精品解析：天津市部分区2023-2024学年高二下学期期末练习数学试题

天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习 高二数学 2024.7.8 第I卷（非选择题共36分） 一､选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知离散型随机变量的方差为2，则（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 5. 展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 6. 下列各对函数中，互为反函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C D. 8. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 9. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题共84分） 二､填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 10. 已知变量之间具有线性相关关系，根据下表中的数据求得经验回归方程为，则实数的值为__________. 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 11. 某学校派出4名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流，每所中学至少安排1名教师，则不同的分配方法种数为__________.（结果用数字表示） 12. 展开式中系数为__________.（结果用数字表示） 13. 若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是__________. 14. 甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是__________.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为__________. 15. 对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若关于的方程恰有5个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为考察某种药物对预防疾病效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： （1）补全下面的列联表（单位：只）； 药物 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 7 服用 8 19 合计 （2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性. 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 18. 设函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 19. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 20. 已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若对任意两个正实数，且，有，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市部分区2023~2024学年度第二学期期末练习 高二数学 2024.7.8 第I卷（非选择题共36分） 一､选择题：本大题共9个小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：C 2 设随机变量，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求解. 【详解】由于随机变量,所以， 又因为 所以， 所以. 故选：B 3. 函数的图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性可排除A，利用定义域可排除C，根据时的函数值的正负可排除D，进而即得. 【详解】由题可得函数的图象关于原点对称，定义域为， 对于A，，函数关于y轴对称，故A错误； 对于C，因为的定义域为，故C错误； 对于D，当，时，，不符合图象，故D错误； 对于B，，函数的图象关于原点对称，且时，，符合题意，所以B正确. 故选：B. 4. 已知离散型随机变量的方差为2，则（ ） A. 2 B. 3 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质即可得解. 【详解】因为离散型随机变量的方差为2， 所以. 故选：D. 5. 的展开式中的常数项为（ ） A. 20 B. 15 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出通项，根据指数为0求出，然后可得. 【详解】展开式通项， 令得， 所以，展开式中的常数项为. 故选：B 6. 下列各对函数中，互为反函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据互为反函数的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，的反函数为，所以A正确， 对于B，的反函数为，所以B错误， 对于C，的反函数为，所以C错误， 对于D，的反函数为，所以D错误， 故选：A 7. 若，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据特殊值比较大小，得出的大小 【详解】因为， 所以， 故选：B. 8. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是，一年后是，则一年后“进步”的是“落后”的约（ ）（参考数据：） A. 99倍 B. 101倍 C. 292倍 D. 832倍 【答案】D 【解析】 【分析】直接计算，根据所给数值求解. 【详解】 ， 故. 故选：D 9. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据已知讨论导数符号可得单调性，由可得，将不等式转化为，然后利用单调性可解. 【详解】记，则， 因为， 所以当时，，则，在上单调递增； 当时，，则，在上单调递减. 又，即， 所以， 因为， 所以，解得. 故选：B 【点睛】关键点睛：本题解答关键在于观察不等式结构特征，构造函数，再结合条件判断其单调性，本题还考查了对称性的运用. 第II卷（非选择题共84分） 二､填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分. 10. 已知变量之间具有线性相关关系，根据下表中的数据求得经验回归方程为，则实数的值为__________. 2 4 5 6 8 30 40 60 50 70 【答案】## 【解析】 【分析】因为样本中心点满足回归方程，所以求出代入回归方程可求出实数的值. 【详解】因为，， 回归方程为， 所以，解得. 故答案为： 11. 某学校派出4名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流，每所中学至少安排1名教师，则不同的分配方法种数为__________.（结果用数字表示） 【答案】36 【解析】 【分析】利用先分组后分配的方法来计数. 【详解】先把4名优秀教师分成三组，即有； 再把这三组优秀教师分配到3所中学，共有； 根据分步计算乘法原理可得，不同的分配方法种数有（种）， 故答案为：. 12. 展开式中的系数为__________.（结果用数字表示） 【答案】28 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，然后求出其和的系数，两系数相减可得答案. 【详解】因为展开式的通项公式为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：28 13. 若直角三角形的面积等于，则两条直角边的和的最小值是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】设两条直角边分别为， 则由三角形的面积可知： 故，当且仅当时，等号成立. 故答案：8 14. 甲､乙两个箱子中各装有8个球，其中甲箱中有4个红球，4个白球，乙箱中有6个红球，2个白球.A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同的概率是__________.同学掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子中随机摸出1个球，如果点数为，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么B同学摸到红球的概率为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分析可知3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况，根据古典概型分析求解；设相应事件，根据题意可知相应的概率，利用全概率公式运算求解. 【详解】若A同学从乙箱子中随机摸出3个球，则3个球颜色不全相同，则有2红1白或1红2白两种情况， 所以3个球颜色不全相同的概率为； 记“一枚质地均匀的骰子，点数为1或2”为事件，“B同学摸到红球”为事件， 则， 所以. 故答案为：；. 15. 对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若关于的方程恰有5个不同的实根，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得或，令，则或，分、、三种情况讨论，可得、与共有个不同的交点，数形结合即可得解. 【详解】因为，所以， 则或， 令， 则或， 依题意可得、与共有个不同的交点， 当时，此时与有个交点， 与有个交点，不符合题意； 当时与无交点，与最多只有个交点，不符合题意； 当时，因为的图象是由的图象向右平移个单位而来， 由，解得， 则的图象如下所示： 其中，由图可知与恰有个交点， 则与有个交点，所以，解得； 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而得到、与共有个不同的交点. 三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随机样本的数据，得到如下列联表： （1）补全下面的列联表（单位：只）； 药物 疾病B 合计 未患病 患病 未服用 7 服用 8 19 合计 （2）依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性. 参考公式：，其中. 参考附表： 0.100 0.050 0.025 2.706 3.841 5.024 【答案】（1）列联表见解析 （2）药物A对预防疾病B无效 【解析】 【分析】（1）根据题意和表中的数据填写即可； （2）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可. 【小问1详解】 解：列联表如下： 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 14 7 21 服用 8 11 19 合计 22 18 40 【小问2详解】解：零假设为：药物对疾病无效. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率值的独立性检验，我们没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为药物对预防疾病无效. 17. 已知函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）求出和后由点斜式得切线方程； （2）求出的根后列表得出函数的单调性与极值． 【小问1详解】 函数的定义域为. 导函数. 所以，. 所以，函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 令，解得或，列表得 -1 2 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 的极大值为，极小值为. 18. 设函数的定义域为集合，集合. （1）若，求； （2）设，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别求对数型函数定义域和解一元二次不等式得到集合,即可求得结果； （2）由题分析推得集合是集合的真子集，列出不等式组求解即得. 【小问1详解】 由，解得，则. 因，由可得，则. 因，则或. 故或. 【小问2详解】 因是的必要不充分条件，则是的真子集. 从而或， 解得，即实数的取值范围是. 19. 一个袋子中有6个大小相同的球，其中有2个黄球，4个白球，从中随机地摸出3个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. （1）若不放回摸球，求的分布列； （2）若有放回摸球，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析，均值为1 【解析】 【分析】（1）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列 ； （2）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列与均值. 【小问1详解】 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 0 1 2 【小问2详解】对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的，因此. 的分布列为. 0 1 2 3 . 20. 已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3. （1）求的值； （2）证明：当时，； （3）若对任意两个正实数，且，有，求证：. 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由求得值； （2）设，利用导数确定其单调性后可证； （3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明． 【小问1详解】 由，可知， 因为在处的切线斜率为3， 所以. 所以 【小问2详解】 证明：由（1）知， 不妨设，则. 令 因为， 所以在上单调递增，. 故， 所以在上单调递增，， 所以. 【小问3详解】 由（1）知， 不妨设，令 由即得，即. 即，则， 所以， 要证. 设，则. 则在上单调递减，，故成立. 【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量的问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $