专题2.10 有理数的乘法与除法（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.10 有理数的乘法与除法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【要点提示】 （1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【要点提示】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 【要点提示】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 【知识点二】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【要点提示】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4) 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【要点提示】 （1） 一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2） 因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3） 法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 【知识点三】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【知识点四】有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两个有理数的乘法运算 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算，最简便的方法是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级上·江苏徐州·期中）已知四个数，取其中的任意两个数求积，积最大是 ． 【题型2】多个有理数的乘法运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【变式1】（22-23七年级上·全国·课后作业）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0 【变式2】根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是 ． 【题型3】有理数的乘法运算律 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算： ． 【题型4】有理数的除法运算 【例4】阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式＝； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算时，将除法转化为乘法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 【题型5】有理数的乘除混合运算 【例5】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【变式1】（22-23七年级上·广东珠海·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C．16 D． 【变式2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 【题型6】有理数乘除法的实际应用 【例6】某油库原有库存汽油200吨，本周五天对汽油进出货情况统计如表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）单位：吨． 周一 周二 周三 周四 周五 进货 40 30 55 30 40 出货 (1)填空：本周五天中，周 的汽油库存最多； (2)求本周五汽油库存有多少吨？ (3)本周五汽油库存比上周五汽油的库存少，求上周五汽油的库存有多少吨？ 【变式1】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【变式2】若=1，=4，且ab＜0，则a+b的值为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【例2】（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 2、拓展延伸 【例1】观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝． （1）猜想并写出 ； （2）+++…+＝ ； （3）探究并计算：； （4）计算：． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.10 有理数的乘法与除法（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数同0相乘，都得0． 【要点提示】 （1）不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0． 【要点提示】 （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 【要点提示】 （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”． 【知识点二】有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数． 【要点提示】 (1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的； (2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数； (3) 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4) 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即. 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【要点提示】 （1） 一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2） 因为0没有倒数，所以0不能当除数． （3） 法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值． 【知识点三】有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果． 【知识点四】有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算括号里面的． 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两个有理数的乘法运算 【例1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘法运算法则计算即可．（2）根据有理数的乘法运算法则计算即可． 解：（1） （2） 【点拨】本题主要考查有理数的乘法，牢记有理数乘法的运算法则（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘）是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算，最简便的方法是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数乘法运算法则逐项验证即可得到答案． 解：最简便的计算方法是， 故选：B． 【点拨】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 【变式2】（22-23七年级上·江苏徐州·期中）已知四个数，取其中的任意两个数求积，积最大是 ． 【答案】27 【分析】根据同号两数的积为正数，异号得负数，正数大于一切负数，故只要计算：，然后比较大小即可． 解：，， 又， 积最大是27； 故答案为：27． 【点拨】此题考查了有理数的乘法以及有理数的大小比较，熟练掌握有理数乘法运算法则是解答此题的关键． 【题型2】多个有理数的乘法运算 【例2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化小数分分数，然后计算乘法；（2）化小数分分数，然后计算乘法． （1）解：原式； （2）解：原式． 【点拨】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 【变式1】（22-23七年级上·全国·课后作业）已知abc＞0，a＞0，ac＜0，则下列结论判断正确的是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＞0，b＜0，c＞0 D．a＞0，b＜0，c＜0 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法，同号得正，异号得负，即可判定． 解：∵a＞0，ac＜0， ∴c＜0， ∵abc＞0， ∴b＜0，故D正确． 故选：D． 【点拨】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法法则． 【变式2】根据所给的程序(如图)计算：当输入的数为－时，输出的结果是 ． 【答案】10 【分析】利用程序框图中的各步运算要求，把－代入，直接运算求解即可． 解：由题意可知：输出的结果为：． 故答案为：10． 【点拨】本题主要是考查了有理数的乘法运算，读懂程序框图，列出对应的乘法算式，是解决此类问题的关键，另外也要注意同号和异号乘法的变号问题． 【题型3】有理数的乘法运算律 【例3】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点拨】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法运算是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）若表示三个有理数，则下列等式可以表示乘法交换律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据加法结合律、交换律，乘法交换律、分配律分析判断即可求解． 解：A、，表示加法的交换律，此选项不符合题意； B、，表示加法的结合律，此选项不符合题意； C、，表示乘法交换律，此选项符合题意； D、，表示乘法分配律，此选项不符合题意． 故选：C． 【点拨】本题考查了加法结合律、交换律，乘法交换律、分配律，解题的关键是熟知各种运算律的特征． 【变式2】计算： ． 【答案】-22 【分析】利用乘法的结合律进行求解即可得到答案． 解： ， 故答案为：-22． 【点拨】本题主要考查了有理数乘法的结合律，解题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的结合律． 【题型4】有理数的除法运算 【例4】阅读下列材料，并回答问题： 计算：． 解法一：原式＝； 解法二：； 解法三：原式的倒数为； 故原式． (1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的； (2)请你选择合适的解法计算：． 【答案】(1)一； (2)． 【分析】（）根据题意即可得出结果；（）利用乘法分配律求出原式倒数的值，求出原式的值即可解答． 解：（1）上述得出的结果不同，正确答案为，解法一是错误的； 故答案为：一； （2）解法二：原式， ， ， ； 解法三：原式的倒数； ； ； ； ， 则原式． 【点拨】此题考查了有理数的除法，解题的关键是先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法分配律． 【变式1】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算时，将除法转化为乘法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的除法运算法则可进行求解． 解：； 故选B． 【点拨】本题主要考查有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算是解题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 解：， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【题型5】有理数的乘除混合运算 【例5】（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先把除法变为乘法，再利用多个有理数相乘的法则计算即可； （2）先把除法变为乘法，再利用多个有理数相乘的法则计算即可． （1）解： ； （2） ． 【点拨】此题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【变式1】（22-23七年级上·广东珠海·期中）计算的结果是（　　） A． B．1 C．16 D． 【答案】A 【分析】先把除法转化为乘法，再按乘法法则计算． 解：， 故选：A． 【点拨】本题考查了有理数的乘除混合运算，同级运算从左往右依次计算即可，也可以把除法转化为乘法，再利用乘法运算律计算，除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数． 【变式2】（22-23七年级上·广东广州·开学考试）甲筐卖，乙筐卖，两筐苹果剩下的同样多，已知甲筐原有苹果kg，乙筐原有苹果多少千克？ 【答案】乙筐原有苹果千克 【分析】本题考查分数的除法，根据分数的乘法，除法的定义列出算术计算即可，解题的关键是理解题意，正确列出算式计算． 解：乙筐原有苹果： （千克） 答：乙筐原有苹果千克． 【题型6】有理数乘除法的实际应用 【例6】某油库原有库存汽油200吨，本周五天对汽油进出货情况统计如表所示（进货量用正数表示，出货量用负数表示）单位：吨． 周一 周二 周三 周四 周五 进货 40 30 55 30 40 出货 (1)填空：本周五天中，周 的汽油库存最多； (2)求本周五汽油库存有多少吨？ (3)本周五汽油库存比上周五汽油的库存少，求上周五汽油的库存有多少吨？ 【答案】(1)三 (2)233吨 (3)吨 【分析】（1）求出每天的库存数，比较即可；（2）累计相加到周五加原库存即可；（3）上周五的，所以用本周五的除以上周五减少的可得． 解：（1）周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：， 故答案为：周三； （2） （吨）， 答：本周五汽油库存有233吨； （3） （吨）， 答：上周五汽油的库存有372.8吨． 【点拨】本题考查的是有理数混合运算的应用，解题的关键是会求每天的库存数． 【变式1】a、b为任何非零有理数，则的可能取值是（    ） A．或1 B．3或1或 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】分、、和四种情况，再根据绝对值运算、有理数的除法与加减法运算即可得． 解：由题意，分以下四种情况： （1）当时，， 则， （2）当时，， 则， （3）当时，， 则， （4）当时，， 则， 综上，的可能取值是或3， 故选：D． 【点拨】本题考查了绝对值运算、有理数的除法与加减法运算，依据题意，正确分四种情况讨论，并熟练掌握各运算法则是解题关键． 【变式2】若=1，=4，且ab＜0，则a+b的值为 ． 【答案】3或 【分析】先根据绝对值运算可得a、b的值，再根据可得两组a与b的值，然后代入计算即可得． 解：， ， 又， 或， 则或， 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了绝对值运算、有理数的加法与乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川宜宾·中考真题）如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（    ） A．8 B．18 C．28 D．32 【答案】C 【分析】本题考查新定义，解题的关键是正确读懂新定义．根据新定义逐个判断即可得到答案． 解∶∵，， ∴8不是完美数，故选项A不符合题意； ∵，， ∴18不是完美数，故选项B不符合题意； ∵，， ∴28是完美数，故选项C符合题意； ∵，， ∴32不是完美数，故选项D不符合题意； 故选：C 【例2】（2024·北京·中考真题）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排.所有演员到场后节目彩排开始。一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长（单位：min）如下： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）。 若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 min； 若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键． ①节目D的演员的候场时间为；②先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 解：①节目D的演员的候场时间为， 故答案为：60； ②由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：． 2、拓展延伸 【例1】观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝． （1）猜想并写出 ； （2）+++…+＝ ； （3）探究并计算：； （4）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得； （2）根据（1）中的猜想进行计算即可得； （3）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得； （4）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得． 解：（1）， ， ， 归纳类推得：， 故答案为：； （2）， ， ， ， 故答案为：； （3）， ， ， ， ， ； （4）， ， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了乘法运算律分配律的运用；根据题目特点正用或逆用是解题的关键； （1）把分母中拆成，然后运用分配律即可； （2）把被除数中带分数化为假分数，再逆用分配律，最后约分即可． （1）解： = = = ； （2）解： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$