阶段测试卷1—第一次月考（范围：第一章、第二章）-2024-2025学年高一数学上学期同步测试卷（单元+周测+月考+专项+期中+期末）》（人教A版）

阶段测试卷1—第一次月考（范围：第一章、第二章） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组对象，能构成集合的是(    ) A. 东辰学校所有高个子的学生 B. 中国著名的艺术家 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 2.给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 4.  若是正数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为(    ) A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 6.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则B的真子集个数为(    ) A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 7.已知集合，若，且同时满足：若，则；②若，则则集合A的个数为(    ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 8.关于x的不等式，的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的有(    ) A. 命题，，则命题p的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题. D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件. 10.已知关于x的不等式的解集是，则(    ) A. B. C. D. 11.已知a，b为正实数，且，则(    ) A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，且，则m的值为__________. 13.已知，，若，则的最小值为__________. 14.若命题：“任意实数x使得不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在①，②这二个条件中任选一个， 补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合__________，集合 若集合B的子集有2个，求实数a的值; 若，求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 16.本小题15分 设，解关于x的不等式： 17.本小题15分 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元年为第一年，设该设备产生的盈利总额纯利润为y万元． 写出y与x之间的函数关系式；求出从第几年开始，该机床开始盈利盈利总额为正值； 使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；年平均盈利额 ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 18.本小题17分 已知集合 判断8，9，10是否属于集合A； 已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； 写出所有满足集合A的偶数. 19.本小题17分 如图，ABDC为梯形，其中，，设O为对角线的交点表示平行于两底且与它们等距离的线段即梯形的中位线，KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用平均值不等式证明所得到的猜测吗? 答案和解析 1.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查集合的含义．通过对集合元素三个性质：确定性，无序性，互异性进行考查，属于基础题． 根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足集合的确定性故排除，D满足集合的确定性，正确． 【解答】 解：A：东辰学校所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除； B：著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，排除； C：一切很大的数，因为很大的数不确定，所以不满足集合的确定性，排除； D：倒数等于它自身的实数为1与，满足集合的定义，故正确． 故选 2.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查元素与集合的关系及特殊集合的表示方法，利用和的定义，逐一分析求解即可. 【解答】 解：对于①，为实数，而R表示实数集，所以，即①正确; 对于②，2为整数，而Z表示整数集合，所以，即②正确; 对于③，为正自然数，而表示正自然数集，所以，所以③错误; 对于④，因为为无理数，Q表示有理数集，所以，即④错误. 故选 3.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查集合的运算，属于基础题. 化简A，由补集和交集运算即可求解. 【解答】 解：或， 则， 则 4.【答案】D  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的性质的应用，利用特殊值法是解决不等式性质中常用的方法． 【解答】 解：当，“”不能得出“”； 当，“”能得出“”； 由于c的取值不确定，所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题． 根据数的性质以及不等式性质可判断①③；举反例可判断②，根据不等式性质可判断④． 【解答】 解：，，，，故①正确； 不妨取，，满足，但，故②错误； 由，可得，，故③正确； 由，可知，而， 故，即，故④正确. 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查集合的子集个数，属于基础题. 由题意可得8，153，370为自恋数，所以，则真子集个数为，即可得出答案. 【解答】 解：因为，所以8是自恋数; ，所以23不是自恋数; 因为，所以81不是自恋数; 因为，所以153是自恋数; ，所以254不是自恋数; 因为，所以370是自恋数; 所以集合， 所以真子集个数：个， 故选 7.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查集合的子集、真子集及其个数，是基础题. 由补集与子集的概念求解即可. 【解答】 解：由题意，  ， 当  时，  ，  ； 当  时，  ； 当  时，  ； 当  时，  ； 而元素5没有限制， 所以集合 A 可以为：  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，共8个. 故选： 8.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了含参的一元二次不等式，属中档题. 根据a的取值情况进行分类，进一步确定a的取值范围. 【解答】 解：可得 若，则不等式无解; 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为2、3，则 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数，则这两个整数为，所以 综上或 9.【答案】AD  【解析】【分析】 本题考查全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，考查充分、必要条件的判断，属于中档题. 由全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定可判断选项AC，由充分、必要条件的定义可判断选项 【解答】 解：命题p的否定是，，A正确; 不能推出，例如，但 也不能推出，例如，而， 所以B错误： 当时，，所以C错误; 关于x的方程有一正一负根， 所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，故D选项正确. 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，属中档题. 【解答】 解：的解集是， 所以，且和4是方程的两个解， 所以二次函数的对称轴是，则，则，即，， 又，则，所以A，C对，B错; 结合上述分析可知，二次函数的图象为开口向上的抛物线， 且与x轴交点的横坐标为和4， 则可知当时，此二次函数的函数值大于0， 即，所以D错. 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查基本不等式，属于拔高题. 【解答】 解：由得，所以 ，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8，A对; ，当且仅当时取等号，此时取得最小值，B错; 因为，当且仅当时取等号，解不等式得，即，故ab的最大值为8，C对; ，当且仅当即时取等号，此时取得最小值，D正确; 12.【答案】0  【解析】【分析】 本题考查了集合元素的特征，属于基础题. 【解答】 解：因为，所以，解得或，又集合的元素具有互异性，所以 13.【答案】3  【解析】【分析】 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于中档题． 利用基本不等式可得，令，可得，解不等式可得的取值范围，可得最小值． 【解答】 解：由题意可得，， 当且仅当时取等号， 令，则， 解得或舍去， 所以，当且仅当，时取等号， 故的最小值 故答案为 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了命题的概念与真假，一元二次不等式，属于基础题. 【解答】 解：因为存在实数x使得不等式成立， 所以不等式的解集非空， ①当时，，得，符合题意， ②当时，不等式的解集非空，符合题意， ③当时，因为不等式的解集非空， 所以，即，解得或， 所以或， 综上或， 即实数a的取值范围是 15.【答案】解：集合B的子集有2个，集合B元素个数为1 ，即 解得： 选①集合 ， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件; 当时，即，此时，满足条件; 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 选②集合， ， 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件; 当时，即，此时，满足条件; 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是   【解析】本题考查集合间的关系，集合中元素个数，属于中档题. 16.【答案】解： 当时，原不等式为： 当时，则或 ①当时，，或 ②当时，， ③当时，， ④当时，， 综上：当时， 当，或 当， 当， 当，  【解析】本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，是中档题． 将所求不等式变形为，对实数 a的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解. 17.【答案】解： 解不等式，得 ， 故从第3年开始该设备开始盈利； ①， 当且仅当时，即时，等号成立． 到2025年，年平均盈利额达到最大值，该设备可获利万元. ②，当时， 故到2028年，盈利额达到最大值，该设备可获利万元. 因为两种方案企业获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理.   【解析】本题考查函数模型的应用，一元二次不等式的求解，利用基本不等式求最值，二次函数的最值，属于中档题. 根据题意可得y与x之间的函数关系式，解一元二次不等式即可得到设备开始盈利的年数； 分别求出方案①②下该设备的获利额，结合所用时间，即可得解. 18.【答案】解：，，，， 假设，， 则，且， ， ，或，显然均无整数解， ， ，，； 集合，则恒有， ，即一切奇数都属于A， 又，“”的充分非必要条件是“”； 集合，成立， ①当m，n同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇，一偶时，，均为奇数，为奇数， 综上所有满足集合A的偶数为4k，即  【解析】本题考查集合的表示法的应用，考查元素与集合关系的判断，考查分类讨论思想，考查逻辑思维能力和计算能力，属于拔高题. 将，9，10分别代入关系式，若满足关系式，则属于A，若不满足关系式，则不属于A，即可得答案； 根据已知中集合A的定义，根据集合元素与集合关系的判断，我们推证奇数可得答案； 成立，当m，n同奇或同偶时，，均为偶数；当m，n一奇，一偶时，，均为奇数．由此能求出所有满足集合A的偶数． 19.【答案】解：因为GH是梯形ABCD的中位线，所以①， 因为梯形ABLK与梯形KLDC相似，所以，②， 因为∽，∽，所以，同理可得， 所以③， 因为， 设这三个梯形的高分别为，，h，且， 所以， 所以 所以， 所以④， 由图可知，，即 证明：显然 ， ，， 所以  【解析】本题考查不等式的性质及证明，平均值不等式的应用，考查学生数学建模、逻辑推理以及数学运算等数学核心素养，属于较难的题目． 根据题中所给的梯形模型，结合平行线分线段成比例定理、相似、面积相等等方式，建立得到几个平均数，再利用平均值不等式和作差法比较大小． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 阶段测试卷1—第一次月考（范围：第一章、第二章） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四组对象，能构成集合的是(    ) A. 东辰学校所有高个子的学生 B. 中国著名的艺术家 C. 一切很大的数 D. 倒数等于它自身的实数 2.给出下列关系：①；②；③；④其中正确的个数为(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.设全集，集合，，则(    ) A. B. C. D. 4.  若是正数，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.设，给出下列四个结论：①②③④，其中正确的结论的序号为(    ) A. ①② B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 6.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，是自恋数，则B的真子集个数为(    ) A. 7 B. 15 C. 31 D. 63 7.已知集合，若，且同时满足：若，则；②若，则则集合A的个数为(    ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 20 8.关于x的不等式，的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的有(    ) A. 命题，，则命题p的否定是， B. “”是“”的必要条件 C. 命题“，”是真命题. D. “”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件. 10.已知关于x的不等式的解集是，则(    ) A. B. C. D. 11.已知a，b为正实数，且，则(    ) A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. ab的最大值为8 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，且，则m的值为__________. 13.已知，，若，则的最小值为__________. 14.若命题：“任意实数x使得不等式成立”为假命题，则实数a的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 在①，②这二个条件中任选一个， 补充在下列横线中，求解下列问题. 设集合__________，集合 若集合B的子集有2个，求实数a的值; 若，求实数a的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分. 16.本小题15分 设，解关于x的不等式： 17.本小题15分 实行垃圾分类，关系生态环境，关系节约使用资源.某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于2019年年初用98万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用.该设备使用后，每年的总收入为50万元.若该设备使用x年，则其所需维修保养费用x年来的总和为万元年为第一年，设该设备产生的盈利总额纯利润为y万元． 写出y与x之间的函数关系式；求出从第几年开始，该机床开始盈利盈利总额为正值； 使用若干年后，对设备的处理方案有两种：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该设备；年平均盈利额 ②当盈利总额达到最大值时，以12万元价格处理该设备．试问用哪种方案处理较为合理？请说明你的理由． 18.本小题17分 已知集合 判断8，9，10是否属于集合A； 已知集合，证明：“”的充分非必要条件是“”； 写出所有满足集合A的偶数. 19.本小题17分 如图，ABDC为梯形，其中，，设O为对角线的交点表示平行于两底且与它们等距离的线段即梯形的中位线，KL表示平行于两底且使梯形ABLK与梯形KLDC相似的线段，EF表示平行于两底且过点O的线段，MN表示平行于两底且将梯形ABDC分为面积相等的两个梯形的线段. 试研究线段GH，KL，EF，MN与代数式，，，之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系.你能用平均值不等式证明所得到的猜测吗?． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$