精品解析：山东省济南市槐荫区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学（2024.06） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷共2页，满分为40分；第II卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 直线， 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 在地球某地，温度与海拔的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔时的温度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形三条高所在的直线交于一点 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 D. 三角形三条高线的交点叫做三角形的重心 9. 用尺规作一个角等于已知角． 已知． ． 求作：， 使 ． 作法如下： （1）作射线； （2）以①为圆心，任意长为半径画弧， 交于点 P、交 于点 Q； （3）以点 E为圆心， 以②为半径画弧交 于点 D； （4）以点 D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点 F； （5）过点F作④， 即为所求作角． 以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ） A. ①表示点O B. ②表示 C. ③表示OQ D. ④表示射线 10. “杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如…在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（　　） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 第II卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 直角三角形中，，若，则______度． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为________________． 13. 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系式为 ______ ． 14. 如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为______. 15. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为、，则该等腰三角形的腰长为___________． 16. 如图，在中，，点分别为边上的动点，连接，，，若，，则的周长的最小值为______． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点、、、在一条直线上，，，垂足分别为、，，． 求证：．（推理过程请注明理由） 20. 如图，，，平分交于点，试说明．下面是小林同学的证明，请你完善解答过程，并在括号内填写相应的推理依据． 证明：∵（已知） ∴，（ ） ∵（已知） ∴．（等量代换） ∵（已知） ∴=180°．（ ） ∴．（等式的性质） ∵平分（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∴．（ ） 21. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的图形（要求与，与，与相对应）； （2）在直线上找一点，使得的周长最小； （3）求的面积． 22. 星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家距离与散步所用的时间之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． （2）公共阅报栏离小红家有 ，小红在公共阅报栏看报一共用了 ； （3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度． 23. 如图，已知中，D为上一点，，E为外部一点，满足，连结，与交于点O，且．     （1）求证：； （2）若，求的度数． 24. 在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”． 如图1，已知：．求证：． 如何证明这个定理呢？ 下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题． 方法一：如图1，延长作射线，过点作射线． 方法二：如图2，过点作直线． （1）某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整． 证明：如图1，延长作射线，过点作射线， ______（两直线平行，内错角相等）， （______）． （平角的定义）， （等量代换）． （2）请写出方法二的证明过程． （3）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答． 如图3，已知，过点作直线，为线段上一点，连接、，若，，．求的度数． 25. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：______； 方法二：______； （2），，这三个代数式之间的等量关系为______； （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若，，求的值： （4）已知，求的值． 26. 【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 【深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度第二学期期末质量检测 七年级数学（2024.06） 本试题分试卷和答题卡两部分．第I卷共2页，满分为40分；第II卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟． 答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共40分） 注意事项： 第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列校徽的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别； 根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不符合题意； B.不是轴对称图形，不符合题意； C.不是轴对称图形，不符合题意； D.是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，，则用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故选A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法和除法法则，进行求解即可． 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算正确； D、，原计算错误； 故选：C． 4. 如图， 直线， 若， 则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，先由对顶角线段得到，再由两直线平行，同旁内角互补即可得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5. 如图，ΔABC与ΔA’B’C’关于直线l对称，则∠B的度数为（ ） A. 30° B. 50° C. 90° D. 100° 【答案】D 【解析】 【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称， ∴∠A=∠A′=50°，∠C=∠C′=30°， ∴∠B=180°﹣80°=100°． 故选D． 6. 将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再利用三角形外角的定义和性质即可求解． 【详解】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的定义和性质，解题的关键是掌握两直线平行、同位角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 7. 在地球某地，温度与海拔的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔时的温度为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，将的值代入关系式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选B． 8. 下列说法错误的是（ ） A. 三角形的三条高所在的直线交于一点 B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 C. 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 D. 三角形三条高线的交点叫做三角形的重心 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的高线，中线，中垂线的性质，三角形的三边关系，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三条高所在的直线交于一点，正确； B、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确； C、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，正确； D、三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误； 故选D． 9. 用尺规作一个角等于已知角． 已知． ． 求作：， 使 ． 作法如下： （1）作射线； （2）以①为圆心，任意长为半径画弧， 交于点 P、交 于点 Q； （3）以点 E为圆心， 以②为半径画弧交 于点 D； （4）以点 D为圆心，以③为半径画弧交前面的弧于点 F； （5）过点F作④， 即为所求作的角． 以上作图步骤中，序号代表的内容错误的是（ ） A. ①表示点O B. ②表示 C. ③表示OQ D. ④表示射线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，熟练掌握作一个角等于已知角的方法是解答本题的关键．根据作一个角等于已知角的作图步骤可得答案． 【详解】解：作法：（1）作射线； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交于点、交于点； （3）以点为圆心，以为半径画弧交于点； （4）以点为圆心，以为半径画弧交前面的弧于点； （5）过点作，即为所求作的角． 内容错误的是“③”． 故选：C 10. “杨辉三角”是杨辉留给后世宝贵的数学遗产．如图，在“杨辉三角”中，两边上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．如…在“杨辉三角”中，若从第三行的“2”开始，按图示箭头所指依次构成一列数：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则这列数中第24个数是（　　） A. 8 B. 28 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数字类变化规律，由题意得出第24个数在从开始的第行的第个数，观察可得由从开始的第行的数依次为，，，，，，，由此即可得出答案． 【详解】解：，， 第24个数在从开始的第行的第个数， 观察可得：由从开始的第行的数依次为：，，，，， 由从开始的第行的数依次为：，，，，，， 由从开始的第行的数依次为，，，，，，， 第24个数为， 故选：C． 第II卷（非选择题 共110分） 注意事项： 所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等． 不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 在直角三角形中，，若，则______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查直角三角形的性质，根据直角三角形的两个锐角互余，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：50． 12. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，若测量得，则工件内槽宽为________________． 【答案】10 【解析】 【分析】连接，证明，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ， 该工具把两根钢条的中点连在一起， ， 与中， ， ， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据已知条件证明三角形全等是解题的关键． 13. 一名老师带领x名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门票的总费用为y元，则y与x的函数关系式为 ______ ． 【答案】y=30+10x 【解析】 【详解】分析：根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，可得函数关系式． 详解：由题意，得：y=30+10x． 故答案为y=30+10x． 点睛：本题考查了函数关系式，利用了学生的票价加老师的票价等于总票价． 14. 如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为______. 【答案】65° 【解析】 【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论. 【详解】解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°. ∵直线MN是线段AC的垂直平分线， ∴∠C＝∠CAD＝30°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°. 故答案为：65°. 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 15. 已知一个等腰三角形的两条边长分别为、，则该等腰三角形的腰长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件和三角形三边关系定理可知，等腰三角形的腰长不可能为，只能为，即可求解． 【详解】解：∵等腰三角形的两条边长分别为，， ∴由三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长不可能为，只能为， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了等腰三角形定义，三角形三边关系，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 16. 如图，在中，，点分别为边上的动点，连接，，，若，，则的周长的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】分别作点Q关于，的对称点，连接分别交于点，连接，由对称性可知是等边三角形，则，当时，最短，即最短，此时的周长最小，进而解决问题． 【详解】解：如图，分别作点Q关于，的对称点，连接分别交于点，连接， 由对称性可知，，，， ∴的周长， ∵，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 当时，最短，即最短， 此时的周长最小， ∵，， ∴， 即的周长的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的判定与性质，将的周长的最小值转化为的长是解题的关键． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂的运算，先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂以及去绝对值运算，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】先计算乘法，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，点、、、在一条直线上，，，垂足分别为、，，． 求证：．（推理过程请注明理由） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，可得． 【详解】证明，，（已知） ，（垂直定义） 在和中， （已知） ， （全等三角形的对应边相等）． 20. 如图，，，平分交于点，试说明．下面是小林同学的证明，请你完善解答过程，并在括号内填写相应的推理依据． 证明：∵（已知） ∴，（ ） ∵（已知） ∴．（等量代换） ∵（已知） ∴=180°．（ ） ∴．（等式的性质） ∵平分（已知） ∴．（ ） ∴．（ ） ∴．（ ） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记相关定理的内容，根据推理过程即可完善相关步骤． 【详解】解：，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ∴（等式的性质） 平分，（已知） ．（角平分线定义） （等量代换） ．（内错角相等，两直线平行） 21. 如图，在的正方形网格中，有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （1）在图中作出关于直线对称的图形（要求与，与，与相对应）； （2）在直线上找一点，使得的周长最小； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，利用轴对称解决线段和最小问题，利用网格求面积： （1）根据轴对称的性质，画图即可； （2）连接，与直线的交点即为点； （3）分割法求出面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 小问2详解】 如图，点即为所求； 【小问3详解】 的面积 ． 22. 星期五晚饭后，小红从家里出去散步，如图所示，描述了她散步过程中离家的距离与散步所用的时间之间的关系，该图象反映的过程是：小红从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会报后，继续向前走了一段走到邮亭，然后回家了，依据图象回答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ． （2）公共阅报栏离小红家有 ，小红在公共阅报栏看报一共用了 ； （3）求小红从家走到公共阅报栏的速度和从邮亭返回家的速度． 【答案】（1）散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s （2）， （3）； 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，从函数图像获取信息； （1）根据函数的定义可得自变量是散步所用的时间t，因变量是散步过程中离家的距离s． （2）根据函数图象即可求解； （3）根据路程除以时间，即可求解． 【小问1详解】 解：在这个变化过程中，自变量是散步所用的时间t，因变量是散步过程中离家的距离s． 故答案为：散步所用的时间t，散步过程中离家的距离s； 【小问2详解】 结合图象的纵轴可知，公共阅报栏离小红家有； 小红在公共阅报栏看报一共用了：（）； 故答案为：，； 【小问3详解】 小红从家走到公共阅报栏的速度为：（）； 从邮亭返回家的速度为：（）． 23. 如图，已知中，D为上一点，，E为外部一点，满足，连结，与交于点O，且．     （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）的度数是． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，证明全等是关键． （1）根据“边角边”证明即可； （2）根据全等三角形的性质和三角形外角即可求解 【小问1详解】 证明：∵∠CAE=∠BAD， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵△ABC≌△ADE， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数是． 24. 在张老师的课堂上，张老师引导学生证明“三角形内角和定理”． 如图1，已知：．求证：． 如何证明这个定理呢？ 下面是两种添加辅助线的方法，请按要求解决下列问题． 方法一：如图1，延长作射线，过点作射线． 方法二：如图2，过点作直线． （1）某同学写出了方法一的证明过程，请补充完整． 证明：如图1，延长作射线，过点作射线， ______（两直线平行，内错角相等）， （______）． （平角的定义）， （等量代换）． （2）请写出方法二的证明过程． （3）在回顾解题思路时，张老师带领同学们重点总结了转化思想，指出两种解题思路都利用了“平行线”进行等角转化；为了帮助同学们更好地感悟转化思想，张老师又提出了下面的问题，请你解答． 如图3，已知，过点作直线，为线段上一点，连接、，若，，．求的度数． 【答案】（1），两直线平行，同位角相等 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）根据平行线的性质，作答即可； （2）过点作直线，根据平行线的性质和平角的定义，即可得出结论； （3）作，根据，得到，再根据平行线的性质和等量代换进行求解即可． 小问1详解】 证明：如图1，延长作射线，过点作射线， （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）． （平角的定义）， （等量代换）． 【小问2详解】 如图2，过点作直线， ， ，， ， ． 【小问3详解】 如图，作， 则， ， ， ， ， ， ． 25. “数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同的方法表示图2中小正方形（阴影部分）的面积： 方法一：______； 方法二：______； （2），，这三个代数式之间的等量关系为______； （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若，，求的值： （4）已知，求的值． 【答案】（1）；； （2）； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何中的应用： （1）直接利用面积公式和分割法求面积表示小正方形的面积即可； （2）根据（1）中的两个式子相等，即可得出结果； （3）利用（2）中的结论进行求解即可； （4）利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：方法一：； 方法二：； 【小问2详解】 由（1）可得：； 【小问3详解】 ， ， ． 【小问4详解】 ， ， ． 26. 【模型呈现】 （1）如图1，，，于点，于点． 求证：． 【模型应用】 （2）如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． 深入探究】 （3）如图3，，，，连接、，且于点，与直线交于点． ①求证； ②若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）①见解析； 【解析】 【分析】（1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； （3）①过点作于，过点作交的延长线于，易证，，得到，，再证明，即可得出结论； ②根据全等三角形的性质，求出的长，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （2）由模型呈现可知，，， ，，，， 则 ． （3）①过点作于，过点作交的延长线于． 图3 由【模型呈现】可知，，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ②由①可知，，， ， ， ， ， 由①得 ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$