专题2.12 有理数的乘法与除法（专项练习）（培优练）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.12 有理数的乘法与除法（专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（2023·河北保定·一模）下列与相乘等于1的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖南衡阳·阶段练习）下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，在数轴上，点A，B分别表示有理数a，b，下列算式中，结果是负数的有（    ） ①；②；③ A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 5．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的值为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）甲乙丙三位同学合乘一辆滴滴车去顺路的三个地点，事先约定三人根据路程分摊车费，甲在全程的四分之一处下车，甲下车时，乙离下车点还有一半的路程，丙坐完全程．已知乙支付了18元车费，则三人一共支付多少车费？（    ） A．36元 B．48元 C．63元 D．81元 7．（19-20七年级上·全国·课后作业）下列计算不正确的是(　　) A．21÷(－3)＝－7 B．(－2.5)÷(－0.5)＝5 C．÷＝ D．×÷＝－ 8．（23-24七年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知：，且，，则的值等于（     ） A．1或 B．3或 C．3或1 D．或 9．（2021·浙江杭州·一模）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（    ） A．3 B．﹣2 C． D． 10．（23-24七年级上·四川南充·阶段练习）若三个非零有理数，满足，且有，则这三个数的大小关系为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24七年级上·四川成都·期末）若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 12．（22-23七年级上·浙江杭州·期中）若，，且，则 ． 13．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，则值为 ． 14．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）给一间房间铺地板，选用边长3分米的方砖需要240块，若选用边长6分米的方砖，需 块． 15．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）体育课每星期上两节，两节课的安排要满足如下要求：①每天只能上一节；②不能连续两天都有体育课；③每天可以在节的任意一节上这门课；④星期六和星期日不能安排．则这门课共有 种安排方式． 16．（23-24七年级上·福建龙岩·阶段练习）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算 符号） ，，，，那么的值是 17．（23-24七年级上·贵州遵义·期中）有两个正数、，满足，规定把大于或等于且小于或等于的所有数记作，，例如大于或等于0且小于或等于5的所有数记作，如果在中，在中，那么的一切值所在范围是 ． 18．（22-23七年级上·广东广州·开学考试）在一张纸上写上这一百个自然数，1，2，3，4，5，…，99，100．划去前两个数，把它们的和写在最后面：3，4，5，…，99，100，3；然后再划去前两个数，把它们的和写在最后面：5，6，…，99，100，3，7；如此这样下去，直到只剩下一个数为止．那么这个过程中一共写了 个数，最后一个数是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24七年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（8分）（23-24六年级上·山东烟台·期中）用简便方法进行计算 (1) (2) (3) 21．（10分）（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决． （1）计算： （2）由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程 解：原式的倒数为： ． 故原式 请你根据对小明的方法的理解，计算 22．（10分）（23-24七年级上·江苏镇江·阶段练习）小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 （1）巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． （2）学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ （3）若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 23．（10分）（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）观察以上式子，类比计算： ① ， ； （2）计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） （3）若．计算：的值． 24．（12分）（23-24七年级上·广西玉林·期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用“分类讨论”的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】已知有理数，，满足，求＋＋的值． 【解决问题】解：由题意，得，，三个都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①当，，都为正数，即时， ＋＋＝＋＋＝1＋1＋1＝3； ②当，，中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设， 则＋＋＝＋＋． 综上所述，＋＋的值为3或． 【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）已知，是不为0的有理数，当时，＋＝ ； （2）已知，，是有理数，当时，求＋＋的值； （3）已知，，是有理数，，，求＋＋的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据有理数加减运算，分别算出，由题意，结合有理数乘除运算可知，结合选项逐项计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 与相乘等于1， ；；；； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数加减乘除运算法则是解决问题的关键． 2．C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 3．C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查了有理数与数轴、有理数运算的符号规律，根据图示知，并且．根据有理数的加减乘除法运算的计算法则即可求解． 【详解】解：解：由数轴得，． ①，故①结果为负数； ②，故②结果为正数； ③，故③结果为正数； 综上所述：结果为负数的有① 故选：A． 5．B 【分析】原式先计算括号内的，再进行除法运算即可． 【详解】解： ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 6．C 【分析】本题考查了有理数的除法的实际应用，根据题意得到甲乙丙的路程比，即可求得总车费． 【详解】解：由题意得甲乙丙三人的路程比为， 三人一共支付车费（元）， 故选：C． 7．D 【分析】根据有理数的乘除法对每个选项进行计算即可． 【详解】A. 21÷(－3)＝－7，原选项计算正确； B. (－2.5)÷(－0.5)＝5，原选项计算正确； C. ÷＝，原选项计算正确； D. 原式＝－××2＝－2．原选项计算不正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了理数的乘除法，掌握理数的乘除法的运算法则是解题的关键． 8．A 【分析】本题考查了绝对值，本题解题的关键在于，理解一个数的绝对值的含义是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．再就是两数乘积小于0，则这两个数一正一负，异号；若两个数乘积大于0，则这两数同正或者同负，同号． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵，即：，同号， ∴当时，，此时：， 当时，，此时：， 故的值为1或， 故选：A． 9．C 【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案． 【详解】∵a1＝3， ∴a2＝＝﹣2， a3＝， a4＝， a5＝， ∴该数列每4个数为1周期循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴a2019＝a3＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键． 10．B 【分析】此题主要考查了有理数的乘法以及有理数大小比较的方法，掌握有理数的乘法法则是解题得关键，要分和两种情况讨论求解，当时，由，得，从而得，，由，得，当时，同理可得，即可得解． 【详解】解：当时，∵， ∴， ∵， ∴中有一个为负数， ∴，， ∵， ∴， 当时，∵， ∴， ∵， ∴的符号相同， 当，时，有，即， 当，时， ∵， ∴，即． 故选B． 11．5 【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，的倒数是， ∴，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 12．或1/1或 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，解决此类问题的关键是由，得出；，得出．再利用这一条件确定x和y的具体取值，然后代入，从而得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，；，， ∴或， 故答案为：或1． 13．或3 【分析】此题考查了绝对值，以及有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据已知等式得到，确定出，，中负因式有0个或2个，原式利用绝对值的代数意义化简即可得到结果． 【详解】解：由，得到， ，，中有0个或2个负数， 当2个都为负数时，原式； 当0个为负数时，原式． 或3 故答案为：或3 14．60 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意运算顺序，以及正方形的面积的求法，解答此题的关键是要明确：正方形的面积边长边长． 首先根据正方形的面积边长边长，求出边长3分米的方砖的面积，然后用它乘240，求出这间房间的底面积，最后用这间房间的底面积除以边长6分米的方砖的面积，求出需要边长6分米的方砖多少块即可． 【详解】解： （块）． 答：若选用边长6分米的方砖，需60块． 故答案为：60． 15． 【分析】首先从安排在哪天来说有6种情况，而每一节体育课又有6种情况，然后可得答案． 【详解】解：由题意可知，这两节体育课可以安排在：周一和周三；周一和周四；周一和周五；周二和周四；周二和周五；周三和周五，共6种情况，而每一节体育课都有6种情况（从第一节到第六节）， 所以这门课共有种安排方式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了排列组合的不相邻问题，判断出安排时间的情况数是解题的关键． 16． 【分析】利用题中的新定义列式，约分即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17． 【分析】本题考查有理数混合运算．根据题意，找出使取最大（小值时，的值，再计算即可． 【详解】解：在中，在中， 当，时，的最大值为； 当，时，的最小值为， ； 故答案为：． 18． 199 5050 【分析】本题考查了有理数加法与乘法的应用，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．写好100个数后，每次操作使得个数减1，可得又写了99个数，由此即可得；每次操作不影响这一百个自然数的和，由此即可得最后一个数． 【详解】解：由题意可知，写好100个数后，每次操作使得个数减1， 则又写了99个数， 所以这个过程中一共写了个数， 因为每次操作不影响这一百个自然数的和， 所以最后一个数是 ， 故答案为：199；5050． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法法则和交换律进行计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再利用有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的乘除法法则和交换律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 20．(1)101 (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律是关键； （1）根据乘法分配律可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据乘法分配律可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 21．(1)5 (2) 【分析】（1）直接利用乘法对加法的分配律计算即可； （2）先计算的倒数，把除法化为乘法，利用乘法分配律计算，最后把计算的结果求倒数即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式的倒数为： ， 故原式． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的灵活运用是解题的关键． 22．(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 23．(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 24．(1)0 (2)1或 (3)1 【分析】（1）根据绝对值的意义及有理数乘法运算法则确定异号，然后根据绝对值的意义进行化简即可; （2）根据有理数乘法运算法则判断的符号，然后根据绝对值的意义进行化简，注意分情况讨论即可； （3）根据有理数加法和乘法运算法则判断的符号，然后根据绝对值的意义进行化简即可． 本题主要考查了绝对值的性质，有理数的混合运算，运用分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：，且是不为0的有理数， ，即异号， 不妨设, 原式, 故答案为：0； （2），且是有理数， 三个有理数均为负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当三个有理数均为负数时，即， ∴原式＝ ②当中一个为负数，另两个为正数时， 不妨设， ∴原式＝ 综上，的值为1或； （3）解：，且是有理数， ∴中一个为负数，另两个为正数， 不妨设， ∴原式＝ ∴＋＋的值为1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$