如图，在平面直角坐标系中，顶点都在网格点上，其中． （1）请写出A、B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若将先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，请画出平移后的． 22. 某电商平台计划购进甲、乙两种恩施绿茶共110罐，甲种茶叶进价为80元/罐，乙种茶叶进价为120元/罐．已知3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元． （1）求甲、乙两种茶叶每罐的售价分别是多少元? （2）该电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，则共有多少种进货方案? （3）在（2）的条件下，该电商平台如何确定进货方案可使销售利润最大?最大利润是多少元? 23. 【阅读材料】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，结合平面镜反射的性质提出探究问题：怎样摆放平面镜可使入射光线与反射光线平行?为解决该问题，兴趣小组设计了如下探究方案： （1）使用两块平面镜（如图2），若入射光线与反射光线平行，则两块平面镜，的夹角为多少度?请说明理由． （2）使用三块平面镜（如图3），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、与、满足什么关系?请说明理由． （3）使用四块平面镜（如图4），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、、与、满足什么关系?请直接写出结论． 24. 【再现课本】在第八章数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年恩施州七年级下学期期末学业质量监测考试 数学试题卷 本试题卷共6页，全卷满分120分，用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.考生答题全部写在答题卷上，答在试题卷上无效． 2.请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号码是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上． 3.选择题作答必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫来黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效． 4.考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交． 一、选择题（本大题共有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在实数，，，中，最小的数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是实数的大小比较，根据，得到，即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 最小的数是， 故选：A． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 的算术平方根是3 B. 9的平方根是3 C. 0的平方根与算术平方根都是0 D. 平方根等于本身的数是0和1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根．根据平方根，算术平方根的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、没有算术平方根，故该选项不符合题意； B、9的平方根，故该选项不符合题意； C、0的平方根与算术平方根都是0，故该选项符合题意； D、1的平方根，不等于本身，故该选项不符合题意； 故选：C． 3. 已知，则点在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了判断点所在的象限．此题比较简单，注意掌握平面直角坐标系中各个象限内点的符号是解此题的关键．由，即可判定所在的象限． 【详解】解：∵，， ∴点在第三象限， 故选：C． 4. 在数轴上表示一个不等式组的解集如图所示，则这个不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组．根据“小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点”即可得． 【详解】解：不等式组的解集是． 故选：C． 5. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　） A. 检查用于发射卫星的运载火箭的各零部件 B. 了解恩施州七年级学生身高 C. 考察人们保护海洋的意识 D. 调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了全面调查与抽样调查，正确理解全面调查与抽样调查的意义是解题关键． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断． 【详解】解：A、检查用于发射卫星的运载火箭的各零部件，适合全面调查，故本选项符合题意； B、了解恩施州七年级学生身高，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C、考察人们保护海洋的意识，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D、调查某市初中学生利用网络媒体自主学习的情况，适合抽样调查，故本选项不符合题意； 故选：A． 6. 已知 是二元一次方程的一组解，则k的值是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程解，将这组解代入二元一次方程是解决本题的关键．将代入方程，即可求出k的值． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得． 故选：A． 7. 下列不等式变形正确的是（ ） A. 由，得 B. 由，得 C. 由，得 D. 由，得 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式基本性质结合特殊值法逐项判断即可． 【详解】解：A、由a＞b，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误； B、由a＞b，不等式两边同时乘以-2可得-2a＜-2b，故此选项正确； C、当a＞b＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a＞b时，有|a|＜|b|，故此选项错误； D、由a＞b，得a2＞b2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 8. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 有理数和数轴上的点是一一对应的 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短逐项分析判断即可 【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题，不符合题意， B. 两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，不符合题意， C. 实数和数轴上的点是一一对应的，是假命题，不符合题意， D. 连接直线外一点与直线上各点所有线段中，垂线段最短，是真命题，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了真假命题的判断，掌握平行线的性质与判定，数轴与实数一一对应，垂线段最短是解题的关键． 9. 如图，将沿直线折叠，使点A落在边上的点F处，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质求出，进而可计算的度数． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 10. 如果关于y的方程有非负整数解，且关于x的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数a的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，解方程得出，根据关于y的方程有非负整数解，得出，且为整数，由不等式组的解集得出，进而即可求解． 【详解】解：， 解得：， 关于y的方程有非负整数解， ， 解得：，且为整数， ，整理得：， 不等式组的解集为， ， ，且为整数， ，， 于是符合条件的所有整数a的值之和为：， 故选：B． 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分.不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 11. 的立方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解答问题的关键．根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故答案为：． 12. 某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下： 距离 频数 1 4 6 7 2 已知跳远距离为1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表，掌握优秀率的定义是关键．由优秀率的定义计算即可． 【详解】解：频数总和为：， 则该班女生获得优秀率为：； 故答案为：． 13. 明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托．”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，那么绳索长 ___________尺，竿长 ___________尺．（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5尺） 【答案】 ①. 20 ②. 15 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设绳索长x尺，竿长y尺，由题意：绳索长=竿长+5尺，竿长=绳索长的一半+5尺，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺， 由题意得：， 解得：， 即绳索长20尺，竿长15尺， 故答案为：20，15． 14. 已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 15. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的坐标变化规律，由第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为，得第个点的横坐标为（为正整数），由可得第个点的横坐标为，又由图可得当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于，据此即可求解，根据图形找到点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：由图可得，第个点的坐标为，第个点的坐标为，第个点的坐标为， ∴第个点的横坐标为（为正整数）， ∵， ∴第个点的横坐标为， 又当点的横坐标为，纵坐标为偶数时，该点的纵坐标等于， ∵， ∴第个点的纵坐标为， ∴第个点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9个小题，共75分.请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据运算顺序先算乘法，再算加减法即可． 【详解】解： ． 17. （1）解方程组： （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解题关键； （1）利用加减消元法先消去未知数，求解，再进一步解答即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可； 【详解】解：（1） ②×2得③ ①+③得，解得 把代入②得 方程组的解为 （2） 由①得 由②得 此不等式组无解 18. 已知正数x的两个不等的平方根分别是和，的立方根为，c是的整数部分．求的算术平方根． 【答案】的算术平方根是4 【解析】 【分析】本题考查的是平方根与立方根的综合应用，无理数的整数部分的含义，根据平方根与立方根可得，，再结合整数部分可得，从而可得答案； 【详解】解：正数x的两个不等的平方根分别是和， ，解得， 的立方根为， ，解得， c是的整数部分， ， ， 的算术平方根是4； 19. 将理由补充完整． 已知：如图，，，求证：． 证明：∵（已知）， （　　　　　　）， （等量代换）， 　　　　　　（　　　　　　） 　　　　　　（　　　　　　） 又∵（已知） 　　　　　　（　　　　　　） （　　　　　　） 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补， 两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息提示逐步完善推理过程与推理依据即可； 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同旁内角互补， 两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 又∵（已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 20. 2024年4月23日是第29个世界读书日，当天恩施州举办了“书香恩施·全民读书日”活动，同时随机对恩施州七年级部分学生进行“你最喜欢的课外读物”（只能选一项）和“你每周课外阅读的时间”两项问卷调查，并绘制成如图所示统计图．图1中A代表“喜欢人文类”的人数，B代表“喜欢社会类”的人数，C代表“喜欢科学类”的人数，D代表“喜欢艺术类”的人数．已知A为350人，且对应扇形圆心角的度数为．请你根据以上信息解答下列问题： （1）本次抽样调查的总人数是　　　　　人． （2）请补全图2中的条形统计图． （3）恩施州七年级约有学生36000人，估计每周课外阅读时间不低于3小时人数． 【答案】（1）1000 （2）见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，画条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）根据A的圆心角求出所占比，再根据人数和所占比求出调查的总人数； （2）先求出每周课外阅读小时的人数，再补全统计图即可； （3）用总人数乘以每周课外阅读时间不低于3小时的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：（人）， 故答案为：1000； 【小问2详解】 每周课外阅读小时的人数有：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 根据题意得：（人）， 则估计每周课外阅读时间不低于3小时的人数为201600人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中． （1）请写出A、B两点的坐标． （2）求的面积． （3）若将先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，请画出平移后的． 【答案】（1）， （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了平移作图，写出直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形面积，准确确定坐标系汇总点的坐标是解题关键． （1）观察直角坐标系直接写出坐标即可； （2）利用网格求三角形面积即可； （3）根据题中给出的平移方式将三角形平移作图即可． 【小问1详解】 解：由直角坐标系可知：，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 平移后的如图所示： 22. 某电商平台计划购进甲、乙两种恩施绿茶共110罐，甲种茶叶进价为80元/罐，乙种茶叶进价为120元/罐．已知3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元． （1）求甲、乙两种茶叶每罐的售价分别是多少元? （2）该电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，则共有多少种进货方案? （3）在（2）的条件下，该电商平台如何确定进货方案可使销售利润最大?最大利润是多少元? 【答案】（1）甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为120元/罐、200元/罐 （2）共三种进货方案 （3）进货甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐时利润最大，最大利润是5600元 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，确定相等关系与不等关系是解本题的关键； （1） 设甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为每罐元、每罐元，根据3罐甲种茶叶和2罐乙种茶叶的售价共760元；1罐甲种茶叶和4罐乙种茶叶的售价共920元．再建立方程组求解即可； （2）设甲种茶叶的进货量为，则乙种茶叶的进货量为，利用电商平台计划用不超过10000元购进甲、乙两种茶叶，且甲种茶叶的罐数不多于乙种茶叶罐数的3倍，再建立不等式组求解即可； （3）分别计算各种方案的利润，再比较即可； 【小问1详解】 解：设甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为每罐x元、每罐y元，则由题意得： ， 解得 ； 答：甲、乙两种茶叶每千克的售价分别为120、200； 【小问2详解】 解：设甲种茶叶的进货量为罐，则乙种茶叶的进货量为罐， 则由题意得: ， 解得 ， ∵ 为正整数， ∴，共三种进货方案； 【小问3详解】 解：方案一：甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐， 利润为：元； 方案二：甲种茶叶81罐，乙种茶叶29罐， 利润为：元； 方案三：甲种茶叶82罐，乙种茶叶28罐， 利润为：元； ∵ ， ∴选择方案一： 进货甲种茶叶80罐，乙种茶叶30罐时利润最大，最大利润5600元． 23. 【阅读材料】如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点O反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．某数学兴趣小组在学习完平行线的性质后，结合平面镜反射的性质提出探究问题：怎样摆放平面镜可使入射光线与反射光线平行?为解决该问题，兴趣小组设计了如下探究方案： （1）使用两块平面镜（如图2），若入射光线与反射光线平行，则两块平面镜，的夹角为多少度?请说明理由． （2）使用三块平面镜（如图3），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、与、满足什么关系?请说明理由． （3）使用四块平面镜（如图4），设镜子与入射光线的夹角为，镜子与反射光线的夹角为，若入射光线与反射光线平行，则、、与、满足什么关系?请直接写出结论． 【答案】（1），理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）过点作，根据平行线的性质得出，，根据，，求出，即可求出； （2）经过三次反射标记各反射点，如图所示，作， 证明， 证明，，再进一步解答即可； （3）如图，分别作，，而，可得，证明，证明，,，再进一步解答即可； 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ，， 根据题意得：，， ， ∴， ， 即． 【小问2详解】 解：经过三次反射标记各反射点，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ， ， 同理：， ∴ ； 而，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，分别作，，而， ∴， ∴， 同理可得：， , 而， ∴ 而，， ∵， ∴， ∴． 24. 【再现课本】在第八章的数学活动中我们曾探究过“以方程的解为坐标（x的值为横坐标、y的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般地，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图1，依据“两点确定一条直线”，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． 【解决问题】 （1）已知，，，则点　　　　（填“A或B或C”）在方程的图象上． （2）请你在图1所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象．观察图中两个图象，它们的交点坐标为　　　　，由此得出二元一次方程组的解是　　　　． 【拓展延伸】 （3）已知点,在二元一次方程的图象上，试求a，b的值． （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M，当点M在第一象限时，请求出m的取值范围． 【答案】（1）C；（2）画图见解析；，；（3）；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题关键是根据已知条件画出函数图象． （1）把已知，，，分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等进行判断即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标都能让方程的左右两边相等，然后过两点画直线即可，观察图象可得，所画的两条直线的交点，根据一次函数与二元一次方程组的关系可得答案； （3）把点,代入方程，解方程组可得； （4）在（3）的条件下，得到方程组求出交点，根据点在第一象限即可求出m的范围． 【详解】解：（1）把已知，，分别代入方程中， ，，， ∴点A，B不在方程的图象上，点C在方程的图象上， 故答案为：C； （2）二元一次方程的图象如下图： 由图可知交点坐标为， 则的解为：， 故答案为：，； （3）点,在二元一次方程的图象上， ， 解得：； （4）在（3）的条件下，二元一次方程与的图象交于点M， ，解得：， ， 点M在第一象限， ，， 解得： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $